河南省鹤壁高中2020_2021学年高二上学期阶段性检测（二）数学（含答案）

鹤壁高中2020-2021学年高二上学期阶段性检测（二）

数学试题

 一．选择题（共12小题，每小题5分）

1．已知集合A＝{x∈Z|﹣x2+x+2＞0}，则集合A的子集个数为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．8

2．命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的逆否命题是（　　）

A．两条平行直线垂直于同一个平面 

B．不垂直于同一个平面的两条直线不平行 

C．不平行的两条直线不垂直于同一个平面 

D．不平行的两条直线垂直于同一个平面

3．执行如图所示的程序框图，若输入的N值为8，则输出的结果s的值为（　　）

A． B． C． D．

4．等差数列{an}的前n项和为Sn，S100＞0，S101＜0，则满足anan+1＜0的n＝（　　）

A．50 B．51 C．100 D．101

5．如果平面直角坐标系内的两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线l对称，那么直线l的方程为（　　）

A．x﹣y+1＝0 B．x+y+1＝0 C．x﹣y﹣1＝0 D．x+y﹣1＝0

6．一个圆锥的母线长为l，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为（　　）

A． B． C． D．π

7．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若b，B＝60°，若△ABC仅有一个解，则a的取值范围是（　　）

A．（0，]∪{2} B．（0，） C．（0，]∪{2} D．{2}

8．已知f（x）＝loga（ax2﹣x）（a＞0且a≠1）在（）上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．[2，4] B．（2，4） C．（4，+∞） D．[4，+∞）

9．已知m＞2，n＞0，m+n＝3，则的最小值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

10．在△ABC中，D为边BC的中点，AD＝3，BC＝4，G为△ABC的重心，则•的值为（　　）

A．﹣12 B．﹣15 C．﹣3 D．

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若角A，B，C成等差数列，且直线ax+cy﹣12＝0平分圆x2+y2﹣4x﹣6y＝0的周长，则△ABC的面积的最大值为（　　）

A． B． C． D．

12．设锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝1，A＝2C，则△ABC周长的取值范围为（　　）

A．（0，2） B．（0，3] C．（2，3） D．（2，3]

二．填空题（共4小题,每小题5分）

13．设函数f（x）（a＞0且a≠1），若f（2）＝4，则f（﹣2020）＝　   　．

14．正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于　   　．

15．一组数据x1，x2，…，x5的平均数为5，，，…，的平均数为33，则数据x1，x2，…，x5的方差为　   　．

16．已知数列{an}的是等差数列，a1≥﹣2，a2≤1，a3≥0，则a4≥3的概率是　   　．

三．解答题（共6小题）

17．（10分）已知p：2，q：x2﹣ax+5＞0．

（1）若￢p为真，求x的取值范围；

（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

18．（12分）已知两个等差数列{an}，{bn}，其中a1＝1，b1＝6，b3＝0，记{an}前n项和为Tn，Tn．

（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（2）记cn＝an+bn，设Sn＝|c1|+|c2|+|c3|+…|cn|，求Sn．

19．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上．

（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设，求λ+μ的值．

（2）若AB＝2，当1时，求DF的长．

20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，侧面PAB⊥底面ABCD，PB＝2，AB＝AC＝PA＝2．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）过AC的平面交PD于点M，若VM﹣PACVP﹣ACD，求三棱锥P﹣AMB的体积．

21．（12分）已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆E：x2+y2＝4上运动．

（1）求过点C且被圆E截得的弦长为的直线方程；

（2）求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．

22．（12分）已知向量ωx，ωx），ωx，cosωx）（其中0＜ω≤1），记f（x），且满足f（x+π）＝f（x）．

（1）求函数y＝f（x）的解析式；

（2）若关于x的方程3•[f（x）]2+m•f（x）﹣1＝0在[]上有三个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

2022届阶段性检测数学试卷（二）参考答案

一．选择题（共12小题）

1．【解答】解：∵集合A＝{x|x∈Z|﹣x2+x+2＞0}＝{x∈Z|﹣1＜x＜2}＝{0，1}，

∴集合A的子集个数为22＝4．故选：A．

2．【解答】解：若p，则q的逆否命题的形式是：若￢q，则￢p．

因此命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的逆否命题为“不平行的两条直线不垂直于同一个平面”．故选：C．

