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人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试精品当堂达标检测题
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试精品当堂达标检测题，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知圆C以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M(5，－7)与圆C的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外D．无法判断
2．已知过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－，则|MN|＝( )
A．10B．180
C．6D．6
3．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍，则( )
A．m＝－，n＝1B．m＝－，n＝－3
4．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为( )
A.x＋y－5＝0B.x＋y＋5＝0
C．2x＋y－5＝0D．2x＋y＋5＝0
5．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为( )
A．3x－y－13＝0B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0D．3x＋y＋13＝0
6．若直线l：y＝kx＋1(k＜0)与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交B．相切
C．相离D．不确定
7．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是( )
A．相切B．相交
C．相离D．不能确定
8．（2020•沙坪坝区校级期末）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2＝﹣2y+3，直线l经过点（1，0）且与直线x﹣y+1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为（ ）
A．1B．2C．2D．22
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程可能为( )
A．x－y＋1＝0B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0D．x－y－1＝0
10．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的充分不必要条件可以是( )
A．0＜m＜1B．m＜1
C．－2＜m＜1D．－3＜m＜1
11．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线l：x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则直线l的方程是( )
A．x＋y－2＝0B．x＋y－4＝0
C．x＋y－8＝0D．x＋y－10＝0
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．（2020•广东模拟）若过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，则实数a的取值范围为 ．
14．（2020•武汉月考）若两平行直线3x﹣2y﹣1＝0，6x+ay+c＝0之间的距离为21313，则c+2a的值为 ．
15．若⊙O：x2+y2＝5与⊙O1：（x﹣m）2+y2＝20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是
16．（2020•温州期末）已知直线l：mx﹣y＝1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y＝2垂直，则m的值为 ，动直线l：mx﹣y＝1被圆C：x2﹣2x+y2﹣8＝0截得的最短弦长为 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)（2020•桂林期末）已知直线l经过点P（﹣2，1），且与直线x+y＝0垂直．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行且点P到直线m的距离为2，求直线m的方程．
18．(本小题满分12分)（2020•黄陵县校级期中）已知从圆外一点P（4，6）作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B．
（1）求以OP为直径的圆的方程；
（2）求直线AB的方程．
19．(本小题满分12分)如图，已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x﹣2y+2＝0上．
（Ⅰ）求AB边上的高CE所在直线的方程；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
20．(本小题满分12分)已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于点M、N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若OM→•ON→=12，其中O为坐标原点，求|MN|．
21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
22．(本小题满分12分)已知圆M：x2+（y﹣4）2＝4，点P是直线l：x﹣2y＝0上的一个动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
（1）当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；
（2）记∠APB＝θ，求csθ的最小值；
（3）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．
直线和圆的方程章末检测
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知圆C以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M(5，－7)与圆C的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外D．无法判断
【答案】B
【解析】点M(5，－7)到圆心(2，－3)的距离d＝＝5，故点M在圆C上．
2．已知过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－，则|MN|＝( )
A．10B．180
C．6D．6
【答案】D
【解析】由kMN＝＝－，解得a＝10，即M(－2,10)，N(10,4)，所以|MN|＝，故选D.
3．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍，则( )
A．m＝－，n＝1B．m＝－，n＝－3
C．m＝，n＝－3D．m＝，n＝1
【答案】D
【解析】依题意得：直线x－y＝3的斜率为，∴其倾斜角为60°.∴－＝－3，－＝tan 120°＝－，得m＝，n＝1.
4．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为( )
A.x＋y－5＝0B.x＋y＋5＝0
C．2x＋y－5＝0D．2x＋y＋5＝0
【答案】C
【解析】∵M(2,1)在圆上，∴切线与MO垂直．
∵kMO＝，∴切线斜率为－2.又过点M(2,1)，
∴y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
5．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为( )
A．3x－y－13＝0B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0D．3x＋y＋13＝0
【答案】C
【解析】 由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，∵kAB＝，∴kl＝－3，由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.
