河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业11 练习
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一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
- 设，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
- 复数z满足：为虚数单位，为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是
A. B. C. D.
- 如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中曲线为半径为1的半圆，则该几何体的体积为
A.
B.
C.
D.
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- 中国最早的天文学和数学著作周脾算经里提到了七衡，即七个等距的同心圆，七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡、次三衡，下图中的七衡图中，若内一衡的直径和衡间距都是1，若在七衡图内任取一点，这点属于次三衡与次四衡之间的概率为
A. B. C. D.
- 已知椭圆的左，右焦点分别为，，A，B分别为椭圆C与x，y正半轴的交点，若直线AB与以为直径端点的圆相切，则的值为
A. B. C. D.
- 已知函数，将函数图象向右平移个单位得到的图象，若点为函数图象的一个对称中心，为图象的一个对称中心，则的最小值为
A. B. C. D.
- 已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，AD平分与BC边交于D点，若，，，则线段AD的长为
A. B. C. D.
- 若定义域为R的函数的图象关于直线对称，，则下列等式一定成立的是
A. B. C. D.
- 某养猪场定购了一批仔猪，从中随机抽查了100头仔猪的体重单位：斤，经数据处理得到如图的频率分布直方图，其中体重最轻的14头仔猪的体重的茎叶图如图，为了将这批仔猪分栏喂养，需计算频率分布直方图中的一些数据，其中的值为
A. B. C. D.
- 已知点是不等式组所确定的平面区域内的动点，若已知，，则最小值为
A. B. C. D. 3
- 已知，分别为双曲线的左右焦点，点P为双曲线上任意一点，则的最小值为
A. B. C. D. ab
- 已知函数，若的最大值为M，则下列说法正确的是
A. M的值与a，b均无关，且函数的最小值为
B. M的值与a，b有关，且函数的最小值为
C. M的值与a，b有关，且函数的最小值为
D. M的仅与a有关，且函数的最小值为
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 若，则______．
- 在的展开式中，含的项的系数为______．
- 已知均为单位向量，若，则的最大值为______．
- 棱长为4的正方体中，点M，N分别为AD，的中点，过点C，M，N的平面把正方体分成两部分，体积较大的那部分体积为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
- 已知数列满足：，，数列的前n项和为．
求；
若数列，求数列前n项和．
- 三棱台中，，，，．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
- 已知抛物线C：的焦点为F，直线与抛物线C交于原点O与点P．
若的面积为2，求直线PF的方程；
设直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率之积为1，求证：直线l过定点，并求出这个定点的坐标．
- 某厂生产一种设备零件用于航空航天工程建设，要求出厂的零件质量全部合格．该厂现准备生产n个该零件，估计每个零件的合格率为，且每个零件是否合格相互独立，为保证每个零件都合格，生产完后需进行检测．该厂计划先用检测机器进行一级检测，若检测全部通过，则该批零件合格，若检测不通过，说明至少有一个零件不合格，则需对每个零件进行人工二级检测．已知人工检测费用500元每个，机器检测费用100元每个，且机器检测要另付使用费1万元．
若，估算这批零件需要进行人工二级检测的概率．
求每个零件检测费用的期望；
试估算使得最小的n的值用进行估算．
- 已知函数有两个极值点，
求实数a的取值范围；
求证：．
- 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为．
以坐标原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
直线l的参数方程为为参数，l与C交于A，B两点，若，求直线l的斜率．
- 已知函数．
Ⅰ求不等式的解集；
Ⅱ若直线与的图象所围成的多边形面积为，求实数a的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：，
，
推不出，
是的充分不必要条件
即是的充分不必要条件．
故选：A．