3．【解答】解：N＝8，i＝1，s＝0

s＝0，i＝1+2＝3，否；       s，i＝3+2＝5，否；

s，i＝5+2＝7，否；    s，i＝7+2＝9，是，

∴s  故选：B．

4．【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，S100＞0，S101＜0，

则有S10050（a1+a100）＝50（a50+a51）＞0，则有a50+a51＞0；

又由S101101a51＜0，则有a51＜0；则有a50＞0，

若anan+1＜0，必有n＝50；故选：A．

5．【解答】解：∵kAB1，线段AB的中点为（，），

两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，

∴kL＝1，其直线方程为：yx，化为：x﹣y+1＝0．故选：A．

6．【解答】解：圆锥轴截面的母线与轴的夹角为30°，母线长为l，

所以底面圆的半径为r＝lsin30°l，所以底面圆的周长为c＝2πr＝πl，

所以圆锥侧面展开图的圆心角为απ．故选：D．

7．【解答】解：因为B为锐角，所以△ABC仅有一个解，有两种情形：

①b＝asinB，即a，所以a＝2；

②b≥a，即0＜a．

综上所述，a的取值范围是（0，]∪{2}．故选：A．

8．【解答】解：f（x）＝loga（ax2﹣x）（a＞0且a≠1）在（）上是增函数，

若0＜a＜1，则y＝logaz在（0，+∞）上递减，可得z＝ax2﹣x（z＞0）在（，）内递减，

即有a0，且，解得a≥2且a≤1，∴a∈∅；

若a＞1，则y＝logaz在（0，+∞）内递增，可得z＝ax2﹣x（z＞0）在（，）内递增，

即有a0，且，解得a≥4且a≥2，可得a≥4．

综上可得，实数a的取值范围是[4，+∞）．故选：D．

9．【解答】解：因为m＞2，n＞0，m+n＝3，所以m﹣2+n＝1，

则（）（m﹣2+n）＝22+2＝4，

当且仅当且m+n＝3即m＝，n＝时取等号，故选：B．

10．【解答】解：不妨特殊化，取△ABC为等腰三角形，如图所示，

∵G为△ABC的重心，∴GDAD＝1，

∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠BGC＝2∠BGD，∴GC＝GB，cos∠BGD．∴cos∠BGC＝2cos2∠BGD﹣1．

∴••cos∠BGC3．故选：C．

11．【解答】解：在△ABC中，A+B+C＝π，∵角A，B，C成等差数列，∴2B＝A+C，

∴2B＝π﹣B，∴B．

∵直线ax+cy﹣12＝0平分圆x2+y2﹣4x﹣6y＝0的周长，

∴圆心（2，3）在直线ax+cy＝12上，则2a+3c＝12，

∵a＞0，c＞0，∴12＝2a+3c，即ac≤6．

当且仅当2a＝3c，即a＝3，c＝2时取等号．

∴，

∴△ABC的面积的最大值为．故选：B．

12．【解答】解：锐角△ABC可得0°＜A＜90°，即0°＜2C＜90°，

B＝180°﹣A﹣C＝180°﹣3C，而0°＜180°﹣3C＜90°，可得30°＜C＜45°，

由正弦定理可得，

可得a2cosC，

b

＝2cos2C+cos2C＝4cos2C﹣1，

则a+b+c＝4cos2C+2cosC＝4（cosC）2，

由30°＜C＜45°，可得cosC，

即有cosC时，可得a+b+c＝2，cosC时，可得a+b+c＝3，

则a+b+c的范围是（2，3）．故选：C．

二．填空题（共4小题）

13．【解答】解：∵函数f（x）（a＞0且a≠1），f（2）＝4，

∴4＝f（2）＝a2，解得a＝2，（a＝﹣2，舍），

∴f（x），

则f（﹣2020）＝f（﹣2020+253×8）＝f（4）＝24＝16．故答案为：16．

14．【解答】解：连结AC，BD相交于O，则O为AC的中点，

∵E是PC的中点，∴OE是△PAC的中位线，

则OE∥，则OE与BE所成的角即可异面直线BE与PA所成的角，

设四棱锥的棱长为1，则OE，OB，BE，

则cos，故答案为：

15．【解答】解：∵x1+x2，…+x5＝25，，5×33，

∴[]

[10（x1+x2…+x5）+5×25]