6．若直线l：y＝kx＋1(k＜0)与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交B．相切
C．相离D．不确定
【答案】A
【解析】依题意，直线l与圆C相切，则，解得k＝±1.又k＜0，所以k＝－1，于是直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2,0)到直线l的距离d＝，所以直线l与圆D相交，故选A.
7．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是( )
A．相切B．相交
C．相离D．不能确定
【答案】A
【解析】由已知得C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，即圆心C(1，m)，半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2.由圆心C(1,2)到直线x＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切．故选A.
8．（2020•沙坪坝区校级期末）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2＝﹣2y+3，直线l经过点（1，0）且与直线x﹣y+1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为（ ）
A．1B．2C．2D．22
【答案】A
【解析】∵圆C的方程为x2+y2＝﹣2y+3，∴化成标准方程，可得x2+（y+1）2＝4，
由此可得圆的圆心为C（0，﹣1）、半径为2．
∵直线x﹣y+1＝0的斜率为1且与直线l垂直，直线l经过点（1，0），
∴直线l的斜率为k＝﹣1，可得直线l的方程为y＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0．
因此，圆心C到直线l的距离d=|0-1-1|2=2．
∴直线l被圆C截得的弦长|AB|＝2r2-d2=24-2=22，
又∵坐标原点O到AB的距离为d'=|0+0-1|2=22，
∴△OAB的面积为S=12|AB|×d'=12×22×22=1．
故选：A．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程可能为( )
A．x－y＋1＝0B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0D．x－y－1＝0
【答案】AC
【解析】当直线过原点时，可得斜率为＝2，故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＝1，代入点(1,2)，可得＝1，解得a＝－1，直线方程为x－y＋1＝0，故所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.故选A、C.
10．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的充分不必要条件可以是( )
A．0＜m＜1B．m＜1
C．－2＜m＜1D．－3＜m＜1
【答案】AC
【解析】圆x2＋y2－2x－1＝0的圆心为(1,0)，半径为.因为直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d＝，所以|1＋m|＜2，解得－3＜m＜1，求其充分条件，即求其子集，故由选项易得A、C符合．故选A、C.
11．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线l：x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则直线l的方程是( )
A．x＋y－2＝0B．x＋y－4＝0
C．x＋y－8＝0D．x＋y－10＝0
【答案】AD
【解析】根据题意，圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，其圆心C(3,3)，半径r＝6，若直线l：x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则圆心到直线的距离为2，则有d＝，变形可得|6－m|＝4，解得m＝2或10，即l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－10＝0.
12．（2020•泉州期末）已知直线l1：x﹣y﹣1＝0，动直线l2：（k+1）x+ky+k＝0（k∈R），则下列结论正确的是（ ）
A．存在k，使得l2的倾斜角为90°
B．对任意的k，l1与l2都有公共点
C．对任意的k，l1与l2都不重合
D．对任意的k，l1与l2都不垂直
【答案】ABD
【解析】对于动直线l2：（k+1）x+ky+k＝0（k∈R），当k＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故A正确；
由于方程组 x-y-1=0(k+1)x+ky+k=0，可得（2k+1）x＝0，此方程有解，可得l1与l2都有交点，故B正确；
∵当k=-12时，k+11=k-1=k-1 成立，此时l1与l2重合，故C错误；
由于直线l1：x﹣y﹣1＝0 的斜率为1，动直线l2的斜率为k+1-k=-1-1k≠-1，
故对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确，
故选：ABD．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．（2020•广东模拟）若过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，则实数a的取值范围为 ．
【答案】AC
【解析】∵过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，
∴直线的斜率小于0，
即 2a-a-13-1+a＜0，即 a-1a+2＜0，解得﹣2＜a＜1，
故答案为 （﹣2，1）．
14．（2020•武汉月考）若两平行直线3x﹣2y﹣1＝0，6x+ay+c＝0之间的距离为21313，则c+2a的值为 ．
【答案】AC
【解析】由题意得，36=-2a≠-1c，∴a＝﹣4，c≠﹣2，
则6x+ay+c＝0可化为3x﹣2y+c2=0，
由两平行线间的距离公式，得|c2+1|13=21313，即|c2+1|＝2
解得c＝2或﹣6，
所以c+2a=±1．
故答案为：±1
15．若⊙O：x2+y2＝5与⊙O1：（x﹣m）2+y2＝20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是
【答案】4
【解析】∵两圆在点A处的切线互相垂直，
∴OA⊥O1A．
又|OA|=5，|O1A|＝25，
∴|OO1|＝5．
∴AB＝2×|OA|⋅|O1A||OO1|=2×5×255=4．
16．（2020•温州期末）已知直线l：mx﹣y＝1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y＝2垂直，则m的值为 ，动直线l：mx﹣y＝1被圆C：x2﹣2x+y2﹣8＝0截得的最短弦长为 ．
【答案】0或2；27
【解析】∵直线mx﹣y＝1与直线x+m（m﹣1）y＝2垂直，
∴m×1+（﹣1）×m（m﹣1）＝0，
解得m＝0或m＝2；
动直线l：mx﹣y＝1过定点（0，﹣1），