解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．
本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由，得，
，
，，，．
故选：B．
由已知求得z，然后逐一核对四个选项得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：
该几何体是由一个底面半径为1，高为2的半圆柱和一个半径为1的半球组成，
故：，
，
故选：D．
首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
4.【答案】C
【解析】解：由题意，次七衡内的面积为．
次三衡与次四衡之间的面积为．
在七衡图内任取一点，这点属于次三衡与次四衡之间的概率为．
故选：C．
由题意分别求出次七衡内的面积与次三衡与次四衡之间的面积，再由测度比是面积比得答案．
本题考查几何概型概率的求法，正确理解题意是关键，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：直线AB的方程为：，即，
直线AB与以为直径端点的圆相切，
，解得．
故选：A．
直线AB的方程为：，即，根据直线AB与以为直径端点的圆相切，可得，解得．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：函数，点为函数图象的一个对称中心，
则：，
解得：，
将函数图象向右平移个单位得到的图象，
若为图象的一个对称中心，
则：，
解得：，
所以：，
当时，取得最小值．
故选：B．
直接利用三角函数关系式的恒等变换，正切函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正切函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
7.【答案】C
【解析】解：是的平分线，，又，，，
在三角形ABC中由余弦定理得，
在三角形ABD中，由余弦定理得：，
．
故选：C．
根据角平分线定理可得BD，DC，分别在三角形ABC和ABD中用余弦定理列方程可解得．
本题考查了正余弦定理以及角平分线定理，属中档题．
8.【答案】B
【解析】解：易知图象是由函数函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，
又定义域为R的函数的图象关于直线对称，所以图象关于直线对称，
故．
故选：B．
利用平移知识得出函数对称轴，借助对称轴进行判断．
本题考查函数的对称性、平移知识，是基础题．
9.【答案】B
【解析】解：由题意得，
．
故选：B．
根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系和茎叶图即可解答．
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量，茎叶图的应用问题，是基础题．
10.【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
，，
设，
则z的几何意义是区域内的动点到定点距离的平方减去2，
由图象知当CM的最小值为点C到直线的距离d，
则，
则z的最小值为，
故选：D．
作出不等式组对应的平面区域，利用向量数量积公式进行化简，结合两点间的距离公式进行求解即可．
本题主要考查线性规划的应用，利用向量数量积的公式结合两点间的距离公式，利用数形结合进行转化是解决本题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：不妨设P为双曲线右支上任意一点，则，
，，
，
当时，有最小值为．
故选：B．
不妨设P为双曲线右支上任意一点，则，可得，，代入，整理后利用二次函数求最值．
本题考查双曲线的简单性质，训练了二次函数求最值，是中档题．
12.【答案】C
【解析】解：；
；
，设；
则为奇函数，
；
当取得最大值时，最大；
显然a，b的取值不同时，的最大值不同；
所以取得最大值时与a，b有关，且的最大值与最小值互为相反数；
所以最大值与最小值之和为2，则最小值为
故选：C．
求出，设；则为奇函数，的最大值与最小值互为相反数；
本题考查函数代值，奇函数的最值的性质，函数是最值，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
利用诱导公式求出，再由二倍角公式求出，由此能求出结果．
本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由的展开式的通项公式，
令，
则含的项的系数为，
故答案为：．
由二项式定理得：，令，则含的项的系数为，得解．
本题考查了二项式定理，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：知均为单位向量，，设，
可得
则．
故答案为：．
设出，利用向量的模的运算法则，转化求解最大值即可．
本题考查向量的数量积与向量的模的关系，向量模的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
16.【答案】
【解析】解：
如图，取中点Q，再取的中点P，
易知，，，
