2021版新高考数学(山东专用)一轮学案:第八章第九讲第二课时 最值、范围、证明问题
展开第二课时 最值、范围、证明问题KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 圆锥曲线中的最值问题——自主练透例1 (2020·广东调研)已知圆x2+y2+2x-26=0的圆心为F1,直线l过点F2(,0)且与x轴不重合,l交圆F1于C,D两点,过F2作F1C的平行线,交F1D于点E.设点E的轨迹为Ω.(1)求Ω的方程;(2)直线l1与Ω相切于点M,l1与两坐标轴的交点为A与B,直线l2经过点M且与l1垂直,l2与Ω的另一个交点为N.当|AB|取得最小值时,求△ABN的面积.[解析] (1)因为F1C∥EF2,所以∠F1CD=∠EF2D.又F1C=F1D,所以∠F1CD=∠F1DC,则∠EDF2=∠EF2D,所以|ED|=|EF2|,从而|EF2|+|EF1|=|ED|+|EF1|=|DF1|.x2+y2+2x-26=0可化为(x+)2+y2=32,所以|EF2|+|EF1|==4>2.从而E的轨迹为以F1(-,0),F2(,0)为焦点,长轴长为4的椭圆(剔除左、右顶点).所以Ω的方程为+=1(y≠0).(2)易知l1的斜率存在,所以可设l1的方程为y=kx+m(k≠0)联立消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0.因为直线l与Ω相切,所以Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-8)=0.即m2=8k2+2.l1在x轴、y轴上的截距分别为-,m,则|AB|====≥=3,当且仅当8k2=,即k=±时取等号.所以当k2=时,|AB|取得最小值,此时m2=6,根据对称性,不妨取k=,m=,此时2xM=-=-,即xM=-,从而yM=-×+=,联立消去y,得9x2+16x+16=0,则xM+xN=-+xN=-,解得xN=-,所以|MN|=|xM-xN|=,故△ABN的面积为××3=4.例2 (2020·四川省联合诊断)已知抛物线x2=8y,过点M(0,4)的直线与抛物线交于A,B两点,又过A,B两点分别作抛物线的切线,两条切线交于P点.(1)证明:直线PA,PB的斜率之积为定值;(2)求△PAB面积的最小值.[解析] (1)证明:由题意设l的方程为y=kx+4,联立,得x2-8kx-32=0,因为Δ=(-8k)2-4×(-32)>0,所以设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=-32,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,对y=,求导得y′=,所以k1=,k2=,所以,k1k2=·===-2(定值).(2)由(1)可得直线PA的方程为y-=(x-x1)①直线PB的方程为y-=(x-x2)②联立①②,得点P的坐标为(,),由(1)得x1+x2=8k,x1x2=-32,所以P(4k,-4).于是|AB|=8,点P到直线AB的距离d=,所以S△PAB=16(k2+2),当k2=0,即k=0时,△PAB的面积取得最小值32.名师点拨 ☞处理圆锥曲线最值问题的求解方法(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法.(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等.〔变式训练1〕(2019·陕西省汉中市模拟)圆O的方程为:x2+y2=9,P为圆上任意一点,过P作x轴的垂线,垂足为D,点Q在PD上,且=.(1)求点Q的轨迹C的方程;(2)过点F(-,0)的直线与曲线C交于A、B两点,点M的坐标为(3,0),△MAB的面积为S,求S的最大值,及直线AB的方程.[解析] (1)设P(x1,y1),则D(x1,0),设Q(x,y),=(0,y1),=(0,y),因为=,所以,把P(x1,y1)代入圆的方程得x2+y2=9,所以Q的轨迹C的方程为+=1.(2)由题意易知直线的斜率不为0,设直线AB的方程为x=ty-,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立⇒(4t2+9)y2-8ty-16=0,y1+y2=,y1y2=,S△MAB=×(3+)×|y1-y2|=×==12(3+)·≤12(3+)×==.当且仅当t=±时取等号,所以△MAB面积有最大值为.所以△MAB的面积为最大时,直线AB的方程为y=2x+2或y=-2x-2.考点二 圆锥曲线中的范围问题——师生共研例3 (2019·西安模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点P(1,)在椭圆C上,O为坐标原点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角,求直线l的斜率k的取值范围.[解析] (1)由题意,得c=1,所以a2=b2+1.因为点P(1,)在椭圆C上,所以+=1,所以a2=4,b2=3.则椭圆C的标准方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=kx+2,点A(x1,y1),B(x2,y2),由得(4k2+3)x2+16kx+4=0.