中考数学 专项训练 考点01 截长补短模型证明问题(能力)
展开专题01 截长补短模型证明问题
1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明．
[来源:Z#xx#k.Com]
证明：在BC上截取BF＝BE，连接OF.[来源:Zxxk.Com]
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠FBO.
∴△EBO≌△FBO.
∴∠EOB＝∠FOB.
∵∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－(180°－∠A)＝120°.
∴∠EOB＝∠DOC＝60°.
∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°.
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCO＝∠FCO.
∴△DCO≌△FCO.[来源:学科网ZXXK]
∴CD＝CF.
∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.
2．如图，AD//BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点．问：AD，BC，AB之间有何关系？并说明理由．
解：AB＝AD＋BC.理由：作EF⊥AB于F，连接BE.
∵AE平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB，
∴EF＝DE.
∵DE＝CE，
∴EC＝EF.
∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL)．
∴BF＝BC
同理可证：AF＝AD.
∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB，即AB＝AD＋BC.
3．如图，已知DE＝AE，点E在BC上，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，请问线段AB，CD和线段BC有何大小关系？并说明理由．
解：线段AB，CD和线段BC的关系是：
BC＝AB＋CD.
理由：在△DCE中，
∠EDC＋∠DEC＝90°，
∵∠AEB＋∠DEC＝90°，
∴∠AEB＝∠EDC，
又∵ED＝AE，∠ABE＝∠ECD＝90°，
∴△ABE≌△ECD(AAS)，
∴AB＝EC，BE＝CD，
∴BC＝BE＋EC＝CD＋AB.
4．如图，AB∥CD，BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上．
求证：BC＝AB＋CD.
证明：在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF，如图，
∵BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠ABE＝∠FBE，∠ECF＝∠ECD.
∴△ABE≌△FBE(SAS)，
∴∠A＝∠BFE，
∵AB∥CD，
∴∠A＋∠D＝180°，
∴∠BFE＋∠D＝180°.
∵∠BFE＋∠EFC＝180°，
∴∠EFC＝∠D.
∴△CDE≌△CFE(AAS)，
∴CF＝CD.
∵BC＝BF＋CF，
∴BC＝AB＋CD.
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，∠B＝∠CAB＝45°，AD平分∠BAC交BC于D，
求证：AB＝AC＋CD.
证明：如图，延长AC到E，使CE＝CD，连接DE.
则∠E＝∠CDE＝45°，
∴∠B＝∠E.
∵AD平分∠BAC，[来源:学.科.网Z.X.X.K]
∴∠1＝∠2，
在△ABD和△AED中，
∠B＝∠E，∠2＝∠1，AD＝AD，
∴△ABD≌△AED(AAS)．
∴AE＝AB.
∵AE＝AC＋CE＝AC＋CD，
∴AB＝AC＋CD.
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O.
(1)求∠AOC的度数；
(2)求证：AC＝AE＋CD.[来源:学科网]
(1)解：∵∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，
∴∠AOC＝180°－(∠OAC＋∠OCA)＝180°－(∠BAC＋∠ACB)＝180°－＝120°；
(2)证明：∵∠AOC＝120°，
∴∠AOE＝60°，
如图，在AC上截取AF＝AE，连接OF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AO＝AO，
∴△AOE≌△AOF(SAS)，
∴∠AOE＝∠AOF，
∵∠AOE＝60°，∠AOC＝120°，
∴∠AOF＝∠COD＝∠COF＝60°.
∵∠FOC＝∠DOC，CO＝CO，∠DCO＝∠FCO，
∴△COF≌△COD(ASA)，
∴CF＝CD，
∴AC＝AF＋CF＝AE＋CD.
