2019届高考数学理一轮复习典型题专项训练：立体几何（含答案）

安徽省2019届高三数学一轮复习典型题专项训练
立体几何
一、选择、填空题
1、（2018全国I卷高考题）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． B． C． D．2

2、（2017全国I卷高考题）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为

A． B． C． D．
3、（A10联盟（合肥八中、屯溪一中等）2018届高三最后一卷 ）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是


4、（安庆市2018届高三模拟考试（二模））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．12 B．16 C． D．24
5、（蚌埠市2018届高三第二次教学质量检查）如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为
A． B． C． D．

6、（滁州市2018届高三上学期期末）已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则　B．若，，则
C. 若，，则　　　　D．若，，，且，，则
7、（合肥市2018届高三第三次（5月）教学质量检测）我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为
A. B.40 C. D.


8、（合肥市2018届高三第一次教学质量检测）.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A． B． C． D．
9、（合肥一中等六校教育研究会2018届高三第二次联考）如图是某几何体的三视图，则该几何体内切球的表面积为（ ）
A．3p B． C． D、

10、（合肥一中等六校教育研究会2018届高三第一次联考）已知三棱锥，为等边三角形， 为直角三角形，，，平面平面．若，则三棱锥外接球的表面积为
11、（黄山市2018届高三一模检测）如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为
A. B. C. D.

12、（江淮十校2018届高三第三次（4月）联考 ）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提出如下问题：“今有刍童，下广两丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈，问积几何？”翻译成现代文是“今有上下底面皆为长方形的草垛，下底（指面积较小的长方形）宽丈，长丈；上底（指面积较大的长方形）宽丈，长丈；高丈.问它的体积是多少？”现将该几何体的三视图给出如图所示，则该几何体的体积为（ ）立方丈.
A． B． C． D．

13、（江南十校2018届高三3月综合素质检测）某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（ ）

A． B． C． D．
14、（江南十校2018届高三冲刺联考（二模））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（ ）
A． B． C． D．

15、（马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测）如图，点在正方体的棱上，且，削去正方体过三点所在的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（ ）

A． B．
C. D．
16、（芜湖市2018届高三5月模拟）某几何体的三视图如右图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正(主)视图、侧(左)视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是
(A) (B) (C) (D)

17、（宿州市高三2018届第三次教学质量检测）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线面出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条弧均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C. D．
18、（皖南八校高三2018届高三第三次联考）中国古代数学家名著《九章算术》中记载了一中名为“堑堵”的几何体，其三视图如图所示，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．


参考答案：
一、选择、填空题
1、B　　
2、B
由三视图可画出立体图

该立体图平面内只有两个相同的梯形的面
　　　　故选B
3、B　　　4、B　　　5、C
6、B　　　7、D　　　8、C　　　9、B　　　10、15
11、D　　12、A　　　13、A　　　14、C　　　15、A
16、A　　　17、C　　18、B

二、解答题
1、（2018全国I卷高考题）如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
⑴证明：平面平面；
⑵求与平面所成角的正弦值．


2、（2017全国I卷高考题）如图，在四棱锥中，中，且．

（1）证明：平面平面；
（2）若，，求二面角的余弦值．

3、（A10联盟（合肥八中、屯溪一中等）2018届高三最后一卷 ）已知四棱锥中，平面平面，，，，，、分别为、的中点.
（Ⅰ）求证：平面 //平面
（Ⅱ）求二面角的余弦值.


4、（安庆市2018届高三模拟考试（二模））如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在边上.

（1）求证：平面平面；
（2）当时，求二面角的余弦值.

5、（蚌埠市2018届高三第二次教学质量检查）如图，已知四棱锥P -ABCD的底面为菱形，
∠BCD = 1200,AP =BP
(I）求证：PC⊥AB;
(II）若AB=2，PD=,cos ∠PCB= ，求二面角B-PC-D的余弦值．


6、（滁州市2018届高三上学期期末）已知三棱锥中，垂直平分，垂足为，是面积为的等边三角形，，，平面，垂足为，为线段的中点.

（1）证明：平面；
（2）求与平面所成的角的正弦值.

7、（合肥市2018届高三第三次（5月）教学质量检测）如图，在多面体中，平面⊥平面，，，DEAC，AD=BD=1.
(Ⅰ)求AB的长；
(Ⅱ)已知，求点E到平面BCD的距离的最大值.


8、（合肥市2018届高三第一次教学质量检测）如图，在多面体中，是正方形，平面，平面，，点为棱的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成的角的正弦值.