因为Δ=48(4k2-1)>0,所以k2>,由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=.因为∠AOB为锐角,所以·>0,即x1x2+y1y2>0.所以x1x2+(kx1+2)(kx2+2)>0,即(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4>0,所以(1+k2)·+2k·+4>0,即>0,所以k2<.综上可知<k2<,解得-<k<-或<k<.所以直线l的斜率k的取值范围为(-,-)∪(,).[引申]本例中①,若·=0,则k=__±__,②若O在以AB的直径的圆内,则k的取值范围是__(-∞,-)∪(,+∞)__.名师点拨 ☞求解范围问题的常见求法(1)利用判别式来构造不等式关系,从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系.(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.(4)利用基本不等式求出参数的取值范围.(5)利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.〔变式训练2〕(2020·辽宁省朝阳市质量检测)已知F为椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P(1,m)在C上,且PF⊥x轴,椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l:y=kx+2与椭圆C相交于A,B两点,且·>2(O为坐标原点),求k的取值范围.[解析] (1)因为F(c,0)为椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P(1,m)在C上,且PF⊥x轴,所以c=1;又椭圆C的离心率为,所以a=2,因此b2=a2-c2=4-1=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由,得(3+4k2)x2+16kx+4=0,所以x1+x2=-,x1x2=,故y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x2+x2)+4=+4,由·>2,得x1x2+y1y2>2,即+4>2,整理得k2<,解得-<k<;又因Δ=162k2-16(3+4k2)>0,整理得k2>,解得k>或k<-;综上,k的取值范围是(-,-)∪(,).考点三 圆锥曲线中的证明问题——师生共研例4 (2018·课标Ⅰ卷)设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.[解析] (1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1,由已知可得,点A的坐标为(1,)或(1,-).所以AM的方程为y=-x+或y=x-.(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.当l与x轴垂直时,直线OM为AB的垂直平分线.所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<,x2<,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=+,将由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB=,将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以,x1+x2=,x1x2=.则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0,从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.名师点拨 ☞圆锥曲线中的证明问题,常见的有位置关系方面的,如证明相切、垂直、过定点等;数量关系方面的,如存在定值、恒成立等.在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下,要多采用直接法证明,但有时也会用到反证法.解决证明问题的答题模板〔变式训练3〕(2020·安徽1号卷A10联盟联考)若抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(1,n)在抛物线C上,且|MF|=3.(1)求抛物线C的方程;(2)过点(-2,0)的直线l交抛物线C于A、B两点,点A关于x轴的对称点是D,证明:B、F、D三点共线.[解析] (1)抛物线C的准线为x=-,∵点M到准线的距离为3,∴1+=3,解得p=4.∴抛物线C的方程为y2=8x.(2)设直线l的方程为x=my-2,A(x1,y1),B(x2,y2),联立,得y2-8my+16=0,Δ=64m2-64>0,解得m>1或m<-1.∴y1+y2=8m,y1y2=16.又点A关于x轴的对称点为D,∴D(x1,-y1),则直线BD的方程为y-y2=(x-x2),即y-y2=(x-x2)=(x-)令y=0,得x=-y2·==2.∴直线BD恒过定点(2,0),而点F(2,0),因此B,F,D三点共线.