2021新高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第一章第2节常用逻辑用语


第2节　常用逻辑用语
考试要求　1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对存在性命题进行否定.

知 识 梳 理
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p⇒q且q⇒ p
p是q的充分不必要条件
p⇒ q且q⇒p
p是q的必要不充分条件
p⇔q
p是q的充要条件
p⇒q且q⇒ p
p是q的既不充分又不必要条件
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示对“任意x”.
(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”.
3.全称命题和存在性命题(命题p的否定记为綈p，读作“非p”)
名称
全称命题
存在性命题
定义
含有全称量词的命题
含有存在量词的命题
简记
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，p(x)
否定
∃x∈M，綈p(x)
∀x∈M，綈p(x)
[常用结论与微点提醒]
1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒ A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒B)两者的不同.
2.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.
3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
诊 断 自 测

1.判断下列结论的正误. (在括号内打“√”或“×”)
(1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.(　　)
(2)“长方形的对角线相等”是存在性命题.(　　)
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(　　)
(4)若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件.(　　)
解析　(2)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.
答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

2.(新教材必修第一册P34复习参考题T5改编)设a，b∈R且ab≠0，则ab>1是a>的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　若“ab>1”，当a＝－2，b＝－1时，不能得到“a>”，
若“a>”，例如当a＝1，b＝－1时，不能得到“ab>1”，
故“ab>1”是“a>”的既不充分也不必要条件.
答案　D
3.(教材选修2-1P18T4改编)命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是________________________.
答案　有些表面积相等的三棱锥体积不相等


4.(2020·无锡模拟)已知命题p：∃x0∈R，x＋4x0＋6<0，则綈p为(　　)
A.∀x∈R，x2＋4x＋6≥0 B.∃x∈R，x2＋4x＋6>0
C.∀x∈R，x2＋4x＋6>0 D.∃x∈R，x2＋4x＋6≥0
解析　依据存在性命题的否定是全称命题，由此知答案A是正确的.
答案　A
5.(2020·青岛二中检测)直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
解析　直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于<，解得－1 答案　－1 6.(2019·南京学情调研)已知p：x>a是q：2 解析　由已知，可得{x|2a}，∴a≤2.
答案　(－∞，2]

考点一　充分条件与必要条件的判断
【例1】 (1)(2019·浙江卷)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)(2020·扬州模拟)设函数f(x)＝则“m>1是f[f(－1)]>4”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析　(1)当a>0，b>0时，得4≥a＋b≥2，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝5>4，不满足a＋b≤4，必要性不成立，故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.
(2)当m>1时，f[f(－1)]＝f＝f(2)＝22m＋1>4，
当f[f(－1)]>4时，
f[f(－1)]＝f＝f(2)＝22m＋1>4＝22，
∴2m＋1>2，解得m>.
故“m>1”是“f[f(－1)]>4”的充分不必要条件.
答案　(1)A　(2)A
规律方法　充要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
【训练1】 (1)(2019·天津卷)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的________条件.
解析　(1)由“x2－5x<0”可得“0 (2)显然a＝0时，f(x)＝sin x－为奇函数；
当f(x)为奇函数时，
f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋sin x－＋a＝0.
因此2a＝0，故a＝0.
所以“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的充要条件.
答案　(1)B　(2)充要
考点二　充分、必要条件的应用　典例迁移
【例2】 (经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围.
解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.
∴解得m≤3.
又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.
综上，m的取值范围是[0，3].
【迁移1】 本例条件不变，若x∈P是x∈S的必要不充分条件，求m的取值范围.
解　由例知，SP，
∴或
解得0≤m≤3或0≤m<3，∴0≤m≤3，
故m的取值范围是[0，3].
【迁移2】 本例条件不变，若x∈P的必要条件是x∈S，求m的取值范围.
解　由例知P＝{x|－2≤x≤10}，
若x∈P的必要条件是x∈S，即x∈S是x∈P的必要条件，
∴P⊆S，
∴解得m≥9.
故m的取值范围是[9，＋∞).
【迁移3】 本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由.
解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴∴
这样的m不存在.
规律方法　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
【训练2】 (2020·泰州模拟)若关于x的不等式|x－1| A.(－∞，1] B.(－∞，1)
C.(3，＋∞) D.[3，＋∞)
解析　|x－1| 答案　D
考点三　全称量词与存在量词　多维探究
角度1　含有量词命题的否定
【例3－1】 (2020·徐州模拟)已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：∀f(x)∈A，|f(x)|∈B，则綈p为(　　)
A.∀f(x)∈A，|f(x)|∉B B.∀f(x)∉A，|f(x)|∉B
C.∃f(x)∈A，|f(x)|∉B D.∃f(x)∉A，|f(x)|∉B
解析　全称命题的否定为存在性命题：改写量词，否定结论.
∴綈p：∃f(x)∈A，|f(x)|∉B.
答案　C
角度2　全称(存在性)命题的真假判断
【例3－2】 已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是(　　)
A.∀x∈R，f(－x)≠f(x)
B.∀x∈R，f(－x)≠－f(x)
C.∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)
D.∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)
解析　∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，∴∀x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，∴∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)为真命题.
答案　C
角度3　由命题的真假求参数的取值范围
【例3－3】 已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________.
解析　当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，
由f(x)min≥g(x)min，
得0≥－m，所以m≥.
答案　
规律方法　1.全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.
2.判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可.
3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.
【训练3】 (1)(角度1)命题“∃x0∈R，1 A.∀x∈R，1 B.∃x0∈R，1 C.∃x0∈R，f(x0)≤1或f(x0)>2
D.∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
(2)(多选题)(角度2)下列命题中是真命题的有(　　)
A.∀x∈R，2x－1＞0 B.∀x∈N*，(x－1)2＞0
C.∃x0∈R，lg x0＜1 D.∃x0∈R，tan x0＝2
(3)(角度3)(2020·扬州模拟)若“∀x∈，m≤tan x＋2”为真命题，则实数m的最大值为________.
解析　(1)存在性命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”.
(2)当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题，其余都是真命题，故选ACD.
(3)由x∈，∴1≤tan x＋2≤2＋.
∵“∀x∈，m≤tan x＋2”为真命题，则m≤1.
∴实数m的最大值为1.
答案　(1)D　(2)ACD　(3)1