圆C：x2﹣2x+y2﹣8＝0化为（x﹣1）2+y2＝9，
圆心（1，0）到直线mx﹣y﹣1＝0的距离的最大值为(0-1)2+(-1-0)2=2，
∴动直线l：mx﹣y＝1被圆C：x2﹣2x+y2﹣8＝0截得的最短弦长为29-(2)2=27．
故答案为：0或2；27．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)（2020•桂林期末）已知直线l经过点P（﹣2，1），且与直线x+y＝0垂直．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行且点P到直线m的距离为2，求直线m的方程．
【解析】（1）由题意知直线l的斜率为1，
所求直线方程为y﹣1＝x+2，
即为x﹣y+3＝0；
（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为x﹣y+c＝0，
由点到直线的距离公式得|-2-1+c|2=2，
即|c﹣3|＝2，解得c＝1或c＝5；
∴所求直线的方程为x﹣y+1＝0或x﹣y+5＝0．
18．(本小题满分12分)（2020•黄陵县校级期中）已知从圆外一点P（4，6）作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B．
（1）求以OP为直径的圆的方程；
（2）求直线AB的方程．
【解析】（1）从圆外一点P（4，6）作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，
且以OP为直径的圆，可得所求圆的圆心为线段OP的中点（2，3），
半径为12|OP|=1216+36=13，
∴以OP为直径的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝13．
（2）∵PA，PB是圆O：x2+y2＝1的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴A，B两点都在以OP为直径的圆上．
由x2+y2=1(x-2)2+(y-3)2=13，
两式相减得直线AB的方程为4x+6y﹣1＝0．
19．(本小题满分12分)如图，已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x﹣2y+2＝0上．
（Ⅰ）求AB边上的高CE所在直线的方程；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
【解析】（Ⅰ）由题意可知，E为AB的中点，∴E（3，2），kAB=3-12-4=-1．
且kCE=-1kAB=1，∴CE：y﹣2＝x﹣3，即x﹣y﹣1＝0．
（Ⅱ）由x-2y+2=0x-y-1=0得C（4，3），
∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC，
∴S△ABC=12|AC||BC|=2．
20．(本小题满分12分)已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于点M、N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若OM→•ON→=12，其中O为坐标原点，求|MN|．
【解析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y＝kx+1，即：kx﹣y+1＝0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R＝1．
故由|2k-3+1|k2+1＜1，
故当4-73＜k＜4+73，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1相交于M，N两点．
（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y＝kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，
可得 （1+k2）x2﹣4（k+1）x+7＝0，
∴x1+x2=4(1+k)1+k2，x1•x2=71+k2，
∴y1•y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1
=71+k2•k2+k•4(1+k)1+k2+1=12k2+4k+11+k2，
由OM→•ON→=x1•x2+y1•y2=12k2+4k+81+k2=12，解得 k＝1，
故直线l的方程为 y＝x+1，即 x﹣y+1＝0．
圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．
所以|MN|＝2．
11．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
【解析】（1）曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，
可设A（x1，0），B（x2，0），
由韦达定理可得x1x2＝﹣2，
若AC⊥BC，则kAC•kBC＝﹣1，
即有1-00-x1•1-00-x2=-1，
即为x1x2＝﹣1这与x1x2＝﹣2矛盾，
故不出现AC⊥BC的情况；
（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），
由题意可得y＝0时，x2+Dx+F＝0与x2+mx﹣2＝0等价，
可得D＝m，F＝﹣2，
圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2＝0，
由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2＝0，可得E＝1，
则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2＝0，
另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d），
则由相交弦定理可得|OA|•|OB|＝|OC|•|OH|，
即有2＝|OH|，
再令x＝0，可得y2+y﹣2＝0，
解得y＝1或﹣2．
即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），
则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．
22．(本小题满分12分)已知圆M：x2+（y﹣4）2＝4，点P是直线l：x﹣2y＝0上的一个动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
（1）当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；
（2）记∠APB＝θ，求csθ的最小值；
（3）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）圆M：x2+（y﹣4）2＝4的圆心M（0，4），半径为2，
在直角△MAP中，PA＝23，AM＝2，可得MP＝4，
由x=2yx2+(y-4)2=16解得x=0y=0或x=165y=85，
即有P（0，0），（165，85）；
（2）在直角△MAP中，sin∠APM＝sinθ2=MAMP=2MP，
则csθ＝1﹣2sin2θ2=1-8MP2，
要求csθ的最小值，只需求MP的最小值．
MP的最小值，即为M到直线x﹣2y＝0的距离，
