中考数学 专项训练 考点23 以函数为背景的直角三角形的存在性问题(能力)

专题23 以函数为背景的直角三角形的存在性问题1、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A（，0）、B（4，0）、C（0，2）．点D是点C关于原点的对称点，联结BD，点E是x轴上的一个动点，设点E的坐标为（m，0），过点E作x轴的垂线l交抛物线于点P．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当点E在线段OB上运动时，直线l交BD于点Q，当四边形CDQP是平行四边形时，求m的值；（3）是否存在点P，使是不以BD为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）m = 2；    （3）（3），，．【解析】解：（1）∵二次函数过点A、B， ∴设二次函数为． 将点C（0，2）代入，解得． ∴二次函数解析式为：；（2）D点坐标为（0，）． ∴直线BD的解析式为：． ∴P点坐标为，Q点坐标为． ∵CD = PQ， ∴． 解得：m = 2或m = 0（舍），    故m的值为2； （3），，．（注：可设过B或D的与BD垂直的直线，然后与二次函数联立后解出）【总结】本题综合性较强，考查的内容也比较多，包含了二次函数解析式的确定，还有就是平行四边形的存在性以及直角三角形的存在性的确定，注意利用相关性质去确定点的坐标．2、如图，在Rt中，∠ACB = 90°，AB = 13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G．（1）当CE = 3时，求S△CEF∶S△CAF的值；（2）设CE = x，AE = y，当CG = 2GB时，求y与x之间的函数关系式；（3）当AC = 5时，联结EG，若为直角三角形，求BG的长．【答案】（1）；（2）；（3）BG的长为6或．【解析】解：（1）∵CD//AB，CE = 3，AB = 13， ∴． ∴． （2）延长AG交CD于M． ∴． ∴． ∵CD//AB， ∴， ∴AE = EM， ∴． （3）∵，∴分两种情况讨论． ①当时，可得AG = GM． ∵CD//AB， ∴； ②当时，可得， ∴，． 又∵，， ∴， ∴GA = GB． ∴．综上所述，若为直角三角形，BG的长为6或．【总结】本题综合性较强，考查的内容也比较多，包含了面积的比值，函数解析式的确定以及直角三角形的存在性的确定，注意在求解析式时，利用角平分线的性质去确定解析式．