第五章数列专练11—综合练习（一）-2021届高三数学一轮复习

数列专练11—综合练习（一）一、单选题1．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的　　A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知等比数列中，公比，若，则有　　A．最小值 B．最大值 C．最小值12 D．最大值123．数列的首项为1，数列为等比数列且，若，则　　A．4 B．8 C．16 D．324．设是等差数列，下列结论中正确的是　　A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则5．已知等差数列前项和为．且，，则此数列中绝对值最小的项为　　A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项6．设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项分别为，，，则下列等式中恒成立的是　　A． B． C． D．7．定义在，，上的函数，如果对于任意给定的等比数列，若仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”现有定义在，，上的如下函数：①②③④．则其中是“保等比数列函数的序号为　　A．①② B．③④ C．①③ D．②④8．已知数列的前项的和为，且，，．又已知当时，恒成立．则使得成立的正整数的取值集合为　　A．，     B．， C．，                     D．，二、多选题9．已知等比数列中，满足，公比，则　　A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是递减数列10．已知数列前项和为，且，为非零常数），则下列结论中正确的是　　A．数列为等比数列 B．时， C．当时， D．11．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是　　A．数列是等比数列 B．若，，则 C．若，则数列是递增数列 D．若数列的前和，则12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是　　A． B． C． D．三、填空题13．记为等差数列的前项和．若，，则　　．14．已知数列满足，则前48项之和为　　．15．由数列和的公共项组成的数列记为，已知，，若为递增数列，且，则　　．16．已知，点，在函数的图象上，，则数列的前项和　　．四、解答题17．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．18．已知公比大于1的等比数列满足，．（1）求的通项公式；（2）记为在区间，中的项的个数，求数列的前100项和．19．已知正项等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前项和为．．（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和的取值范围．20．已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：，设的前项的和为，求证：．21．已知数列，，满足，，，．（Ⅰ）若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式；（Ⅱ）若为等差数列，公差，证明：，．22．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为．（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，，1，，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，2，，，其中，，．假设，．证明：，1，2，，为等比数列；求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．数列专练11—综合练习（一）答案1．解：等比数列，，，，满足公比，但不是递增数列，充分性不成立．若为递增数列，但不成立，即必要性不成立，故“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：．2．解：等比数列中公比，，，，当且仅当，即时取等号（因为故舍去）所以有最小值12．故选：．3．解：由，所以，因为，所以，因为数列为等比数列，且，所以．故选：．4．解：若，则，，时，结论成立，即不正确；若，则，，时，结论成立，即不正确；是等差数列，，，，即正确；若，则，即不正确．故选：．5．解：，，，，数列中绝对值最小的项是故选：．6．解：因为是任意等比数列，所以，，也成等比数列，即，，成等比数列，所以，即，化简得，即，故选：．7．解：根据题意，由等比数列性质知，（1）、，，故（1）是“保等比数列函数”；（2）、，，故（2）不是“保等比数列函数”；（3）、，，故（3）是“保等比数列函数”（4）、，则，故（4）不是“保等比数列函数”；故选：．8．解：当时，恒成立，当时，恒成立，相减可得：，化为：，数列是等差数列，，，．，，，，公差．．．．．成立，成立，化为：，解得．使得成立的正整数的取值集合为，．故选：．9．解：等比数列中，满足，公比，．由此可得   ，故错误；  ，故数列是等比数列，故正确；  ，故数列是等比数列，故正确；  ，故数列是递增数列，故错误，故选：．10．解：数列前项和为，且，为非零常数），得，当时，，两式相减得：，由于，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．故正确．所以由的，，故错误．由可知，解得，故正确．由于，，故错误．故选：．11．解：由数列是等比数列，知：在中，，是常数，数列是等比数列，故正确；在中，若，，则，故错误；在中，若，则，数列是递增数列，故正确；在中，若数列的前和，则，，，，，成等比数列，，，解得，故错误．故选：．12．解：．由，，，可得成立；．由，，，可得，，成立；．由，，，，，可得：．故是斐波那契数列中的第2020项．即答案不成立；．斐波那契数列总有，则，，，，即答案 成立13．解：设等差数列的公差为，则由，可得，，，故答案为：4．14．解：由，时，，，时，，，．则数列的前48项和，故答案为：1176．15．解：由已知，设，即，，所以不是公共项，，故，故当时，，此时，解得，所以，故答案为：352．16．解：由已知可得：，，，，两边去对数得：，即，数列是首项为，公比为2的等比数列，，，又，，，又，，，，，，，故答案为：．17．解：（1）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项，可得，即，即为，解得舍去），所以的公比为；（2）若，则，，则数列的前项和为，，两式相减可得，化简可得，所以数列的前项和为．18．解：（1），，，解得或（舍去），，，（2）记为在区间，中的项的个数，，，故，，，，，，，，，，，，，，，，，可知0在数列中有1项，1在数列中有2项，2在数列中有4项，，由，可知，．数列的前100项和．19．解：（1）设等差数列的公差为，由，且，，成等比数列，，即，由已知，解得，，由，可得，数列是首项为为，公比为的等比数列，则．（2），，又数列单调递增，，则的取值范围是，．20．解：（Ⅰ）由是，的等差中项得，所以，解得，由，得，解得或，因为，所以．所以．（Ⅱ）证明：，，又有，．21．（Ⅰ）解：由题意，，，，，整理，得，解得（舍去），或，，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，，．，则，，，，各项相加，可得．（Ⅱ）证明：依题意，由，可得，两边同时乘以，可得，，数列是一个常数列，且此常数为，，，又，，，，，故得证．22．（1）解：的所有可能取值为，0，1．，，，的分布列为：  0 1    （2）证明：，，由（1）得，，，．因此，2，，，故，即，又，，1，2，，为公比为4，首项为的等比数列；解：由可得，，，，．表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．