人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用第1课时导学案及答案

这是一份人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用第1课时导学案及答案，共11页。学案主要包含了复习与回顾，例3探究，例4探究，尝试应用，反思总结等内容，欢迎下载使用。

28.2.2 应用举例(第1课时)





学习目标


1.了解仰角、俯角的概念,能根据直角三角形的知识解决实际问题.


2.体会数学来源于实践又反过来作用于实践,逐步培养分析问题、解决问题的能力.


学习过程


一、复习与回顾


(1)什么是锐角的正弦、余弦和正切?


答:








(2)30°,45°,60°角的正弦值、余弦值和正切值分别是什么?填写下表:





(3)什么是解直角三角形?


答:





二、例3探究





2012年6月16日“神舟九号”载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后,就在离地球表面350 km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时,从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km,结果精确到0.1 km)


解:











三、例4探究


热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120 m,这栋高楼有多高?(结果保留一位小数)





解:











四、尝试应用





1.如图,甲楼AB的高度为123 m,自甲楼楼顶A处,测得乙楼顶端C处的仰角为45°,测得乙楼底部D处的俯角为30°,求乙楼CD的高度(结果精确到0.1 m,取1.73).


【思路点拨】首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解.


解:

















2.建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40 m的D处观察旗杆顶部A的仰角为60°,观察底部B的仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1 m)


【思路点拨】如图,由∠ADC=60°可以求出∠A=30°,就有AD=2CD=80 m,由勾股定理就可以求出AC的值,在△BDC中由∠BDC=45°就可以求出BC的值,从而求出结论.


解:














3.黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=3千米,请据此解答如下问题:





(1)求该岛的周长和面积;(结果保留整数,参考数据≈1.414,≈1.73,≈2.45)


(2)求∠ACD的余弦值.


【思路点拨】(1)连接AC,根据AB=BC=15千米,∠B=90°得到∠BAC=∠ACB=45°,AC=15千米,再根据∠D=90°利用勾股定理求得AD的长后即可求周长和面积;


(2)直接利用余弦的定义求解即可.


解:











五、反思总结


你能总结利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程吗?


答:








评价作业(满分100分)


【基础巩固】


1.(8分)课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图所示,当太阳光线与地面成30°角时,测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米,那么旗杆AB的高度是( )


A.12米 B.8米


C.24米D.24米





第1题图 第2题图


2.(8分)如图所示,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30米的B处,测得树顶A的仰角∠ABO为α,则树OA的高度为( )


A.米B.30sin α米


C.30tan α米D.30cs α米





3.(8分)如图所示,小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度,已知她与树之间的水平距离BE为5 m,AB为1.5 m(即小颖的眼睛到地面的距离),那么这棵树高是( )


A. m


B.m


C. m


D.4 m





4.(8分)如图所示,小阳发现垂直于地面的电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=8米,BC=20米,CD与地面成30°角,且此时测得垂直于地面的1米杆的影长为2米,则电线杆的高度为( )


A.9米


B.28米


C.(7+)米


D.(14+2)米





5.(8分)一棵树因雪灾于A处折断,如图所示,测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米,∠ABC约45°,树干AC垂直于地面,那么此树在未折断之前的高度约为 米(答案保留根号).


6.(8分)如图所示,两建筑物的水平距离BC为18 m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为60°,则建筑物CD的高度为 m.





第6题图 第7题图


7.(8分)如图所示,在建筑平台CD的顶部C处,测得大树AB的顶部A的仰角为45°,测得大树AB的底部B的俯角为30°,已知平台CD的高度为5 m,则大树的高度为 m(结果保留根号).





8.(8分)如图所示,为了知道空中一静止的广告气球A的高度,小宇在B处测得气球A的仰角为18°,他向前走了20 m到达C处后,再次测得气球A的仰角为45°,已知小宇的眼睛距地面1.6 m,则此时气球A距地面的高度约为 (结果精确到1 m).





9.(12分)如图所示,张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°,旗杆底部B点的俯角为45°.若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9米,旗杆台阶高1米,求旗杆顶点A离地面的高度.(结果保留根号)











10.(12分)某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高5米的小区超市,超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.





(1)超市以上的居民住房采光是否受影响?为什么?











(2)若要使超市以上的居民住房采光不受影响,两楼至少应相距多少米?


