2020年高考数学一轮复习教案：第2章 第5节　指数与指数函数(含解析)

第五节　指数与指数函数

[考纲传真]　1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．

1．根式

2.有理数指数幂

(1)分数指数幂

①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；

②负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的运算性质

①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；

②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．

3．指数函数的图象与性质

指数函数的图象与底数大小的关系如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)＝－4.  (　　)

(2)(－1) ＝(－1) ＝.  (　　)

(3)函数y＝2x－1是指数函数．  (　　)

(4)若am＜an(a＞0且a≠1)，则m＜n.  (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　)

A．－9　　　　B．7　　　　C．－10　　　　D．9

B　[原式＝(26) －1＝8－1＝7.]　

3．(教材改编)若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)等于(　　)

A.          B.   C.   D．4

B　[由题意知＝a2，所以a＝，

所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.]

4．函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　)

A　　　   　　B　　      　C　 　  　　D

C　[令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.]

5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．

(1,2)　[由题意知0＜2－a＜1，

解得1＜a＜2.]

1．(2019·济宁模拟)下列各式中成立的是(　　)

A.＝n7m　　　　　 B.＝

C.＝(x＋y)   D.＝

D　[＝(9)＝9＝3＝，故选D.]

2．若a＞0，b＞0，则化简＝________.

ab－1　[原式＝

＝＝ab－1.]

3．化简－10(－2)－1＋3π0＋＝________.

－16　[原式＝＋500－＋3＋

＝＋10－10(＋2)＋3＋

＝－16.]

4．若x＋x＝3，则＝________.

　[由x＋x＝3得x＋x－1＋2＝9.

所以x＋x－1＝7.

同理由x＋x－1＝7可得x2＋x－2＝47.

x＋x＝(x＋x)(x＋x－1－1)＝3×6＝18.

所以

【例1】　(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a＞1，b＜0

B．a＞1，b＞0

C．0＜a＜1，b＞0

D．0＜a＜1，b＜0

(2)已知函数f(x)＝3＋a2x－4的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．

(3)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝k只有一个公共点，则实数k的取值范围为________．

(1)D　(2)(2,4)　(3){0}∪[1，＋∞)　[(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.

(2)令2x－4＝0得x＝2，且f(2)＝4，则点P的坐标为(2,4)．

(3)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．

当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点．]

(1)函数y＝(a＞1)的图象大致是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

(2)函数f(x)＝2|x－1|的图象是(　　)

A　　　　B　　　　　C　　　D

(3)已知a＞0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．

(1)B　(2)B　(3)　[(1)y＝又a＞1，故选B.

(2)函数f(x)＝2|x－1|的图象可由y＝2|x|的图象向右平移1个单位得到，故选B.

(3)①当0＜a＜1时，如图①，所以0＜3a＜2，即0＜a＜；

②当a＞1时，如图②，而y＝3a＞1不符合要求．

图①　　　　　　图②

所以0＜a＜.]

►考法1　比较指数式的大小

【例2】　已知a＝3，b＝9，c＝121，则(　　)

A．b＜a＜c   B．a＜b＜c

C．b＜c＜a   D．c＜a＜b

A　[因为a＝3＝9＞9＝b，c＝121＝11＞9＝a，所以c＞a＞b.故选A.]

►考法2　解简单的指数方程或不等式

【例3】　(1)设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3)   B．(1，＋∞)

C．(－3,1)   D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

(2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．

(1)C　(2)　[(1)当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为－7＜1，即a＜8，即a＜－3，因为0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为＜1，所以0≤a＜1.故a的取值范围是(－3,1)．故选C.

(2)当a＜1时，41－a＝21，解得a＝；当a＞1时，代入不成立．故a的值为.]

►考法3　与指数函数有关的函数的值域或最值问题

【例4】　(1)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.

(2)已知0≤x≤2，则y＝4x－－3·2x＋5的最大值为________．

(1)－　(2)　[(1)当a＞1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为增函数，由题意得无解．当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为减函数，由题意得解得所以a＋b＝－.

(2)y＝(2x)2－3·2x＋5.令t＝2x，

由0≤x≤2得1≤t≤4，又y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，

∴当t＝1时，y有最大值，最大值为.]

►考法4　复合函数的单调性、值域或最值

【例5】　函数f(x)＝－x2＋2x＋1的单调递减区间是________，值域是________．

(－∞，1]　　[令u＝－x2＋2x＋1，则u＝－(x－1)2＋2.

又y＝在R上是减函数，则函数f(x)＝的单调递减区间为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．

由此函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．

因为u≤2，则f(x)≥＝，即函数f(x)的值域为.]

[规律方法]　 应用指数函数性质综合的常考题型及求解策略

易错警示：在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．

(1)(2019·信阳模拟)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．c＜a＜b   B．a＜b＜c

C．b＜a＜c   D．c＜b＜a

(2)(2019·长春模拟)函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为(　　)

A．(0，＋∞)   B．(1，＋∞)

C．[1，＋∞)   D．(－∞，＋∞)

(3)已知函数y＝2在区间(－∞，3)上单调递增，则a的取值范围为________．

(4)函数y＝2的值域为________．

(1)D　(2)B　(3)[6，＋∞)　(4)(0,2]　[(1)c＝＝，则

＞＞，即a＞b＞c，故选D.

(2)y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1，

令t＝2x，则t＞0，

∴y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2＞1，故选B.

(3)由题意知，函数u＝－x2＋ax＋1在区间(－∞，3)上单调递增，则≥3，即a≥6.

(4)－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，则0＜y≤2.

即函数y＝2－x2＋2x的值域为(0,2]．]