2021届重庆市第一中学校高三上学期第三次月考数学试题含解析

这是一份2021届重庆市第一中学校高三上学期第三次月考数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021届重庆市第一中学校高三上学期第三次月考数学试题 一、单选题1．复数z满足，则复数的虚部为（    ）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简，再利用复数的代数形式求出结果.【详解】解：∵，则复数的虚部为1．故选：B．【点睛】本题考查复数的除法运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；(2)对分子、分母分别进行乘法运算；(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．2．已知集合，则的真子集共有（    ）个A．3 B．4 C．6 D．7【答案】D【分析】写出集合，即可确定真子集的个数.【详解】因为，所以其真子集个数为.故选：D.【点睛】本题考查集合的真子集个数问题，属于简单题.3．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（  ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求得底面周长，即侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积．【详解】底面周长是：2×2π=4π，
则侧面积是：，底面积是：π×22=4π，
则全面积是：8π+4π=12π．
故选B．【点睛】本题考查了圆锥的全面积计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．4．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（    ）倍.（当较小时，）A．1.27 B．1.26 C．1.23 D．1.22【答案】B【分析】把已知数据代入公式计算．【详解】由题意，,∴．故选：B．【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．5．向量满足，与的夹角为，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】把用数量积表示后结合函数的性质得出结论．【详解】，所以．时取得最小值．故选：D．【点睛】本题考查平面向量的模，解题关键是把模用向量的数量积表示，然后结合二次函数性质得出结论．6．已知三棱锥，过点作面为中的一点，，，则点为的（ ）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】D【分析】连接AO并延长交BC于一点E，连接PO，由于PA，PB，PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC⊂面PBC，可得BC⊥PA，由PO⊥平面ABC于O，BC⊂面ABC，PO⊥BC，可得BC⊥AE，同理可以证明CO⊥AB，又BO⊥AC．故O是△ABC的垂心．【详解】连接AO并延长交BC于一点E，连接PO，由于PA，PB，PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC⊂面PBC，∴BC⊥PA，∵PO⊥平面ABC于O，BC⊂面ABC，∴PO⊥BC，∴BC⊥平面APE，∵AE⊂面APE，∴BC⊥AE；同理可以证明CO⊥AB，又BO⊥AC．∴O是△ABC的垂心．  故选D．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，解题时要注意数形结合，属于基本知识的考查．7．设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】借助中间量和比较大小即可.【详解】解：由对数函数在单调递增的性质得：，由指数函数在单调递减的性质得：，由三角函数在上单调递增的性质得.所以.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，考查运算能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于借助中间量和，尤其在比较与的大小时，将变形得，进而与比较大小是重中之核心步骤.8．已知三棱锥的四个顶点均在同一个确定的球面上，且，，若三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的半径为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】由题意分析知三棱锥体积的最大时，P，O，共线且面，P在大于半球的的球面上，根据棱锥体积公式求得，进而应用勾股定理求外接球的半径.【详解】由题意知： AC中点为面外接圆圆心，若外接球球心为O，半径为R，三棱锥体积的最大时，P，O，共线且O在P，之间， ∴，，即，，所以，解得，故选：A【点睛】关键点点睛：理解三棱锥体积的最大时P的位置及与球心、底面外接圆圆心的关系，结合棱锥体积公式、勾股定理求球体半径. 二、多选题9．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABD【分析】根据空间线、面关系，结合空间关系相关图例以及线线、线面、面面间的平行、垂直判定与性质，即可知选项的正误.