中考数学 专项训练 考点67 费马点中三线段和对称模型与最值问题

专题67 (1)费马点中三线段模型与最值问题
【专题说明】
费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。
主要分为两种情况：
（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。
（2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.
费马点问题解题的核心技巧：
旋转60° 构造等边三角形 将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上 利用两点之间线段最短求解问题
【模型展示】
问题：在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小．

【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．
（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．
（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．
（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）
（4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．
在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接AP，AP平分∠DPE．
有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！
【例题】
1、如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　）

A． B． C． D．
【解析】如图，

∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，
∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，
∴△BFG是等边三角形．∴BF=BG=FG，．
∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”，
∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=180°-120°=60°，
∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．
∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，
∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，
∴EF=CE=，
故选：D．
2、如图，将绕点逆时针旋转60°得到，与交于点，可推出结论：

问题解决：如图，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是___________

【解析】如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，
显然△MOP为等边三角形，∴OM＋OG＝OP＋PQ，
∴点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，
∴当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，
此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，

过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，则∠MAQ=90°，
∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，
∵MQ＝MG＝4，
∴AQ＝AM＝MQ•cos45°=4，
∴NQ＝，
故答案为：

3、如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．

【解析】
将△BMN绕点B顺时针旋转60度得到△BNE，
∵BM=BN，∠MBN=∠CBE=60°，
∴MN=BM
∵MC=NE
∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．
当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．
∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，
∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，
∴BH=AB=3，AH=BH=，
∴AE=2AH=．
故答案为．


4、如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝_____．

【解析】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．

∵AB=AC，AH⊥BC，∴∠BAP=∠CAP，
∵PA=PA，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC=PB，
∵MG=PB，AG=AP，∠GAP=60°，
∴△GAP是等边三角形，
∴PA=PG，
∴PA+PB+PC=CP+PG+GM，
∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，
∵AP+BP+CP的最小值为2，∴CM=2，
∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，∴∠MAC=90°，∴AM=AC=2，
作BN⊥AC于N．则BN=AB=1，AN=，CN=2-，
∴BC=．
故答案为．

5、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
E
A D
B C
N
M
F
E
A D
B C
N
M

⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.
【解析】⑴∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.，即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形，∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.
在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（）2＋（x＋x）2＝.
解得，x＝（舍去负值）.
∴正方形的边长为

6、在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；
（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求的取值范围；
(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．

【解析】（1）①如图△DCF即为所求；

②∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，
∴AC＝＝AB＝4，
∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，
∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，
∴y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）．即y＝2（x−2）2＋8，
∵2＞0，∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，当x＝4时，y最大值＝16，∴8≤EF2≤16．
（2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．
由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，∴AE＝EG，
∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．
在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，∴FH＝AF＝，AH＝＝，
Rt△DFH中，DF＝＝，∴BE＋AE＋ED最小值为

专题 (2)费马点中的对称模型与最值问题
【专题说明】
利用轴对称的性质，把三线段问题通过做对称转化为两点之间线段最短的问题进而解题。
【例题】
1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．

【分析】如图，以AD为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为PA+PB+PC的最小值．至于点P的位置？这不重要！

如何求BD？考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，即可得出结果．


2、如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．

【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．
分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，

易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF
∴ME+MA+MD=ME+EG+GF
过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．


3、如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为___________.

【解析】
如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．

∵点P关于OA的对称点为C，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=3．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．

4、如图，点都在双曲线上，点，分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【解析】分别把点A（a，3）、B（b，1）代入双曲线y=得：a=1，b=3，
则点A的坐标为（1，3）、B点坐标为（3，1），
作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，

所以点P坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），
连结PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小，
四边形ABCD周长=DA+DC+CB+AB
=DP+DC+CQ+AB
=PQ+AB
=
=4+2
=6，
故选B．
5、如图所示，，点为内一点，，点分别在上，求周长的最小值．

【解析】如图，作P关于OA、OB的对称点，连结、，交OA、OB于M、N，此时周长最小，根据轴对称性质可知，，，且，，，，为等边三角形，即周长的最小值为8.


6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．

（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；
（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵y=x2﹣x﹣，∴y=（x+1）（x﹣3）．
∴A（﹣1，0），B（3，0）．当x=4时，y=．∴E（4，）．
设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，
解得：k=，b=．∴直线AE的解析式为y=x+．
（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，
将点E的坐标代入得：4m﹣=，解得：m=．
∴直线CE的解析式为y=x﹣．过点P作PF∥y轴，交CE与点F．

设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），
则FP=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）=x2+x．
∴△EPC的面积=×（x2+x）×4=﹣x2+x．
∴当x=2时，△EPC的面积最大．
∴P（2，﹣）．
如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．

∵K是CB的中点，
∴k（，﹣）．
∵点H与点K关于CP对称，
∴点H的坐标为（，﹣）．
∵点G与点K关于CD对称，
∴点G（0，0）．
∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．
当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．
∴GH==3．
∴KM+MN+NK的最小值为3．
（3）如图3所示：

∵y′经过点D，y′的顶点为点F，
∴点F（3，﹣）．
∵点G为CE的中点，
∴G（2，）．
∴FG=．
∴当FG=FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．
当GF=GQ时，点F与点Q″关于y=对称，
∴点Q″（3，2）．
当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．
由两点间的距离公式可知：a+=，解得：a=﹣．
∴点Q1的坐标为（3，﹣）．
综上所述，点Q的坐标为（3，），Q′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．
7、已知，如图，二次函数图象的顶点为，与轴交于、两点(点在点右侧)，点、关于直线：对称.

(1)求、两点的坐标，并证明点在直线上；
(2)求二次函数解析式；
(3)过点B作直线交直线于K点，M、N分别为直线AH和直线上的两个动点，连结HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.
【解析】(1)依题意,得ax2+2ax−3a=0(a≠0)，
两边都除以a得x2+2x−3=0，解得x1=−3,x2=1，
∵B点在A点右侧，∴A点坐标为(−3,0),B点坐标为(1,0)，
答：A. B两点坐标分别是(−3,0),(1,0).
证明：∵直线l:y=，
当x=−3时,y=，∴点A在直线l上．

(2)∵点H、B关于过A点的直线l:y=对称，∴AH=AB=4，
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，
则AC=，∴顶点H，
代入二次函数解析式,解得a=，
∴二次函数解析式为，
答：二次函数解析式为.

(3)直线AH的解析式为，
直线BK的解析式为，由，解得，即K(3,2)，则BK=4，
∵点H、B关于直线AK对称,K(3,2)，∴HN+MN的最小值是MB，
过K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，
则QM=MK,QE=EK=2，AE⊥QK，
∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，∴∠BKQ=∠HEQ=90∘，
由勾股定理得QB=
∴HN+NM+MK的最小值为8，