，
故把截面MNC补全为平面MCNP，
，
，
求得，
又，
故较大部分体积为．
故答案为：．
取的四等分点P，把截面MNC补全为MCNP，通过正方体与三棱台的体积差求得较大部分的体积．
此题考查了截面问题，台体体积等，难度适中．
17.【答案】解：由已知的，，
故．
由，
可得，
，
由错位相减法得：．
【解析】推出，通过，利用等差数列求和公式求解即可．
由，利用错位相减法求解数列的和即可．
本题考查数列的递推关系式以及数列求和方法的应用，错位相减法以及并项求和方法的应用，是基本知识的考查．
18.【答案】证明：由已知可得：侧面与侧面
为全等的直角梯形，
易求，又，
故，
，，
又，
故AA平面．
解：取BC，的中点D，，连接AD，，为等边三角形，
连接，AD，
易知，
侧面为等腰梯形，
故D，
则在四边形中，即为二面角的平面角，记为，
由可得，，
，，
，在三角形中，
，
可得．
【解析】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
说明侧面与侧面为全等的直角梯形，证明，，可证明平面．
取BC，的中点D，，连接AD，，为等边三角形，连接，AD，即为二面角的平面角，记为，通过求解三角形利用余弦定理求解即可．
19.【答案】解：联立方程与，得，
，解得，
于是，，所以直线PF的方程；
设直线l：，与抛物线C联立得：，
，，由得，
于是
，
，即，
所以直线l：恒过定点．
【解析】联立方程与，得，利用三角形的面积求解p，然后求解直线方程即可．
设直线l：，与抛物线C联立得：，利用韦达定理求出直线的斜率，推出，然后求出直线l：恒过定点．
本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，直线系方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
20.【答案】解：时，记这批零件通过一级检测为事件A，
则这批零件需要进行人工二级检测为，
则．
设n个零件的检测费用为X，
则X的可能取值为，．
，，
故E，
．
，
当且仅当即时等号成立
使得最小的n为100．
【解析】时，记这批零件通过一级检测为事件A，则这批零件需要进行人工二级检测为，利用对立事件概率计算公式能估算这批零件需要进行人工二级检测的概率．
设n个零件的检测费用为X，求出X的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出每个零件检测费用的期望．
，由此能求出使得最小的n．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，估算使得最小的n的值的求法，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
21.【答案】解：方法一：的定义域为，，
设，则，由题，有两个零点，
当时， 0'/>，单调递增；当时，，单调递减，
所以，
若，即时，无零点；若，仅一个零点，故，
当时，，，，在区间上有一个零点，
又，，记，则，
在上递减，，
，在区间上有一个零点，
综上，实数a的取值范围是．
方法二：的定义域为，，
由题，有两个实数根，即与的图象有两个公共点，
而不难求得在处的切线为，结合图象可知：
当时，与的图象没有公共点，不符合题设要求；
当时，与的图象有一个公共点，不符合题设要求；
当时，与的图象有两个公共点，符合题设要求．
综上，实数a的取值范围是．
方法一：由题，，即，即，
设，则，解得，，
要证，即证，即证，即证，其中，
令，则，
在上单调递减，，
原不等式得证．
方法二：由知，由可得，
不难证明，于是，
所以，得证．
【解析】方法一：设，则，判断函数的单调性，求出函数的最大值然后通过函数的零点，求解a的范围．
方法二：的定义域为，，与的图象有两个公共点，求得在处的切线为，通过当时，当时，当时，判断两个函数与的图象有两个公共点，得到实数a的取值范围．
方法一：由题，，得到，设，通过分析法证明，其中，令，利用函数的导数，转化证明．
方法二：由知，由可得，然后证明
．
本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用．
22.【答案】解：由，，：；
方法一：将直线的参数方程代入圆方程得：，；
方法二：设圆心到直线的距离为d，则：为圆半径，
直线方程化为：，则．
【解析】根据互化公式可得圆C的极坐标方程；
根据直线参数方程中参数的几何意义可得．
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
23.【答案】解：Ⅰ，由可知：
当时，，即；
当时，，即，与矛盾，舍去；
当时，，即；
综上可知解集为或．
Ⅱ画出函数的图象，如图所示，其中，，
由，知图象与直线AB平行，若要围成多边形，则．
易得与图象交于两点，，则
平行线AB与Cd间的距离，，
梯形ABCD的面积，．
即
故所求实数a的值为4．
【解析】Ⅰ分2段去绝对值解不等式，在相并；
Ⅱ画出函数的图象，如图所示，其中，，由，知图象与直线AB平行，若要围成多边形，则，然后求出以及两平行线间的距离，用梯形面积公式可得．
本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．
