河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业12 练习

河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业12

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 复数的共轭复数是

A.  B.  C.  D.

3. 下图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作周髀算经中有详细的记载．若图中大正方形ABCD的边长为5，小正方形的边长为2，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷n个点，有m个点落在中间的圆内，由此可估计的所似值为

A.  B.  C.  D.

4. 已知，且，都不为，则“”是“关于x的不等式与同解”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是   
    

A.  B.  C.  D.

6. 阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是
    

A. 计算数列的前10项和
B. 计算数列的前9项和
C. 计算数列的前10项和
D. 计算数列的前9项和











 

7. 如图是函数图象的一部分，对不同的，，若 ，有，则

A. 在上是减函数
B. 在上是减函数
C. 在上是增函数
D. 在上是减函数
 

8. 如图所示，直线l为双曲线C：的一条渐近线，，是双曲线C的左、右焦点，关于直线l的对称点为，且是以为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，则双曲线C的离心率为

A.  B.  C. 2 D. 3

9. 已知定义在R上的偶函数其中e为自然对数的底数，记，，，则a，b，c的大小关系是

A.  B.  C.  D.

10. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为，例如，，，若，则
     

A. 64 B. 65 C. 71 D. 72

11. 已知F为抛物线C：的焦点，E为其准线与x轴的交点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，M为线段AB的中点，且，则

A. 6 B.  C. 8 D. 9

12. 已知函数，若存在m，使得关于x的方程有解，其中e为自然对数的底数则实数a的取值范围是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知向量，向量，的夹角是，，则等于______．
14. 设x，y满足约束条件，则的最小值为______．
15. 若的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a，则直线与曲线所围成的封闭区域面积为______ ．
16. 已知点P，A，B，C均在表面积为的球面上，其中平面ABC，，则三棱锥的体积的最大值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

17. 在中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．
    若，求角B的值；
    若外接圆的面积为，求面积的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图：直角梯形ABCD中，，，E，F分别为边AD和BC上的点，且，，将四边形EFCD沿EF折起成如图的位置，使．
    Ⅰ求证：平面DAE；
    Ⅱ求四棱锥的体积；
    Ⅲ求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值．

19. 为了响应2018年全国文明城市建设的号召，长沙市文明办对长沙市市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查．每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分满分：100分数据，统计结果如下表所示．

Ⅰ由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值同一组数据用该组区间的中点值作为代表，请利用正态分布的知识求；
Ⅱ在Ⅰ的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
每次赠送的随机话费和对应的概率为

现市民小王要参加此次问卷调查，记单位：元为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望．
附：，若，则；
；．






 

20. 已知椭圆E：的离心率，其左、右顶点分别为点A，B，且点A关于直线对称的点在直线上．
    求椭圆E的方程；
    若点M在椭圆E上，点N在圆O：上，且M，N都在第一象限，轴，若直线MA，MB与y轴的交点分别为C，D，判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数．
    若，，求函数的最小值；
    若，，在上的最小值为1，求的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为，若直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程是为参数．
    求直线l和曲线C的普通方程；
    设直线l与曲线C交于A，B两点，求．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知函数．
    当时，求的解集；
    若的解集包含集合，求实数a的取值范围．
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：集合，，
，
．
实数a的取值范围是．
故选：D．
求出集合，，由，能求出实数a的取值范围．
本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
 

【解析】解：复数的共轭复数为．
故选：C．
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．
3.【答案】D
 

【解析】【分析】
本题考查了几何概型的概率计算问题，属于基础题．
根据大正方形的面积与小正方形的内切圆面积比求得的值．
【解答】

解：大正方形的边长为5，总面积为25，
小正方形的边长为2，其内切圆的半径为1，面积为，
则，
解得．
故选D．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：由得，由得，
若不等式条件，则，同号，
若同为正号，则不等式的解集为或，
即，即成立，
若同为负号，则不等式的解集为或，
即，即成立，
综上成立，
当，异号时，满足，但不等式与不同解”的，
比如，但与的解集不同，
即“”是“关于x的不等式与同解”的必要不充分条件，
故选：B．
根据一元二次不等式的解法，已经充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键．
5.【答案】C
 

【解析】【分析】
通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．
本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．
【解答】
解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，
一个侧面垂直底面，且此侧面为等腰三角形，
三棱锥的高为4，底边长为5，如图所示．
所以，，，．
几何体的表面积为：．
故选C．
6.【答案】A
 

