【数学】贵州省遵义市南白中学2019-2020学年高二上学期第三次月考（理） 试卷
展开贵州省遵义市南白中学2019-2020学年
高二上学期第三次月考（理）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合,则（ ）
A. B. C. D.
2.己知等差数列中，，则（ ）
A.7 B.8 C.14 D.16
3.椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4.命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
5.若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示.则该几何体的正视图是（ ）
A. B. C. D.
6.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C.或 D.或
8.已知是定义在上的偶函数，对于任意的非负实数，若，则，如果，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
9.明代数学家程大位(1533-1606 年)所著《算法统宗》中有这样一个问题:“旷野之地有个桩，桩上系着一腔羊，团团踏破三亩二.试问羊绳几丈长”.意思是“一条绳索系着一只羊，羊踏坏一块面积为亩的圆形庄稼，试求绳的长度(即圆形半径)”(明代度量制:步=尺，亩=平方步，丈=尺，圆周率.)
（ ）
A.丈 B.丈 C.丈 D.丈
10.函数的图像大致为 ( )
A. B.
C. D.
11.设正实数满足.则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A.0 B.1 C. D.3
12.在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是一个正三角形，若平面平面，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）[来源:学科网]
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13.向量，若，则实数 .
14.的内角的对边分别为.若，则的面积为 .
15.已知，分别为椭圆的左、右焦点，若直线上存在点，使为等腰三角形，则椭圆离心率的范围是 .
16.已知为单位圆的一条弦，为单位圆上的点，若（）的最小值为，当点在单位圆上运动时，的最大值为，则线段的长度为 .
三、解答题 （本大题共6个小题，第17题10分，其余每个题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在平面四边形中，，，，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若,求.
18.《中华人民共和国道路交通安全法》第条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”， 《中华人民共和国道路交通安全法》第条规
定：对不礼让行人的驾驶员处以扣分，罚款元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：
月份 | [来源:学§科§网] | ||||
违章驾驶员人数 |
（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；
（Ⅱ）预测该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.
参考公式： ,参考数据：.
19.已知等比数列的公比，且为，的等比中项，为，的等差中项.
（1）求的值；
（2）设数列的前项和为，求证：
20.如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，且,为中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
21.设是圆上的动点，点是在轴上的投影，且.
（Ⅰ）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）求过点(1,0)，倾斜角为的直线被所截线段的长度.
22.设椭圆，右顶点是，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于两点(不同于点)，若，求证:直线过定点，并求出定点坐标.
参考答案
一、选择题：（共12个小题,每小题5分,共60分）
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
C | A | B | D | A | C | B | A | D | B | C | D |
二、填空题：（共4个小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．
三、解答题：（共6个小题，共70分）
17.（本大题10分）
解：（Ⅰ）在中，由正弦定理得
由题设知，，所以···············3分
由题设知，，所以···························5分
（2）由题设及（1）知，························7分
在中，由余弦定理得
.
所以················································10分
18.（本大题12分）
解：（Ⅰ）由表中数据知， ，
， ··········4分
所求回归直线方程为···········································6分
（2）令，则人
该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数预计为49人····················12分
19.（本大题12分）
解：（1）由题意得则解得······5分
（2）由题知，则.
当时，···························7分
当时，，
故，综上所述，···············12分
20.（本大题12分）
解：（Ⅰ）证明：平面，
又正方形中，，平面···················3分
又平面，，，是的中点
，平面······································6分
（Ⅱ）以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知：
设平面的法向量为，则，
，令，得到，····························8分
又，且平面，
平面的一个法向量为·································9分
设二面角的平面角为
则.二面角的余弦值为·······12分
21.（本大题12分）
解：（1）设的坐标为,的坐标为.
由,可得,
的坐标为,是圆上的动点
··············································3分
,坐标关系式为:代入得:
整理可得的轨迹的方程: ·······························6分
（Ⅱ）求过点,倾斜角为的直线方程为:
设直线与轨迹的交点为
将直线方程与轨迹方程联立方程组,消掉
得: ,整理可得:
根据韦达定理得: ······························9分
线段AB的长度为:
······························12分
22.（本大题12分）
解：（Ⅰ）右顶点是，离心率为，所以，∴，则
····3分
椭圆的标准方程为··············································5分
（Ⅰ）当直线斜率不存在时，设
与椭圆方程联立得：，
设直线与轴交于点，，即
或 (舍），直线过定点·························6分
当直线斜率存在时，设直线斜率为，，则直线与椭圆方程联立，得
，·················································8分
，
，，
则，
即，，
或····························································10分
直线或
直线过定点或舍去；综上知直线过定点··························12分