9、（合肥一中等六校教育研究会2018届高三第二次联考）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB//CD，AB=BC=CC1=2CD，E为线段AB的中点，F是线段DD1上的动点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面BCC1B1
（Ⅱ）若∠BCD=∠C1CD=60°，且平面D1C1CD平面ABCD，求平面BCC1B1与DC1B1平面所成角（锐角）的余弦值．

10、（合肥一中等六校教育研究会2018届高三第一次联考）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，∥，，为等边三角形，．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角大小的余弦值．

11、（黄山市2018届高三一模检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ,且,平面.
（1）求与平面所成角的正弦值;
（2）棱上是否存在一点,满足？若存在，求的长；若不存在，说明理由.


12、（江淮十校2018届高三第三次（4月）联考 ）四棱锥中，，且平面，，，是棱的中点.

（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.

13、（江南十校2018届高三3月综合素质检测）如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，平面平面，，四边形为平行四边形，且.

（1）求证：；
（2）若，，直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

14、（江南十校2018届高三冲刺联考（二模））平行六面体中，底面为菱形，，，.

（1）证明：平面平面；
（2）设与交于点，求二面角平面角正弦值.

15、（马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测）如图，在五棱锥中，四边形为等腰梯形，，和都是边长为的正三角形.

（1）求证：面；
（2）求二面角的大小.

16、（芜湖市2018届高三5月模拟）如图，在三棱柱中，，，平面平面，为中点.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．



17、（宿州市高三2018届第三次教学质量检测）如图所示，在四棱柱中，底面是梯形，，侧面为菱形，.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，，直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.


参考答案：
二、解答题
1、（1）分别为的中点，则，∴，
又，，∴平面，
平面，∴平面平面.

（2），，∴，
又，，∴平面，∴，
设，则，，∴，
过作交于点，
由平面平面，
∴平面，连结，
则即为直线与平面所成的角，
由，∴，
而，∴，
∴与平面所成角的正弦值.
2、（1）证明：∵
∴，
又∵，∴
又∵，、平面
∴平面，又平面
∴平面平面
（2）取中点，中点，连接，
∵
∴四边形为平行四边形
∴
由（1）知，平面
∴平面，又、平面
∴，
又∵，∴
∴、、两两垂直
∴以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
设，∴、、、，
∴、、
设为平面的法向量
由，得
令，则，，可得平面的一个法向量
∵，∴
又知平面，平面
∴，又
∴平面
即是平面的一个法向量，
∴
由图知二面角为钝角，所以它的余弦值为
3、


4、【解析】（I）设点在平面上的射影为点，连接
则平面，所以.
因为四边形是矩形，所以，所以平面，
所以.

数学试题（理）参考答案（共11页）第5页
又，所以平面，而平面，
所以平面平面.
……………… 5分
M
M
E
第18题图

（II）方法1：在矩形中，过点作的垂线，垂足为，连结.
因为平面，又DM∩DE=D
所以平面，
所以为二面角的平面角. ………………8分
设，则.
在中，易求出，.
在中，，
所以. ……………… 12分
方法2：以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. ……………… 6分
设，则，所以，.
由（I）知，又，所以°，°，那么，，，
所以，所以，. ………8分
设平面的一个法向量为，则即
取，则，，所以. ………………10分
因为平面的一个法向量为，
所以.
所以求二面角的余弦值为. ……………… 12分
5、


6、（1）证明：∵垂直平分，垂足为，∴.
∵，∴是等边三角形.
又是等边三角形.
∴是中点，，.
∵，，平面，∴平面.
（2）解：由（1）知，平面平面.
因为平面与平面的交线为.
∵平面.∴.
又等边面积为，∴
又，∴ 是中点.
如图建立空间直角坐标系，

，，，
所以，，
设平面的法向量为，则
，取，则，.
即平面的一个法向量为.
所以与平面所成角的正弦值为.
7、
(Ⅰ)∵平面ABD⊥平面ABC，且交线为AB，而AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD.
又∵DE∥AC，∴DE⊥平面ABD，从而DE⊥BD.
注意到BD⊥AE，且DE∩AE=E，∴BD⊥平面ADE，于是，BD⊥AD.
而AD=BD=1，∴. ………………………5分
(Ⅱ)∵AD=BD，取AB的中点为O，∴DO⊥AB.
又∵平面ABD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC.
过O作直线OY∥AC，以点O为坐标原点，直线OB，OY，OD分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
记，则，，
，，，.
令平面BCD的一个法向量为.
由得.令，得.
又∵，∴点E到平面BCD的距离.
∵，∴当时，取得最大值，.………………………12分
8、（1）证明：连结，交于点，
∴为的中点，∴.
∵平面，平面，
∴平面.
∵都垂直底面，
∴.
∵，
∴为平行四边形，∴.
∵平面，平面，
∴平面.
又∵，∴平面平面.
（2）由已知，平面，是正方形.
∴两两垂直，如图，建立空间直角坐标系.
设，则，从而，
∴，
设平面的一个法向量为，
由得.
令，则，从而.
∵，设与平面所成的角为，则
，
所以，直线与平面所成角的正弦值为.