【解析】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，
，；
判断不成立，执行，；
判断不成立，执行，；
判断不成立，执行，；
判断不成立，执行，；
判断成立，输出．
算法结束．
故则该算法的功能是计算数列的前10项和．
故选：A．
从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．
本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．
7.【答案】C
 

【解析】解：由函数图象的一部分，可得，函数的图象关于直线对称，．
由五点法作图可得，，．
再根据，可得，
，
在上，，故在上是增函数，
故选：C．
由条件根据函数的图象特征，求得，再根据，求得的值，可得的解析式，再根据正弦函数的单调性得出结论．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象特征，正弦函数的单调性，属于中档题．
8.【答案】C
 

【解析】【分析】
本题考查了双曲线的简单性质，点的对称问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
先求出点的坐标，再根据是以为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，可得，整理化简即可求出．
【解答】
解：直线l为双曲线C：的一条渐近线，则直线l为，
，是双曲线C的左、右焦点，
，，
关于直线l的对称点为，设为，
，，
解得，，
，
是以为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，
，
整理可得，
即，
，
故选：C．
9.【答案】A
 

【解析】解：定义在R上的偶函数其中e为自然对数的底数，
故：，
所以：函数在上单调递增，在上单调递减．
则：，
由于：，
所以：，
故选：A．
直接利用函数的性质单调性和奇偶性的应用求出结果．
本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
10.【答案】C
 

【解析】解：由图表可知：数表为从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第1组1个奇数，第2组2个奇数第n组n个奇数，
则前n组共个奇数，
设2019在第n组中，又2019是从1开始的连续奇数的第1010个奇数，
则有，
解得，
即2019在第45组中，
则前44组共990个数，
又第45组中的奇数从右到左，从小到大，
则2019为第45组从右到左的第个数，
即2019为第45组从左到右的第个数，
即，，
故，
故选：C．
由等差数列的前n项和公式可得：2019在第n组中，又2019是从1开始的连续奇数的第1010个奇数，则有，解得，即2019在第45组中，
由归纳推理可得：前44组共990个数，又第45组中的奇数从右到左，从小到大，则2019为第45组从右到左的第个数，即2019为第45组从左到右的第个数，得解．
本题考查的等差数列的前n项和公式及归纳推理，属难度较大的题型
11.【答案】A
 

【解析】解：由得焦点，，
设直线AB的方程为：并代入抛物线得：，
设，
则，，
，
，
，即，
解得或舍，
．
故选：A．
根据韦达定理以及抛物线的定义可得．
本题考查了抛物线的性质，属中档题．
12.【答案】D
 

【解析】解：由可得，
即，即，
令，则方程有解．
设，则，
显然为减函数，又，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，
，解得或．
故选：D．
根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可
本题主要考查了不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解题的关键．
13.【答案】2
 

【解析】【分析】
本题考查了向量的坐标以及向量数量积的定义，求出的模是关键，属于基础题．
由向量的坐标可求得向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案．
【解答】
解：，
又，
 即：，
，
故答案为2．
14.【答案】
 

【解析】解：由x，y满足约束条件得到如图可行域，由目标函数得到，
当直线经过A时，直线在y轴的截距最大，使得z最小，
由得到，
所以z的最小值为；
故答案为：．
先根据条件画出可行域，设，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，取得截距的最小值，从而得到z最小值即可．
本题考查了简单线性规划问题；借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
15.【答案】
 

【解析】解：的展开式中各项的系数之和为81，
，
解得，
的展开式的通项公式为：，
令，解得，
展开式中常数项为；
直线与曲线所围成的封闭区域面积为：．
故答案为：．
依据二项式系数和为，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出常数项a的值，再利用积分求直线与曲线围成的封闭图形的面积．
本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了利用积分求封闭图形的面积问题，是综合性题目．
16.【答案】
 

【解析】解：点P，A，B，C均在表面积为的球面上，
可得球的半径为：，
，可得．
外接圆的半径为：．
三棱锥的高．
则三棱锥的体积：
，
令，则，
可得当且仅当，即时取等号．
故答案为：．
求出球的半径，三角形ABC的外接圆的半径，求出PA，然后求解棱锥的体积，利用基本不等式求解最值即可．
本题考查了几何体的体积计算，探索几何体的位置情况，属于中档题．
17.【答案】解：由题意得，
，分
，b，c成等比数列，，由正弦定理有，分
，，得，即，分
由知，b不是最大边，分
外接圆的面积为，的外接圆的半径，分
由余弦定理，得，
又，，当且仅当时取等号，
为的内角，，分
由正弦定理，得，分
的面积，分
，，分
 

