中考数学 专项训练 考点25 以函数为背景的等腰三角形的存在性问题

专题25 以函数为背景的等腰三角形的存在性问题【知识讲解】1、     知识内容： 在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：（1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；（2）全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边（3）两点间距离公式：设、，则A、B两点间的距离为：．2、     解题思路：（1）              利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；（2）              根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）（3）              解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之．【例题讲解】1、如图，已知中，AB = AC = 6，BC = 8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE =∠B．设BD的长为x，CE的长为y．（1）当D为BC的中点时，求CE的长；（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果为等腰三角形，求x的值．【答案】（1）；（2）（）；（3）2或．【解析】解：∵，， ∴． ∴． ∴． （1）当D为BC中点时，，∴． （2），x的取值范围为． （3）分情况讨论，  ①当AD = AE时：  ∵，∴，此情况不存在；  ②当AD = DE时：  ∴，即，  解得：（舍）或；  ③当AE = DE时：  ∴．  ∴．  又∵，∴，∴，解得：，综上：x的值为2或．【总结】本题综合性较强，主要考查等腰三角形的性质及分类讨论的运用．2、已知，一条抛物线的顶点为E（，4），且过点A（，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且，过点D作轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求证：GH = HK；（3）当是等腰三角形时，求m的值．【解析】（1）；（2）略；（3）m的值为或．【解析】（1）∵抛物线的顶点为E（，4），∴设抛物线的解析式为（）又∵抛物线过点A（，0）∴，∴这条抛物线的解析式为；（2）∵A（，0），E（，4），C（0，3）     ∴直线AE的解析式为；直线AC的解析式为，     ∵D的横坐标为m，轴，∴G（m，2m + 6），H（m，m + 3）∵K（m，0），∴GH = m + 3，HK = m + 3，∴GH = HK；（3）∵C（0，3），G（m，2m + 6），H（m，m + 3）  1° 若CG = CH，则解得：，都是原方程的解，但不合题意舍去；所以这种情况不存在．  2° 若GC = GH，则，解得：，都是原方程的解，但不合题意，舍去．∴；  3° 若HC = HG，则，解得：．  综上所述：当是等腰三角形时，m的值为或．【总结】本题主要考查二次函数背景下的等腰三角形的分类讨论问题，注意对方法的选择．