专题9 直线的点斜式方程和两点式方程（解析版）2020-2021学年高二数学培优对点题组专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

专题9 直线的点斜式方程和两点式方程
考点1 直线的点斜式方程
1.过点A(，1)且倾斜角为60°的直线方程为(　　)
A．y＝x－2
B．y＝x＋2
C．y＝x－2
D．y＝x＋2
【答案】A
【解析】由题意可得直线的斜率k＝tan60°＝，
∴直线的点斜式方程为y－1＝(x－)，
化简可得y＝x－2，
故选A.
2.直线l的倾斜角为45°，且经过点P(0，1)，则直线l的方程为(　　)
A．y＝x＋1
B．y＝－x－1
C．y＝－x＋1
D．y＝－x－1
【答案】A
【解析】设直线l的斜率为k，则k＝tan45°＝1，所以直线l的方程为y－1＝1·(x－0)，
即y＝x＋1，故选A.
3.方程y＝k(x－2)表示(　　)

A．通过点(－2，0)的所有直线
B．通过点(2，0)的所有直线
C．通过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2，0)且除去x轴的所有直线
【答案】C
【解析】易验证直线通过点(2，0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．
4.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　)

A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
【答案】C
【解析】方程变形为y＋2＝－(x＋1)，
∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.
考点2 直线的斜截式方程
5.已知直线l的倾斜角为60°，且l在y轴上的截距为－1，则直线l的方程为(　　)
A．y＝x－1
B．y＝x＋1
C．y＝x－1
D．y＝x＋1
【答案】C
【解析】由于直线的倾斜角为60°，故斜率为tan60°＝，
由斜截式求得直线l的方程为y＝x－1，
故选C.
6.下列叙述中正确的是(　　)
A．点斜式y－y1＝k(x－x1)适用于过点(x1，y1)且不垂直x轴的任何直线
B．＝k表示过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程
C．斜截式y＝kx＋b适用于不平行x轴且不垂直于x轴的任何直线
D．直线y＝kx＋b与y轴交于一点B(0，b)，其中截距b＝|OB|
【答案】A
【解析】对于A，点斜式y－y1＝k(x－x1)适用于过点(x1，y1)且不垂直x轴的任何直线，满足点斜式方程的条件，所以正确；
对于B，＝k表示过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程，显然P1(x1，y1)不满足方程，不正确；
对于C，斜截式y＝kx＋b适用于不平行x轴且不垂直于x轴的任何直线，不正确，适用于平行x轴的直线方程，此时在x轴上无截距；
对于D，直线y＝kx＋b与y轴交于一点B(0，b)，其中截距b＝|OB|不正确，因为截距是b，其值可正可负，
故选A.
7.在xOy平面内，如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y＝x＋4的斜率一半和在y轴上截距的两倍，那么直线l的方程是(　　)
A．y＝x＋8
B．y＝x＋12
C．y＝x＋4
D．y＝x＋2
【答案】A
【解析】由直线y＝x＋4的斜率为，
则直线l的斜率为；
由直线y＝x＋4，令x＝0解得y＝4，
则直线l与y轴的截距为8，
则直线l的方程为y＝x＋8，
故选A.
8.直线－＝1与－＝1在同一坐标系中的图象可能是(　　)
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】两直线的方程分别化为斜截式：y＝x－n，y＝x－m，易知两直线的斜率的符号相同，四个选项中仅有B选项的两直线的斜率符号相同．

考点3 直线的两点式方程
9.经过两点A(4，0)，B(0，－3)的直线方程是(　　)
A．3x－4y－12＝0
B．3x＋4y－12＝0
C．4x－3y＋12＝0
D．4x＋3y＋12＝0
【答案】A
【解析】由直线方程的两点式可得经过两点A(4，0)，B(0，－3)的直线方程为，即3x－4y－12＝0.
故选A.
10.过点(－2，1)，(3，－3)的直线方程为(　　)
A．4x－5y＋13＝0
B．4x＋5y＋3＝0
C．5x＋4y＋5＝0
D．5x－4y＋8＝0
【答案】B
【解析】由直线方程的两点式可得经过两点(－2，1)，(3，－3)的直线方程为，
化简得4x＋5y＋3＝0，
∴过点(－2，1)，(3，－3)的直线方程为4x＋5y＋3＝0.
故选B.
11.已知动点P(t，t)，Q(10－t，0)，其中0＜t＜10，则点M(6，1)，N(4，5)与直线PQ的关系是(　　)