【解析】由切化弦、两角和的正弦公式化简式子，由等比中项的性质、正弦定理列出方程，即可求出sinB，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；
由余弦定理和不等式求出cosB的范围，由余弦函数的性质求出B的范围，由正弦定理和三角形的面积公式表示出面积，利用B的范围和正弦函数的性质求出面积的范围．
本题考查正弦定理和余弦定理，切化弦、两角和的正弦公式，正弦、余弦函数的性质等，考查化简、变形能力，属于中档题．
18.【答案】证明：直角梯形ABCD中，，，E，F分别为边AD和BC上的点，且，
，
又，，CF、面CBF，DE、面DAE
面面分
又面CBF，所以平面分
解：取AE的中点H，连接DH
，，
平面DAE又平面DAE，

，
，，
又
面分
所以四棱锥的体积分
如图以AE中点为原点，AE为x轴建立空间直角坐标系
则0，，0，，，0，，
因为，所以分
易知是平面ADE的一个法向量，2，分
设平面BCD的一个法向量为y，
由
令，则，，2，，分
，
所以面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值为分
 

【解析】因为，，，，CF、面CBF，DE、面DAE，满足面面平行的判定定理，从而面面DAE，而面CBF，根据面面平行的性质定理可知平面DAE；
取AE的中点H，连接DH，先证面AEFB，从而得到DH为四棱锥的高，再利用锥体的体积公式求出体积即可；
以AE中点为原点，AE为x轴建立空间直角坐标系，根据，求出点C的坐标，而是平面ADE的一个法向量，然后再求出平面BCD的一个法向，最后利用公式求解，即可求出面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值．
本题主要考查了线面平行的判定，以及四棱锥体积的计算和利用空间向量度量二面角的平面角，同时考查了计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ，
，
，．
，
综上，．
Ⅱ由题意昨X的可能取值为20，40，60，80，
由题意知，
，
，
，
，
的分布列为

X的数学期望为．
 

【解析】Ⅰ由题意求出，进而，由此能求出．
Ⅱ由题意知，获奖券面值X的可能取值为20，40，60，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查正态分布、古典概型、排列组合、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：点关于直线对称的点在直线上，
，解得又，，联立解得．
椭圆E的标准方程为：．
证明：设，AM：，令，解得，．
联立，化为：．
，解得，即，
直线BM的斜率．
的方程：，令，解得，
设，则，
．
，，
即．
．
 

【解析】点关于直线对称的点在直线上，可得，解得又，联立解出即可得出．
设，AM：，可得直线方程与椭圆方程联立化为：利用根与系数的关系可得：M的坐标，即可得BM的方程：，求出点D的坐标．设，计算，即可得出．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直于数量积的关系、对称问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21.【答案】解：若，，，
，
时，，函数单调递减；时，，函数单调递增，
时，函数取得极小值，也是最小值为1；
，
，
在上的最小值为1，，
在上恒成立，
在上恒成立，
设，则在上恒成立，
在上恒成立
令，，
函数在上单调递减，上单调递增，
时，，
，
，，，，，，
，，
的最大值为．
 

【解析】求导数，取得函数的单调性，即可求函数的最小值；
确定在上恒成立，设，则在上恒成立，在上恒成立，由此即可求的最大值．
本题考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，考查函数的最小值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22.【答案】解：Ⅰ因为，
所以
由，，
得分
因为消去t得，
所以直线l和曲线C的普通方程分别为和分
Ⅱ点M的直角坐标为，点M在直线l上，
设直线l的参数方程：为参数，A，B对应的参数为，．
，
，分
分
 

【解析】Ⅰ直线l的极坐标方程化为，由，，能求出直线l的普通方程；曲线C的参数方程消去参数能求出曲线C的普通方程．
Ⅱ点M的直角坐标为，点M在直线l上，求出直线l的参数方程，得到，由此利用韦达定理能求出的值．
本小题主要考查参数方程、极坐标等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
23.【答案】解：时，或或，
解得：，
综上，的解集是
因为的解集包含集合，
所以在上恒成立，
所以，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立．
，，
故实数a的取值范围是
 

【解析】分3段去绝对值解不等式再相并；
问题转化为在上恒成立，即在上恒成立，再换华为最值解决．
本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．