【详解】A：，、不一定平行，错误.B：，n不一定垂直于，错误.C：由线面垂直的性质：，则必有，正确.D：，m、n不一定平行，错误.故选：ABD10．下列函数中，在内是减函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据复合函数的单调性判断确定选项中各函数是否为减函数即可.【详解】A：为减函数，在上为增函数，所以为减函数；B：为减函数，在上为增函数，所以为减函数；C：为减函数，在上为增函数，所以为减函数；D：为增函数，在上为增函数，所以为增函数；故选：ABC【点睛】结论点睛：对于复合函数的单调性有如下结论1、内外层函数同增或同减为增函数；2、内外层函数一增一减为减函数；11．下列关于函数的图像或性质的说法中，正确的为（    ）A．函数的图像关于直线对称B．将函数的图像向右平移个单位所得图像的函数为C．函数在区间上单调递增D．若，则【答案】AD【分析】令得到对称轴，即可判断A；根据平移变换知识可判断B；求出其单调增区间即可判断C；利用配角法即可判断D.【详解】对于A，令 ，解得，当时，得，故A正确；对于B，将函数的图像向右平移个单位，得，故B错误；对于C，令，故C错误；对于D，若，则，故D正确.故选：AD【点睛】方法点睛：函数的性质：(1) .(2)周期(3)由 求对称轴(4)由求增区间；由求减区间.12．定义在上的函数的导函数为，且，则对任意、，其中，则下列不等式中一定成立的有（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】构造，由有，即在上单调递减，根据各选项的不等式，结合的单调性即可判断正误.【详解】由知：，令，则，∴在上单调递减，即当时，；当时，；A：，有，，所以；B:由上得成立，整理有；C：由，所以，整理得；D：令且时，，，，有，，所以无法确定的大小.故选：ABC【点睛】思路点睛：由形式得到，1、构造函数：，即.2、确定单调性：由已知，即可知在上单调递减.3、结合单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.  三、填空题13．若一个球的体积为，则该球的表面积为_________．【答案】【解析】由题意，根据球的体积公式，则，解得，又根据球的表面积公式，所以该球的表面积为.14．设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．【答案】【解析】因为向量与平行，所以，则所以．【解析】向量共线． 15．一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第21行从左至右的第4个数字应是____________.【答案】228【分析】由题知，第n行有n个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大，则前20行共有个数字，第21行最左端的数为，从左到右第4个数字为228．【详解】观察数据可知，第n行有n个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大，则前20行共有个数字，第21行最左端的数为，所以第21行从左到右第4个数字为228．故答案为：228.【点睛】关键点睛：本题考查合情推理、数列的前n项和，解题关键要善于观察发现数据特征，考查了学生的逻辑思维能力、数据处理能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型． 四、双空题16．已知等比数列的公比为q，且，，则q的取值范围为______；能使不等式成立的最大正整数______.【答案】    4039    【分析】根据已知求得的表达式，由此求得的取值范围.根据成立列不等式，化简求得的取值范围，从而求得最大正整数.【详解】由已知，结合知，解得，故q的取值范围为.由于是等比数列，所以是首项为，公比为的等比数列.要使成立则即，将代入整理得：故最大正整数.故答案为：；【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列前项和公式，属于中档题. 五、解答题17．在四棱柱中，底面是等腰梯形，M是线段的中点，.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）易得，则四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由，将异面直线与成的角，转化为与相交所成的角，然后在，利用余弦定理求解.【详解】（1）因为四边形是等腰梯形，且， 所以.又由M是的中点，因此且.如图所示：连接，在四棱柱中，因为，可得，所以四边形为平行四边形.因此，又平面，平面，所以平面.（2）因为，所以异面直线与成的角，即为与相交所成的直角或锐角，在中，，所以，由余弦定理可得：，所以异面直线和余弦值为.【点睛】方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．18．已知数列满足：，且对任意的，都有1，成等差数列.（1）证明数列等比数列；（2）已知数列前n和为，条件①：，条件②：，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件来求数列前n和.【答案】（1）证明见解析；（2）答案不唯一，具体见解析.【分析】（1）由条件得，利用等比数列定义可得证.