【数学】四川省棠湖中学2018-2019学年高二下学期开学考试（文）
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四川省棠湖中学2018-2019学年高二下学期开学考试（文）第I卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知某车间加工零件的个数与所花时间之间的线性回归方程为，则加工600个零点大约需要的时间为( ) A. B. C. D.2.已知直线经过点，且斜率为，则直线的方程为 ( ) A. B. C. D. 3．圆与圆的位置关系为 ( ) A．内切 B．外切 C．相交 D．相离4．命题“若，则”的逆否命题是 ( ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5.过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段和线段的长分别是，则等于( ) A． B． C． D． 6.如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为( )A. B. C. D.7.已知直线l：3x－4y＋m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M、N两点，若|MN|＝2，则m的值是( )A．0 B．5 C．10 D.0或108. 若直线l1：kx－y－3＝0和l2：x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，则k等于 ( )A． -3 B．-2 C．-1或- D．1或9.已知是两个正数的等比中项，则圆锥曲线的离心率为( )A．或 B． C． D．或 10．若直线（）始终平分圆的周长，则的最小值为 ( ) . . .11.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A. B. C. D. 12．己知直线与双曲线右支交于M，N两点，点M在第一象限，若点Q满足(其中O为坐标原点)，且，则双曲线C的渐近线方程为( )A． B． C． D．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13. 若x，y满足约束条件则的最小值为________．14.已知x，y的取值如下表：x0134y2.24.34.86.7从所得的散点图分析，y与x线性相关，且＝0.95x＋a，则a＝________.15．若直线l：y=x+m和圆C：x2+y2﹣2x﹣2y=0只有一个公共点，则m= .16.已知圆与直线，且直线上有唯一的一个点，使得过点作圆的两条切线互相垂直.设是直线上的一条线段，若对于圆上的任意一点，，则的最小值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知两直线和的交点.（I）求经过点和点的直线的方程； （II）求经过点且与垂直的直线的方程． （本小题满分12分）命题：“关于的不等式的解集为”，命题：“在区间上随机地取一个数，若满足的概率”，当与一真一假时，求实数的取值范围. 19（本小题满分12分）已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.（I）若，求点A的坐标；（II）若直线l的倾斜角为，求线段AB的长.20.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为1的正方形，侧棱PD＝1，PA＝PC＝，（I）求证：PD⊥平面ABCD；（II）求证：平面PAC⊥平面PBD；(III)求点A到平面PBC的距离； 21.（本小题满分12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（I）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（II）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 22.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点，圆，点是圆上一动点，线段的中垂线与线段交于点.（I）求动点的轨迹的方程；（II）若直线与曲线相交于两点，且存在点（其中不共线），使得被轴平分，证明：直线过定点.
参考答案一．选择题1.A 2.A 3.C 4.B 5.D 6.C 7.D 8.A 9.D 10.D 11.C 12B二．填空题13：-1 14． 2.6． 15. -2或2 16.三、解答题17． 解：（Ⅰ）联解得，……………………2 ………………………………………3 …………………………………………4……………………………………………5（Ⅱ）由垂直条件知 斜率……………………………………………………6 直线方程为：…………………………………………1018.解：命题：因为关于的不等式的解集为所以：对应的即：即：或者， 又，所以：...................................................4分命题：“在区间上随机地取一个数，若满足的概率”因为，所以当时，则不满足条件，当时，则，所以...................................................9分当与一真一假时，则一真一假时则一真一假时，得到实数的取值范围：...................................................12分19、解：由，得，其准线方程为，焦点. 设，.（1）由抛物线的定义可知，，从而.代入，解得.∴ 点A的坐标为或. …………………………………………5分（2）直线l的方程为，即.与抛物线方程联立，得， 消y，整理得，其两根为，且.由抛物线的定义可知，.所以，线段AB的长是8. ………………………………………………………………12分20．(12分)（1）证明：∵PD=DC=1,PC=,∴PD2+DC2=PC2,∴PD⊥DC,同理PD⊥DA,∵DC∩DA=D,∴PD⊥平面ABCD.....................................................4分(2)证明：由（1）知PD⊥平面ABCD，∵AC平面ABCD，∴PD⊥AC,又∵底面是ABCD正方形，∴BD⊥AC,又∵BD∩PD=D,∴AC⊥平面PDB,又∵AC平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBD；.................................................................8分（3）解：∵底面是ABCD正方形，∴AD∥BC,又∵BC平面PBC,AD平面PBC，∴AD∥平面PBC，∴点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离.取PC的中点M,连接DM,则∵PD=DC,∴DM⊥PC,∵PD⊥平面ABCD,BC平面ABCD,∴PD⊥BC,又∵BC⊥CD,PD∩CD=D,∴BC⊥平面PCD,又∵DM平面PCD,∴BC⊥DM,又∵PC∩BC=C,∴DM⊥平面PCB,∴DM即点D到平面PBC的距离，又∵△PCD是直角三角形，PC＝，M为PA中点，∴DM=，即点A到平面PBC的距离为...................................................12分21.（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为， 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.6..............4分（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y=6450-4450=900； 若最高气温位于区间 [20,25），则Y=6300+2（450-300）-4450=300；若最高气温低于20，则Y=6200+2（450-200）-4450= -100.所以，Y的所有可能值为900,300，-100....................................................10分Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为，因此Y大于零的概率的估计值为0.8............12分22.（1）由已知， ，圆的半径为依题意有： 故点P的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，即故点P的轨迹E的方程为 .................................................4分 （2）令，因A，B，D不共线，故的斜率不为0，可令的方程为：，则由得则 ① 被轴平分，即 亦即 ②而 代入②得： ③ ①代入③得：时得： 此时的方程为： 过定点（1，0）.................10分时 ，亦满足此时的方程为：.........................11分综上所述，直线恒过定点（1，0） ...................................................12分