且为d=|0-8|5=85．
则有csθ的最小值为1-58=38；
（3）设P（2b，b），因为∠MAP＝90°，
所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，
其方程为：（x﹣b）2+（y-b+42）2=4b2+(b-4)24，
即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）＝0，
由2x+y-4=0x2+y2-4y=0，解得x=0y=4或x=85y=45，
所以圆过定点（0，4），（85，45）．
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知圆C以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M(5，－7)与圆C的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外D．无法判断
2．已知过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－，则|MN|＝( )
A．10B．180
C．6D．6
3．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍，则( )
A．m＝－，n＝1B．m＝－，n＝－3
4．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为( )
A.x＋y－5＝0B.x＋y＋5＝0
C．2x＋y－5＝0D．2x＋y＋5＝0
5．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为( )
A．3x－y－13＝0B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0D．3x＋y＋13＝0
6．若直线l：y＝kx＋1(k＜0)与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交B．相切
C．相离D．不确定
7．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是( )
A．相切B．相交
C．相离D．不能确定
8．（2020•沙坪坝区校级期末）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2＝﹣2y+3，直线l经过点（1，0）且与直线x﹣y+1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为（ ）
A．1B．2C．2D．22
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程可能为( )
A．x－y＋1＝0B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0D．x－y－1＝0
10．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的充分不必要条件可以是( )
A．0＜m＜1B．m＜1
C．－2＜m＜1D．－3＜m＜1
11．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线l：x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则直线l的方程是( )
A．x＋y－2＝0B．x＋y－4＝0
C．x＋y－8＝0D．x＋y－10＝0
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．（2020•广东模拟）若过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，则实数a的取值范围为 ．
14．（2020•武汉月考）若两平行直线3x﹣2y﹣1＝0，6x+ay+c＝0之间的距离为21313，则c+2a的值为 ．
15．若⊙O：x2+y2＝5与⊙O1：（x﹣m）2+y2＝20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是
16．（2020•温州期末）已知直线l：mx﹣y＝1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y＝2垂直，则m的值为 ，动直线l：mx﹣y＝1被圆C：x2﹣2x+y2﹣8＝0截得的最短弦长为 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)（2020•桂林期末）已知直线l经过点P（﹣2，1），且与直线x+y＝0垂直．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行且点P到直线m的距离为2，求直线m的方程．
18．(本小题满分12分)（2020•黄陵县校级期中）已知从圆外一点P（4，6）作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B．
（1）求以OP为直径的圆的方程；
（2）求直线AB的方程．
19．(本小题满分12分)如图，已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x﹣2y+2＝0上．
（Ⅰ）求AB边上的高CE所在直线的方程；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
20．(本小题满分12分)已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于点M、N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若OM→•ON→=12，其中O为坐标原点，求|MN|．
21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
22．(本小题满分12分)已知圆M：x2+（y﹣4）2＝4，点P是直线l：x﹣2y＝0上的一个动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
（1）当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；
（2）记∠APB＝θ，求csθ的最小值；
（3）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．
直线和圆的方程章末检测
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知圆C以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M(5，－7)与圆C的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外D．无法判断
【答案】B
【解析】点M(5，－7)到圆心(2，－3)的距离d＝＝5，故点M在圆C上．
2．已知过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－，则|MN|＝( )
A．10B．180
C．6D．6
【答案】D
【解析】由kMN＝＝－，解得a＝10，即M(－2,10)，N(10,4)，所以|MN|＝，故选D.
