【数学】江西省赣州市赣县第三中学2020-2021学年高二上学期8月入学考试试卷（零班）
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高二上学期8月入学考试试卷（零班）
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．过直线和的交点，且与直线平行的直线方程是
（ ）
A． B． C． D．
2．已知点和点，且，则实数的值是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
3．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，， 则
D．若，，， 则
4．下列说法正确的是（ ）
A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．三棱锥的四个面都可以是直角三角形
C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
5．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为( )
A． B． C． D．
6．古代数学名著《数学九章》中有云：“有木长三丈，围之八尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”意思为：圆木长3丈，圆周为8尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺(注：1丈即10尺)（ ）
A．30尺 B．32尺 C．34尺 D．36尺
7．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图,是正方体中上的动点，下列命题：
①；
②所成的角是60°；
③为定值；
④∥平面；
⑤二面角的平面角为45°．
其中正确命题的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E，若SA＝3，，则△SED的面积的最小值为（ ）
A．9 B． C．7 D．
12．已知一个正四面体纸盒的棱长为，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若实数满足不等式组 则的最小值是_____.
14．圆台上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,这个圆台的体积是________.
15．已知ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且 ，BC=1，AC=3，三棱锥O-ABC的体积为，则球O的表面积为 ．
16．已知圆为坐标原点，点的坐标为，点为线段垂直平分线上的一点，若为钝角，则点横坐标的取值范围是______.
三、解答题（第17题10分，其他每题12分，共70分）
17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，且，点是棱的中点，点为的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：．
18．△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知．
（1）求角A；
（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
19．如图，边长为2的正方形ABCD中，E是边的中点，F是BC边上的一点，对角线AC分别交DE、DF于M、N两点，将及折起，使A、C重合于点，构成如图所示的几何体．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若∥平面，求三棱锥的体积．
20．已知数列的前项和为，向量,满足条件．
（1）求数列的通项公式；
（2）设函数，数列满足条件，．
①求数列的通项公式；
②设，求数列的前项和．
21．在如图所示的圆锥中，OP是圆锥的高，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，E是线段AC的中点，D是线段PB的中点，且PO=2,OB=1．
（1）试在PB上确定一点F，使得EF∥面COD，并说明理由；
（2）求点到面COD的距离．
22．在平面直角坐标系中，点，直线：，圆：
.
（1）求的取值范围，并求出圆心坐标；
（2）若圆的半径为1，过点作圆的切线，求切线的方程；
（3）有一动圆的半径为1，圆心在上，若动圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.
【参考答案】
一．选择题
1．B2．A3．C4．B5．D6．C7．D8．B9．C10．C11．B12．D
二．填空题
13．4 14．π 15．12π 16．
三．解答题
17．（1）点分别为的中点
平面，平面
平面
（2）平面，平面
又是矩形
平面
平面
，点是的中点
又 平面
平面
18．（1）A；（2）5.
（1），∴由正弦定理可得sinBsinsinAsinB，
∵sinB≠0，∴cossinA，即cos2sincos，
∵∈（0，），cos0，∴sin，∴，可得A．
（2），A，△ABC的面积为bcsinAbc，解得bc＝6，
∵由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得7＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣18，
∴解得b+c＝5，∴△ABC的周长为5．
19．（Ⅰ）证明：取EF的中点为H,连接DH,GH，在中，GE=GF，H是中点，故,在中，DE=DF，H是中点，故,,所以，平面DGH，即。 6分
（Ⅱ）∥平面知，F是BC边上的中点，故有，，在直角三角形GEF中，GE=GF=1，故EF=，又因为,所以，平面GEF，故此时三棱锥的高为DG，值是2，
== 12分
20．（1）（2），
试题解析：（1）因为 所以．
当时
当时，满足上式 所以
（2）①
即 ，又
是以1为首项1为公差的等差数列
②，
两边同乘得： ‚
以上两式相减得
，
21．解：（1）连接，设，由题意G为△ABC的重心，
，连接DG，… ……… ……… ……………2分
∵∥面，平面BEF，面BEF∩面COD=DG，
∴EF∥DG， … ……… ……… ……………4分
又BD=DP，
∴点F是PB上靠近点P的四等分点．
（2），又点是弧的中点, ,，
,.
因为,
，
点A到面COD的距离
22．（1）化为，
由得，∴的取值范围为，圆心坐标为.
（2）由（1）知圆心的坐标为，当半径为1时，
圆的方程为：，将代入，
得，∴在圆外，
设所求圆的切线方程为，即，∴.
∴，∴，
∴或者，∴所求圆的切线方程为：或者，
即或.
（3）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心，
又半径为1，则圆的方程为：，
又∵， ∴点在的中垂线上，的中点得直线：，
∴点应该既在圆上又在直线上，即圆和直线有公共点.
∴，∴.
综上所述，的取值范围为：.