9、证明：（1）连结DE，D1E，∵AB∥CD，AB=2CD，E是AB的中点，
∴BE∥CD，BE=CD， ∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，又DE平面BCC1B1，
∴DE∥平面BCC1B1， 同理D1D∥平面BCC1B1，又D1D∩DE=D，
∴平面DED1∥平面BCC1B1， ∵EF平面DED1，
∴EF∥平面BCC1B1． ................6分
方法一（2）∵AB=BC=CC1=2CD，∠BCD=∠C1CD=60°，
设CD=1，则BC=2，BD2=3 ∴BD⊥CD． 同理：C1D⊥CD，
∵平面D1C1CD⊥平面ABCD，平面D1C1CD∩平面ABCD=CD，C1D平面D1C1CD，
∴C1D⊥平面ABCD， ∴C1D⊥BC．∴C1D⊥B1C1
在平面ABCD中，过D作DH⊥BC，垂足为H，连结C1H．
∴BC⊥平面C1DH，∵C1H平面C1DH，
∴BC⊥C1H， 所以，B1C1⊥C1H，
∴∠DC1H为平面BCC1B1与DC1B1平面所成的角．
在Rt△BCD中， C1D=， 在Rt△C1DH，C1H=，∴cos∠DC1H=
∴平面BCC1B1与DC1B1平面所成的角（锐角）的余弦值为 ..........12分
10、

11、解：（1）以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，， ………………………………2分
从而，，，
设平面的法向量为，则，且，即，且，不妨取，则，，
所以平面的一个法向量为， …………………………………5分
此时，
所以与平面所成角的正弦值为. ………………………………7分
（2）设，则， 则，，若，则，化简得，该方程无解，所以，棱上不存在一点满足．
…………………………………………………………………………………………12分

12、解析：（1）取中点，连接、，∵是中点，∴，且.又因为，∴.又∵，∴，∴四边形是平行四边形.∴，又，∴是等边三角形，∴，∵平面，，∴平面，∴，∴平面，∴平面.
（2）取中点，则，平面，以为原点建立如图所示的直角坐标系.
各点坐标为，，，，，.
可得，，，；
设平面的法向量，则得，
取，
设平面的法向量，则得，
取，
于是，
注意到二面角是钝角，因此，所求二面角的余弦值就是.

13、解：（1）过作交于，连接，由平面平面，得平面，因此.
∴，，，
∴，∴，
由已知得为等腰直角三角形，因此，又，
∴平面，∴.

（2）∵，平面，平面，∴平面，
∵平面平面，∴，
由（1）可得，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可得，进而可得，，，，，，
设平面的法向量为，则，即，
可取，
设平面的法向量为，则，即，
可取，
则，
∴二面角的余弦值为.
14、（1）证明：设，交于点，∵底面为菱形，∴，又∵，是的中点，∴，，∴平面，又∵平面，∴平面平面；
（2）解：∵，是的中点，∴，，，两两垂直，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，
设，由题得，，，则
，，，，
设是平面的一个法向量，
，，
，可得，
设是平面的一个法向量，
，，
，可得，
，
∴二面角平面角正弦值为.

15、解：（1）证明：分别取和的中点，连接.
由平面几何知识易知共线，且.
由得，从而，
∴，又，∴.
∴面，∴.
在中，，∴，
在等腰梯形中，，
∴，∴，
又，面，∴面.
（2）由（1）知面且，故建立空间直角坐标系如图所示.

则，
.
由（1）知面的法向量为.
设面的法向量为，
则由，得，
令，得，
∴.
所以，二面角大小为.
16、【证明】（1）过点做交于，因为面 ，，
所以，故，………2分
又因为，所以，故，
因为，所以，又因为，所以面，
故．………5分
（2）以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标，

，
设面的法向量为， 则令，
得； ………7分
设面的法向量为，则令
得；………9分
………11分
面与面所成锐二面角的余弦值为．………12分

17、解：（Ⅰ）连接，因为侧面为菱形，所以，又，所以，∴.取的中点，连，则，又，，平面，平面，∴平面，从而.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，又平面，平面平面，所以直线在平面上的投影为直线，故，设，则，∴.∴，∴，∴平面.故可以射线、射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，.所以，由可得，所以
设平面的一个法向量，则，即，令，则，，所以.取平面的法向量，设平面与平面所成角为，所以.故平面与平面所成角的余弦值为.