3．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍，则( )
A．m＝－，n＝1B．m＝－，n＝－3
C．m＝，n＝－3D．m＝，n＝1
【答案】D
【解析】依题意得：直线x－y＝3的斜率为，∴其倾斜角为60°.∴－＝－3，－＝tan 120°＝－，得m＝，n＝1.
4．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为( )
A.x＋y－5＝0B.x＋y＋5＝0
C．2x＋y－5＝0D．2x＋y＋5＝0
【答案】C
【解析】∵M(2,1)在圆上，∴切线与MO垂直．
∵kMO＝，∴切线斜率为－2.又过点M(2,1)，
∴y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
5．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为( )
A．3x－y－13＝0B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0D．3x＋y＋13＝0
【答案】C
【解析】 由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，∵kAB＝，∴kl＝－3，由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.
6．若直线l：y＝kx＋1(k＜0)与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交B．相切
C．相离D．不确定
【答案】A
【解析】依题意，直线l与圆C相切，则，解得k＝±1.又k＜0，所以k＝－1，于是直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2,0)到直线l的距离d＝，所以直线l与圆D相交，故选A.
7．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是( )
A．相切B．相交
C．相离D．不能确定
【答案】A
【解析】由已知得C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，即圆心C(1，m)，半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2.由圆心C(1,2)到直线x＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切．故选A.
8．（2020•沙坪坝区校级期末）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2＝﹣2y+3，直线l经过点（1，0）且与直线x﹣y+1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为（ ）
A．1B．2C．2D．22
【答案】A
【解析】∵圆C的方程为x2+y2＝﹣2y+3，∴化成标准方程，可得x2+（y+1）2＝4，
由此可得圆的圆心为C（0，﹣1）、半径为2．
∵直线x﹣y+1＝0的斜率为1且与直线l垂直，直线l经过点（1，0），
∴直线l的斜率为k＝﹣1，可得直线l的方程为y＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0．
因此，圆心C到直线l的距离d=|0-1-1|2=2．
∴直线l被圆C截得的弦长|AB|＝2r2-d2=24-2=22，
又∵坐标原点O到AB的距离为d'=|0+0-1|2=22，
∴△OAB的面积为S=12|AB|×d'=12×22×22=1．
故选：A．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程可能为( )
A．x－y＋1＝0B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0D．x－y－1＝0
【答案】AC
【解析】当直线过原点时，可得斜率为＝2，故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＝1，代入点(1,2)，可得＝1，解得a＝－1，直线方程为x－y＋1＝0，故所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.故选A、C.
10．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的充分不必要条件可以是( )
A．0＜m＜1B．m＜1
C．－2＜m＜1D．－3＜m＜1
【答案】AC
【解析】圆x2＋y2－2x－1＝0的圆心为(1,0)，半径为.因为直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d＝，所以|1＋m|＜2，解得－3＜m＜1，求其充分条件，即求其子集，故由选项易得A、C符合．故选A、C.