A．M，N均在直线PQ上
B．M，N均不在直线PQ上
C．M不在直线PQ上，N可能在直线PQ上
D．M可能在直线PQ上，N不在直线PQ上
【答案】C
【解析】∵动点P(t，t)，Q(10－t，0)，其中0＜t＜10，
∴直线PQ：＝，
即tx＋(10－2t)y＋t2－10t＝0，
把M(6，1)代入PQ，得：t2－6t＋10＝(t－3)2＋1≥1，
∴M一定不在直线PQ上；
把N(4，5)代入PQ，
得：t2－16t＋50＝0，Δ＝(－16)2－4×50＝56＞0，
∴N有可能在直线PQ上．
故选C.
12.设a＜c＜b，如果把函数y＝f(x)的图象被两条平行的直线x＝a，x＝b所截的一段近似地看作一条线段，则下列关系式中，f(c)的最佳近似表示式是(　　)
A．f＝
B．f＝
C．f＝f＋[f－f]
D．f＝f－[f－f]
【答案】C
【解析】由题意可得A(a，f(a))，B(b，f(b))，
则过点A，B的直线方程为＝，
从而可得，f＝f=＋[f－f]．故选C.
24.已知三角形的顶点是A(5，0)，B(3，－3)，C(0，1)，求这个三角形三边所在的直线方程．
【答案】AB所在直线的方程为，
即3x－2y－15＝0；BC所在直线的方程为，
即4x＋3y－3＝0；
AC所在直线的方程为，即x＋5y－5＝0.
25.t∈R，且t∈(0，10)，由t确定两个任意点P(t，t)，Q(10－t，0)．
(1)直线PQ是否能通过点M(6，1)，点N(4，5)；
(2)在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点C在边PQ上，顶点D在边OP上．
①求证：顶点C一定在直线y＝x上．
②求图中阴影部分面积的最大值，2并求这时顶点A，B，C，D的坐标．

【答案】(1)令过P，Q的方程为＝，即tx－2(t－5)y＋t2－10t＝0，
假设直线PQ过点M，
则t2－6t＋10＝0，Δ＝36－40＜0，无实根，故直线PQ不过点M.
假设直线PQ过点N，
同理得t2－16t＋50＝0，t1＝8－，t2＝8＋(舍去)．
∵t∈(0，10)，∴当t＝8－时，直线PQ过点N(4，5)．
(2)由已知条件可设A(a，0)，B(2a，0)，C(2a，a)，D(a，a)．
①点C(2a，a)，即
消去a得y＝x，
故顶点C在直线y＝x上．
②令阴影部分面积为S，则S＝|10－t|×|t|－a2，
∵t＞0，10－t＞0，S＝(－t2＋10t)－a2，
∵点C(2a，a)在直线PQ上，
∴2at－2(t－5)a＝－t2＋10t，
∴a＝(10t－t2)，
S＝×10a－a2＝－＋，
∴当a＝时，Smax＝，
此时顶点A，B，C，D的坐标为A(，0)，B(5，0)，C(5，)，D(，)．