（5×33﹣10×25+5×25）

＝8，即数据x1，x2，…，x5的方差为8，故答案为：8．

16．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，则a4＝a1+3d，

由已知得到

设a1＝x，d＝y，则a4＝x+3y，

则不等式组等价为，对应的可行域如图△ACD，

由a4＝x+3y≥3得到区域为△BCE，

由几何概型的公式得到使得a4≥3的概率是：；

故答案为：

三．解答题（共6小题）

17．【解答】解：（1）p：2，化为：0，即（x﹣2）（x﹣5）＜0，解得：2＜x＜5，

由￢p为真，可得：x≤2或x≥5，

∴x的取值范围是（﹣∞，2]∪[5，+∞）．…………………………………………………5分

（2）￢q是￢p的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．

故q：x2﹣ax+5＞0对于任意2＜x＜5恒成立，

故，∵x2，当且仅当x时取等号．

故．……………………………………………………………………………………10分

18．【解答】解：（1）由Tn，得

当n≥2时，an＝Tn﹣Tn﹣1，

a1＝1适合上式，则an＝n；……………………………………………………………………2分

由b1＝6，b3＝0，得公差d，

则bn＝6+（n﹣1）×（﹣3）＝9﹣3n；………………………………………………………4分

（2）由（1）知，cn＝an+bn＝9﹣2n，|cn|．…………………………6分

当1≤n≤4时，；………………………………………………8分

当n＞4时，．……………10分

∴．………………………………………………………12分

19．【解答】解：（1）∵点E是BC边上中点，点F是CD上靠近C的三等分点，

∴，，………………………………………………2分

∴，…………………………………………………………4分

∴λ，μ，

故λ+μ．…………………………………………………………………………6分

（2）设λ，则λ，

又，0，……………………………………………8分

∴（）•（λ）＝﹣λ24λ+2＝1，

故λ，……………………………………………………………………………………10分

∴DF＝（1﹣λ）×2．…………………………………………………………………12分

20．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，

PB＝2，AB＝AC＝PA＝2．

∴四边形ABCD是菱形，PA2+AB2＝PB2，

∴BD⊥AC ……………………………………………………………………………………2分

∵AB⊥PA，侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面ABCD＝AB，

∴PA⊥底面ABCD，∵BD⊂底面ABCD，∴BD⊥PA，……………………………………4分

∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．…………………………………………………………6分

（Ⅱ）∵过AC的平面交PD于点M，VM﹣PACVP﹣ACD，

∴，∴M是PD中点，………………………………………8分

∵B到平面PAD的距离d3，…………………………………………10分

∴三棱锥P﹣AMB的体积为：

VP﹣AMB＝VB﹣PAM

3．……………………………………………………………12分

21．【解答】解：（1）依题意，直线的斜率存在，设直线方程为y+2＝k（x﹣4），

即kx﹣y﹣4k﹣2＝0，……………………………………………………………………………2分

因为过点C的直线被圆E截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为，

所以，解得或k＝﹣1，…………………………………………………4分

所以直线方程为x+7y+10＝0或x+y﹣2＝0；…………………………………………………6分

（2）设P点坐标为（x，y），则x2+y2＝4，

所以|PA|2+|PB|2+|PC|2＝（x+2）2+（y+2）2+（x+2）2+（y﹣6）2+（x﹣4）2+（y+2）2＝3（x2+y2）﹣4y+68＝80﹣4y，………………………………………………………………………………10分

因为﹣2≤y≤2，所以72≤80﹣4y≤88，

即|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88，最小值为72．…………………………………………12分

22．【解答】解：（1）f（x）•

＝sinωxcosωxcos2ωx

sin2ωxcos2ωx

＝sin（2ωx），………………………………………………………………………………2分

由f（x+π）＝f（x），得π是函数f（x）的一个周期，

所以，f（x）的最小正周期为Tπ，解得ω≥1；

又由已知0＜ω≤1，得ω＝1；

因此，f（x）＝sin（2x）；…………………………………………………………………4分

（2）由x，得2x；

故：sin（2x）≤1；

因此函数y＝f（x）的值域为[，1]；…………………………………………………………6分

设t＝f（x）＝sin（2x），要使关于x的方程3•[f（x）]2+mf（x）﹣1＝0在[，]上有三个不相等的实数根，当且仅当关于t的方程3t2+mt﹣1＝0在[，1）和[，）上分别有一个实数根，或有一个实数根为1，另一实数根在区间[，1）上；…………………………7分

令g（t）＝3t2+mt﹣1，

①当关于t的方程3t2+mt﹣1＝0在（，1）和[，）上分别有一个实数根时，

，解得﹣2＜m；……………………………………………………………9分

②当方程3t2+mt﹣1＝0的一个根是时，m，

另一个根为∉[，），不满足条件；……………………………………………………10分

③当方程3t2+mt﹣1＝0的一个根是1时，m＝﹣2，

另一个根为∉[，1），不满足条件；………………………………………………………11分

因此，满足条件的实数m的取值范围是（﹣2，]．………………………………………12分