11．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线l：x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则直线l的方程是( )
A．x＋y－2＝0B．x＋y－4＝0
C．x＋y－8＝0D．x＋y－10＝0
【答案】AD
【解析】根据题意，圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，其圆心C(3,3)，半径r＝6，若直线l：x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则圆心到直线的距离为2，则有d＝，变形可得|6－m|＝4，解得m＝2或10，即l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－10＝0.
12．（2020•泉州期末）已知直线l1：x﹣y﹣1＝0，动直线l2：（k+1）x+ky+k＝0（k∈R），则下列结论正确的是（ ）
A．存在k，使得l2的倾斜角为90°
B．对任意的k，l1与l2都有公共点
C．对任意的k，l1与l2都不重合
D．对任意的k，l1与l2都不垂直
【答案】ABD
【解析】对于动直线l2：（k+1）x+ky+k＝0（k∈R），当k＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故A正确；
由于方程组 x-y-1=0(k+1)x+ky+k=0，可得（2k+1）x＝0，此方程有解，可得l1与l2都有交点，故B正确；
∵当k=-12时，k+11=k-1=k-1 成立，此时l1与l2重合，故C错误；
由于直线l1：x﹣y﹣1＝0 的斜率为1，动直线l2的斜率为k+1-k=-1-1k≠-1，
故对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确，
故选：ABD．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．（2020•广东模拟）若过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，则实数a的取值范围为 ．
【答案】AC
【解析】∵过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，
∴直线的斜率小于0，
即 2a-a-13-1+a＜0，即 a-1a+2＜0，解得﹣2＜a＜1，
故答案为 （﹣2，1）．
14．（2020•武汉月考）若两平行直线3x﹣2y﹣1＝0，6x+ay+c＝0之间的距离为21313，则c+2a的值为 ．
【答案】AC
【解析】由题意得，36=-2a≠-1c，∴a＝﹣4，c≠﹣2，
则6x+ay+c＝0可化为3x﹣2y+c2=0，
由两平行线间的距离公式，得|c2+1|13=21313，即|c2+1|＝2
解得c＝2或﹣6，
所以c+2a=±1．
故答案为：±1
15．若⊙O：x2+y2＝5与⊙O1：（x﹣m）2+y2＝20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是
【答案】4
【解析】∵两圆在点A处的切线互相垂直，
∴OA⊥O1A．
又|OA|=5，|O1A|＝25，
∴|OO1|＝5．
∴AB＝2×|OA|⋅|O1A||OO1|=2×5×255=4．
16．（2020•温州期末）已知直线l：mx﹣y＝1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y＝2垂直，则m的值为 ，动直线l：mx﹣y＝1被圆C：x2﹣2x+y2﹣8＝0截得的最短弦长为 ．
【答案】0或2；27
【解析】∵直线mx﹣y＝1与直线x+m（m﹣1）y＝2垂直，
∴m×1+（﹣1）×m（m﹣1）＝0，
解得m＝0或m＝2；
动直线l：mx﹣y＝1过定点（0，﹣1），
圆C：x2﹣2x+y2﹣8＝0化为（x﹣1）2+y2＝9，
圆心（1，0）到直线mx﹣y﹣1＝0的距离的最大值为(0-1)2+(-1-0)2=2，
∴动直线l：mx﹣y＝1被圆C：x2﹣2x+y2﹣8＝0截得的最短弦长为29-(2)2=27．
故答案为：0或2；27．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)（2020•桂林期末）已知直线l经过点P（﹣2，1），且与直线x+y＝0垂直．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行且点P到直线m的距离为2，求直线m的方程．
【解析】（1）由题意知直线l的斜率为1，
所求直线方程为y﹣1＝x+2，
即为x﹣y+3＝0；
（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为x﹣y+c＝0，
由点到直线的距离公式得|-2-1+c|2=2，
即|c﹣3|＝2，解得c＝1或c＝5；
∴所求直线的方程为x﹣y+1＝0或x﹣y+5＝0．
18．(本小题满分12分)（2020•黄陵县校级期中）已知从圆外一点P（4，6）作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B．
（1）求以OP为直径的圆的方程；
（2）求直线AB的方程．
【解析】（1）从圆外一点P（4，6）作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，
且以OP为直径的圆，可得所求圆的圆心为线段OP的中点（2，3），
半径为12|OP|=1216+36=13，
∴以OP为直径的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝13．
（2）∵PA，PB是圆O：x2+y2＝1的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴A，B两点都在以OP为直径的圆上．
由x2+y2=1(x-2)2+(y-3)2=13，
两式相减得直线AB的方程为4x+6y﹣1＝0．