(结果保留整数,参考数据:sin 32°≈,cs 32°≈,tan 32°≈)














11.(12分)如图所示,在电线杆上的C处引拉线CE,CF固定电线杆,拉线CE和地面成60°角,在离电线杆6米的B处安置测角仪,在A处测得电线杆上C处的仰角为30°,已知测角仪AB高为1.5米,求拉线CE的长(结果保留根号).





参考答案


学习过程


一、复习与回顾


1.答:在直角三角形中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,即sin A=;锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,即cs A=;锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,即tan A=.


2.





3.答:由直角三角形中的已知元素(至少有一条边),求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.


二、例3探究


解:设∠POQ=α,在图中,FQ是☉O的切线,△FOQ是直角三角形.


∵cs α=≈0.949 1,


∴α≈18.36°.


∴弧PQ的长为×6 400≈×6 400≈2 051(km).


由此可知,当组合体在P点正上方时,从中观测地球表面时的最远点距离P点约2 051 km.





三、例4探究


解:如图所示,α=30°,β=60°,AD=120.


∵tan α=,tan β=,


∴BD=AD·tan α=120×tan 30°


=120×=40,


CD=AD·tan β=120×tan 60°


=120×=120.


∴BC=BD+CD=40+120


=160≈277(m).


因此,这栋楼高约为277 m.


四、尝试应用





1.解:如图,过点A作AE⊥CD于点E,


根据题意,∠CAE=45°,∠DAE=30°.


∵AB⊥BD,CD⊥BD,


∴四边形ABDE为矩形.


∴DE=AB=123.


在Rt△ADE中,tan∠DAE=,


∴AE==123.


在Rt△ACE中,由∠CAE=45°,


得CE=AE=123.


∴CD=CE+DE=123(+1)≈335.8.


答:乙楼CD的高度约为335.8 m.





2.解:∵∠ACD=90°,∠ADC=60°,


∴∠A=30°,


∴AD=2CD.


∵CD=40 m,


∴AD=80 m,


在Rt△ADC中,由勾股定理,得


AC=40.


∵∠BDC=45°,


∴∠DBC=45°,


∴∠DBC=∠BDC,


∴BC=CD=40 m,


∴AB=40-40≈29.3 m.


∴旗杆的高度为29.3 m.





3.解:(1)连接AC,


∵AB=BC=15千米,∠B=90°,


∴∠BAC=∠ACB=45°,AC=15千米.


又∵∠D=90°,


∴AD==12(千米).


∴周长=AB+BC+CD+DA=30+3+12=30+4.242+20.784≈55(千米).


面积=S△ABC+S△ADC=112.5+18≈157(平方千米).


(2)cs∠ACD=


五、反思总结


答:利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程是:


(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题);


(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数解直角三角形;


(3)得到数学问题的答案;


(4)得到实际问题的答案.


评价作业


1.B 2.C 3.A 4.D


5.(4+4) 6.12 7.(5+5) 8.11 m





9.解:如图所示,作CH⊥AB于H,在Rt△ACH中,∵∠ACH=30°,tan 30°=,∴AH=CH·tan 30°=9×=3(米),在Rt△CHB中,∵∠HCB=45°,tan 45°=,∴BH=CH·tan 45°=9米,所以旗杆顶


点A离地面的高度为AH+BH+1=(10+3)米.


10.解:(1)受影响.理由如下:如图所示,延长光线交CD于F,作FE⊥AB于E,在Rt△AEF中, tan∠AFE=tan 32°=,解得AE≈=9,故可得FC=EB=20-9=10>5,即超市以上的居民住房采光要受影响.





(2)要使采光不受影响,则EB=5米,AE=15米,tan 32°=,解得EF≈24米,即要使超市以上的居民住房采光不受影响,两楼应至少相距24米.


11.解:如图所示,过点A作AH⊥CD,垂足为H,由题意可知四边形ABDH为矩形,∠CAH=30°,∴DH=AB=1.5,AH=BD=6,在Rt△ACH中,tan∠CAH=,∴CH=AH·tan∠CAH,∴CH=6tan 30°=6×=2,∵DH=1.5,∴CD=2+1.5,在Rt△CDE中,∵∠CED=60°,sin∠CED=,∴CE==4+(米).答:拉线CE的长为(4+)米.











锐角A


锐角三角函数
30°
45°
60°
sin A
cs A
tan A
锐角A


锐角三角函数
30°
45°
60°
sin A
cs A
tan A
1