模板十一：数列的通项与求和 试卷

模板十一：数列的通项与求和模板构建数列的通项与求和问题的解题步骤如下:典型例题（2020·重庆市高三三模）已知数列满足，.（1）若.①设，求证：数列是等比数列；②若数列的前项和满足，求实数的最小值；（2）若数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，且，，求数列的通项公式.试题解析（1）①因为，且，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.②由①知，，所以，则，所以是以6为首项，为公比的等比数列，所以.当时，有最大值6，所以实数的最小值为6.（2）设奇数项所成等差数列的公差为，偶数项所成等差数列的公差为①当为奇数时， ，，则，即，所以，故.②当为偶数时，，，则，即，所以，故.综上可得，.又，所以.所以当为奇数时，；当为偶数时，.故数列的通项公式为，. 题后反思本题考查等差、等比数列的综合应用，涉及到构造法证明数列是等比数列、累加法求数列的通项、等比数列的求和公式、分类讨论求等差数列的通项，考查学生的数学运算求解能力.针对训练*举一反三 1．（2020·陕西省安康中学高三三模）在等差数列中，，且、、成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的公差不为，设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ），或；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）设数列的公差为.因为，，成等比数列，所以，又，所以，即解得或.当时，.当时，. （Ⅱ）因为公差不为，由（Ⅰ）知，则，所以.2．（2020·江苏省高三三模）已知数列满足.（1）若数列的首项为，其中，且，，构成公比小于0的等比数列，求的值；（2）若是公差为d(d＞0)的等差数列的前n项和，求的值；（3）若，，且数列单调递增，数列单调递减，求数列的通项公式.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由题意知：，所以，解得：；（2）由题意知：，，所以对任意均成立，其中d＞0，所以，解得，所以.此时，对任意均成立，故；（3）由题意知：，，故时，，时，，则：，故，即n为奇数时，，又n为奇数时，，所以，即n为偶数时，，综上，.3．（2020·浙江省高三二模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知：a5＝2a2+3且a2，，a14成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设正项数列{bn}满足bn2Sn+1＝Sn+1+2，求证：b1+b2+…+bn＜n+1．【答案】（Ⅰ）an＝2n﹣1；（Ⅱ）详见解析．【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由可得，又，，成等比数列，可得，即，且，解得，，则；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，由，可得，由，故.得证.4．（2020·宁夏回族自治区高三三模）为数列的前项和．已知，．（1）证明是等比数列，并求数列的通项公式；（2）数列为等差数列，且，求数列的前项和．【答案】（1）见解析，．（2）．【解析】（1）证明：因为，所以．又，所以是以为首项，以2为公比的等比数列．∵，∴．当时，；经检验，也符合．∴．（2）∵数列为等差数列，且，∴公差．∴．∵，∴．5．（2020·四川省高三二模）已知等差数列满足，公差，等比数列满足，，．求数列，的通项公式；若数列满足，求的前项和．【答案】，；.【解析】由题意知，，公差，有1，，成等比数列，所以，解得．所以数列的通项公式．数列的公比，其通项公式．当时，由，所以．当时，由，，两式相减得，所以．故所以的前项和，．又时，，也符合上式，故.6．（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，，，，恰为等比数列的前3项．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和为；若对均满足，求整数的最大值；（3）是否存在数列满足等式成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．【答案】（1），（2），的最大整数是673．（3）存在，【解析】（1）由题，当时，，即当时，    ①         ②①-②得，整理得，又因为各项均为正数的数列．故是从第二项的等差数列，公差为1．又恰为等比数列的前3项，故，解得．又，故，因为也成立．故是以为首项，1为公差的等差数列．故．即2，4，8恰为等比数列的前3项，故是以为首项，公比为的等比数列，故．综上，（2）令，则所以数列是递增的，若对均满足，只要的最小值大于即可因为的最小值为，所以，所以的最大整数是673．（3）由，得，    ③   ④③-④得，   ⑤，    ⑥⑤-⑥得，，所以存在这样的数列，7．（2020·甘肃省高三二模）数列满足，是与的等差中项.（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）见解析，（2）【解析】（1）由已知可得，即，可化为，故数列是以为首项，2为公比的等比数列.即有，所以.（2）由（1）知，数列的通项为：，故.8．（2020·北京首都师大二附高三二模）已知，均为给定的大于1的自然数，设集合，．（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；（Ⅱ）当时，，且集合满足下列条件：①对任意，；②．证明：（ⅰ）若，则（集合为集合在集合中的补集）；（ⅱ）为一个定值（不必求出此定值）；（Ⅲ）设，，，其中，，若，则．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）详见解析．（ⅱ）详见解析.（Ⅲ）详见解析.【解析】（Ⅰ）解：当，时，，，，，．．（Ⅱ）证明：（i）当时，，2，3，，，又，，，，，，必然有，否则，而，与已知对任意，矛盾．因此有．（ii）．．，为定值．（iii）由设，，，，其中，，，2，，．，．．9．（2020·广东省高三二模）设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为．若成等比数列．（1）求及；（2）设，求数列前项和.【答案】(1) ,;(2) .【解析】(1)解:设的公差为,则, 成等比数列   即, 解得.,.(2)解: 且 10．（2020·广西省高三二模）设数列（任意项都不为零）的前项和为，首项为，对于任意，满足.（1）数列的通项公式；（2）是否存在使得成等比数列，且成等差数列？若存在，试求的值；若不存在，请说明理由；（3）设数列，，若由的前项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数的最大值.【答案】（1）；（2）存在，；（3）【解析】（1）数列是非零数列，.当时，，；当且时，，，是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公差为的等差数列，，，.（2）设存在，满足题意，成等比数列，；成等差数列，，消去可得：，，，，，解得：，，，，，.（3）若是单调递增数列，则为偶数时，恒成立，两边取自然对数化简可得：，显然，设，则，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，当时，是递减数列，又，是的最大值，；设，则，是递减数列，当时，，当时，，当时，存在，使得恒成立；当时，不成立，至多前项是递增数列，即正整数的最大值是.