19．(本小题满分12分)如图，已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x﹣2y+2＝0上．
（Ⅰ）求AB边上的高CE所在直线的方程；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
【解析】（Ⅰ）由题意可知，E为AB的中点，∴E（3，2），kAB=3-12-4=-1．
且kCE=-1kAB=1，∴CE：y﹣2＝x﹣3，即x﹣y﹣1＝0．
（Ⅱ）由x-2y+2=0x-y-1=0得C（4，3），
∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC，
∴S△ABC=12|AC||BC|=2．
20．(本小题满分12分)已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于点M、N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若OM→•ON→=12，其中O为坐标原点，求|MN|．
【解析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y＝kx+1，即：kx﹣y+1＝0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R＝1．
故由|2k-3+1|k2+1＜1，
故当4-73＜k＜4+73，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1相交于M，N两点．
（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y＝kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，
可得 （1+k2）x2﹣4（k+1）x+7＝0，
∴x1+x2=4(1+k)1+k2，x1•x2=71+k2，
∴y1•y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1
=71+k2•k2+k•4(1+k)1+k2+1=12k2+4k+11+k2，
由OM→•ON→=x1•x2+y1•y2=12k2+4k+81+k2=12，解得 k＝1，
故直线l的方程为 y＝x+1，即 x﹣y+1＝0．
圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．
所以|MN|＝2．
11．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
【解析】（1）曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，
可设A（x1，0），B（x2，0），
由韦达定理可得x1x2＝﹣2，
若AC⊥BC，则kAC•kBC＝﹣1，
即有1-00-x1•1-00-x2=-1，
即为x1x2＝﹣1这与x1x2＝﹣2矛盾，
故不出现AC⊥BC的情况；
（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），
由题意可得y＝0时，x2+Dx+F＝0与x2+mx﹣2＝0等价，
可得D＝m，F＝﹣2，
圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2＝0，
由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2＝0，可得E＝1，
则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2＝0，
另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d），
则由相交弦定理可得|OA|•|OB|＝|OC|•|OH|，
即有2＝|OH|，
再令x＝0，可得y2+y﹣2＝0，
解得y＝1或﹣2．
即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），
则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．
22．(本小题满分12分)已知圆M：x2+（y﹣4）2＝4，点P是直线l：x﹣2y＝0上的一个动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
（1）当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；
（2）记∠APB＝θ，求csθ的最小值；
（3）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）圆M：x2+（y﹣4）2＝4的圆心M（0，4），半径为2，
在直角△MAP中，PA＝23，AM＝2，可得MP＝4，
由x=2yx2+(y-4)2=16解得x=0y=0或x=165y=85，
即有P（0，0），（165，85）；
（2）在直角△MAP中，sin∠APM＝sinθ2=MAMP=2MP，
则csθ＝1﹣2sin2θ2=1-8MP2，
要求csθ的最小值，只需求MP的最小值．
MP的最小值，即为M到直线x﹣2y＝0的距离，
且为d=|0-8|5=85．
则有csθ的最小值为1-58=38；
（3）设P（2b，b），因为∠MAP＝90°，
所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，
其方程为：（x﹣b）2+（y-b+42）2=4b2+(b-4)24，
即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）＝0，
由2x+y-4=0x2+y2-4y=0，解得x=0y=4或x=85y=45，
所以圆过定点（0，4），（85，45）．
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