考点4 直线的截距式方程
13.下列说法中正确的是(　　)
A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
C．不经过原点的直线都可以用方程＝1表示
D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
【答案】D
【解析】选项A不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点P0(x0，y0)的直线不可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．
选项B不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点A(0，b)的直线不可以用方程y＝kx＋b表示．
选项C不正确，当直线和x轴垂直或者与y轴垂直时，不经过原点的直线不可以用方程＝1表示．
选项D正确，斜率有可能不存在，截距也有可能为0，但都能用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．
故选D.
14.两条直线l1：＝1和l2：＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】化为截距式＝1，＝1.
假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合．
15.经过点A(1，0)，B(0，－1)的直线方程为(　　)
A．y＝x＋1
B．y＝x－1
C．y＝－x＋1
D．y＝－x－1
【答案】B
【解析】由于点A，B分别在x，y轴上，由截距式可得直线方程为＝1，即y＝x－1.故选B.
16.已知直线l过点(2，1)，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为(　　)
A．x－y－1＝0
B．x＋y－5＝0或x－2y＝0
C．x－y－1＝0或x－2y＝0
D．x＋y－5＝0或x－y－1＝0
【答案】C
【解析】①当直线经过原点时，在两个轴上的截距都为0，符合题意，
此时直线方程为x－2y＝0；
②当直线不经过原点时，设直线方程为＝1，将点(2，1)代入，得k＝1，
∴此时直线的方程为x－y－1＝0，
综上，符合题意的直线为x－y－1＝0或x－2y＝0.
故选C.
17.直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线方程为(　　)
A．4x－y＋16＝0
B．x＋3y－9＝0
C．4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0
D．2x＋y－16＝0
【答案】C
【解析】设直线的方程为＝1，
∵直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，
∴解得或
∴直线的方程为＝1或＝1.
化为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
故选C.
18.过点(1，5)作直线l，若经过点(a，0)和(0，b)，且a∈N*，b∈N*，则可作出的l的条数为(　　)
A．1
B．2
C．5
D．4
【答案】B
【解析】∵直线l过点(a，0)和(0，b)，
可设直线l的方程为＝1，
∵直线l过点(1，5)，
∴＝1，
即5a＝(a－1)b，又a∈N*，b∈N*，
∴当a＝1时，直线和x轴垂直，和y轴无交点，直线不过(0，b)，故a＝1时不满足条件．
当a≥2时，b＝，①
当a＝2时，b＝10，当a＝6时，b＝6，
当a＞6时，由①知，满足条件的正整数b不存在，
综上，满足条件的直线有2条，故选B.
考点5 中点坐标公式
19.在平面直角坐标系中，已知A(1，－2)，B(3，0)，那么线段AB中点的坐标为(　　)
A．(2，－1)
B．(2，1)
C．(4，－2)
D．(－1，2)
【答案】A
【解析】在平面直角坐标系中，已知A(1，－2)，B(3，0)，
代入中点坐标公式得，
故线段AB中点的坐标为(2，－1)，故选A.
20.点M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)，则(　　)
A．m＝－3，n＝10
B．m＝3，n＝10
C．m＝－3，n＝5
D．m＝3，n＝5
【答案】D
【解析】由对称关系得n＝，－3＝，可得m＝3，n＝5.
21.过点P(1，2)引一条直线，使它与点A(2，3)和点B(4，－5)的距离相等，那么这条直线的方程是(　　)
A．4x＋y－6＝0
B．3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0
C．x＋4y－6＝0
D．2x＋3y－7＝0或x＋4y－6＝0
【答案】B
【解析】由题意得，所求直线经过线段AB的中点，或者所求的直线和线段AB平行，由中点公式可求线段AB的中点坐标为(3，－1)，又直线过点P(1，2)，∴当所求直线经过线段AB的中点时，由两点式得所求直线的方程为＝，即3x＋2y－7＝0，
当所求的直线和线段AB平行时，直线的斜率为－4，
由点斜式得y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0，
综上，所求直线的方程为3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0.
22.△ABC中，A(－2，0)、B(2，0)、C(－2，2)，则AB边的中线对应方程为(　　)
A．y＝x
B．y＝x(－2≤x≤0)
C．y＝－x
D．y＝－x(－2≤x≤0)
【答案】D
【解析】设AB边的中点为M(m，n)，
则
解得m＝n＝0.即M(0，0)，
∴kCM＝＝－1，
∴AB边的中线对应方程为y＝－x(－2≤x≤0)．
故选D.
23.已知△ABC的三个顶点为A(1，2)，B(3，0)，C(7，4)，那么△ABC中与AB边平行的中位线所在直线的方程为(　　)
A．x＋y－7＝0
B．x＋y＋3＝0
C．x＋y－5＝0
D．x＋y－2＝0
【答案】A
【解析】设AB边的中位线为DE，D为AC的中点，E为BC的中点，
则中位线DE所在直线的斜率等于AB所在直线的斜率k＝＝－1，
根据中点坐标公式得到D(，)，即(4，3)，
所以该直线的一般式方程为y－3＝－(x－4)，
化简得x＋y－7＝0.
故选A.
26.△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(－2，6)，C(－8，0)．
(1)分别求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；
(3)求AC边的中垂线所在直线的方程；
(4)求AC边上的高所在直线的方程；
(5)求经过两边AB和AC的中点的直线方程．
【答案】(1)由A(0，4)，C(－8，0)可得直线AC的截距式方程为＋＝1，即x－2y＋8＝0.
由A(0，4)，B(－2，6)可得直线AB的两点式方程为＝，即x＋y－4＝0.
(2)设AC边的中点为D(x，y)，由中点坐标公式可得x＝－4，y＝2，所以直线BD的两点式方程为＝，即2x－y＋10＝0.
(3)由直线AC的斜率为kAC＝＝，故AC边的中垂线的斜率为k＝－2.
又AC的中点D(－4，2)，所以AC边的中垂线方程为y－2＝－2(x＋4)，即2x＋y＋6＝0.
(4)AC边上的高线的斜率为－2，且过点B(－2，6)，所以其点斜式方程为y－6＝－2(x＋2)，即2x＋y－2＝0.
(5)AB的中点M(－1，5)，AC的中点D(－4，2)，
∴直线DM方程为＝，即x－y＋6＝0.
27.三角形的三个顶点是A(4，0)，B(6，7)，C(0，3)，
(1)求经过两边BC和AB中点的直线方程；
(2)求BC边的垂直平分线的方程．
【答案】(1)∵A(4，0)，B(6，7)，C(0，3)，
∴BC和AB中点分别为D(3，5)，E(5，)，
故所求直线的斜率k＝＝－，
故所求直线方程为y－5＝－(x－3)，
可化为3x＋4y－29＝0.
(2)由题意可得BC的斜率为＝，
故BC的垂直平分线的斜率为－，
又BC的垂直平分线过BC的中点D(3，5)，
故方程为y－5＝－(x－3)，
可化为3x＋2y－19＝0.