（2）选条件①得，选条件②得利用错位相减法可得解.【详解】（1）由条件可知，即，∴，且∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴（2）条件①：，利用错位相减法:化简得条件②：利用错位相减法: 化简得【点睛】错位相减法求和的方法：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解; 在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式19．已知椭圆C的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为.且.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程.【答案】（1）；（2），或.【分析】（1）由题干条件可得和的值，进而求出的值，从而求出椭圆方程；（2）首先考虑斜率不存在的情况，不符合题意；当斜率存在时，联立方程，可得，又，向量坐标化可得，代入，化简，即可求出的取值，从而求出直线方程.【详解】解（1）由条件可知：，又，所以，则，所以椭圆C的方程为（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，得，，设，则，，∵，即，即化简得：解得.故直线l的方程为，或.【点睛】方法点睛：（1）将向量转化为坐标的关系；（2）联立直线和椭圆，求出两根之和，两根之积；（3）将两根之和和两根之积代入坐标关系中，解出.20．已知，记的内角的对边分别为.（1）求的取值范围；（2）当，，且取（1）中的最大值时，求的面积.【答案】（1）；（2）或【分析】（1）利用公式对函数化简，根据B角的范围，求函数值域.（2）由（1）求出B的大小，利用正弦定理和三角形面积公式即可求出结果.【详解】（1）因为B为三角形的内角，所以所以，所以             （2），，由正弦定理得：，或，若，则，若，则，【点睛】本题考查了三角恒等变换、正弦定理和三角形面积公式等基本数学知识，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.21．在直三棱柱中，分别是线段 的中点，过线段的中点作的平行线，分别交于点． （1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明MN⊥平面ADD1A1；又平面A1MN，所以平面A1MN⊥平面ADD1A1；（2）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【详解】（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴BC⊥AD，∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC，∴MN⊥AD，∵AA1⊥平面ABC,平面ABC，∴AA1⊥MN，∵AD,AA1平面ADD1A1，且AD∩AA1=A，∴MN⊥平面ADD1A1∴，又平面A1MN，所以平面A1MN⊥平面ADD1A1；（2）设AA1=1，如图：过A1作A1E∥BC，建立以A1为坐标原点，A1E，A1D1，A1A分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A1(0，0，0)，A(0，0，1)，∵P是AD的中点，∴M，N分别为AB，AC的中点．则，，则，，，设平面AA1M的法向量为，则，得,令，则，则，同理设平面A1MN的法向量为，则，得，令，则，则，则，∵二面角A-A1M-N是锐二面角，∴二面角A-A1M-N的余弦值是．【点睛】本题主要考查直线垂直的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．22．已知.其中常数.（1）当时，求在上的最大值；（2）若对任意均有两个极值点，（ⅰ）求实数b的取值范围；（ⅱ）当时，证明：.【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）由题得，，，由，可得，即在上单增，且，即，可知在上单减，求得.（2）（ⅰ）利用两次求导可得时，单减； 时，单增，再由有两个极值点，知，即恒成立，构造函数，利用导数求其最大值，可得实数b的取值范围；（ⅱ）设，求导可得在单增，得到 ，可得，，结合在上单增，可得，得到，构造，，再利用导数证明，即可得到【详解】（1）由得，，求导，，，，，即在上单增，且，即，，在上单减，.（2）（ⅰ）求导，因为对任意均有两个极值点，所以有两个根， 求二阶导，令，得当时，，单减；当时，，单增，由有两个根，知，即对任意都成立，设，求导，令，得，当时，，单增；当时，，单减，，又，所以实数b的取值范围是：.（ⅱ）当时，，，令，得当时，，单减；当时，，单增，又是的两根，且，，设，即，则在单增，，即又，，又在上单增，，即，又在上单减，令，则，在单增，且，，故在单增又，，即【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，求极值，最值，以及证明不等式，证明不等式的方法：若证明，，可以构造函数，如果，则在上是减函数，同时若，由减函数的定义可知时，有，即证明了，考查学生的函数与方程思想，化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于难题.