逻辑推理——突破双变量“存在性或任意性”问题
逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.
类型1　形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得g(x2)＝f(x1)成立”的问题
【例1】 已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝x－，若对任意x1∈
[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f′(x1)＋2ax1＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.
解　由题意知，g(x)在[0，2]上的值域为.
令h(x)＝f′(x)＋2ax＝3x2＋2x－a(a＋2)，
则h′(x)＝6x＋2，由h′(x)＝0得x＝－.
当x∈时，h′(x)<0；当x∈时，h′(x)>0，所以[h(x)]min＝h＝－a2－2a－.
又由题意可知，h(x)的值域是的子集，所以
解得实数a的取值范围是[－2，0].
思维升华　理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.
类型2　形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立”的问题
【例2】 已知函数f(x)＝函数g(x)＝ksin－2k＋2(k>0)，若存在x1∈[0，1]及x2∈[0，1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围.
解　由题意，易得函数f(x)的值域为[0，1]，g(x)的值域为，并且两个值域有公共部分.
先求没有公共部分的情况，即2－2k>1或2－k<0，解得k<或k>，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是.
思维升华　本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.
类型3　形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f(x1) 【例3】 已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________.
解析　依题意知f(x)max≤g(x)max.
∵f(x)＝x＋在上是减函数，
∴f(x)max＝f＝.
又g(x)＝2x＋a在[2，3]上是增函数，∴g(x)max＝8＋a，
因此≤8＋a，则a≥.
答案　
思维升华　理解量词的含义，将原不等式转化为[f(x)]max≤[g(x)]max；利用函数的单调性，求f(x)与g(x)的最大值，得关于a的不等式，求得a的取值范围.
思考1：在[例3]中，若把“∃x2∈[2，3]”变为“∀x2∈[2，3]”时，其它条件不变，则a的取值范围是________.
问题“等价转化”为[f(x)]max≤[g(x)]min，请读者完成.
思考2：在[例3]中，若将“∀x1∈”改为“∃x1∈”，其它条件不变，则a的取值范围是______.
问题“等价转化”为f(x)min≤g(x)max，请读者自行求解.

A级　基础巩固
一、选择题
1.(2020·盐城期中)命题p：“∀x>1，x2－1>0”，则綈p为(　　)
A.∀x>1，x2－1≤0 B.∀x≤1，x2－1≤0
C.∃x0>1，x－1≤0 D.∃x0≤1，x－1≤0
解析　命题p：“∀x>1，x2－1>0”，则綈p为：∃x0>1，x－1≤0.
答案　C
2.(2020·泰州中学质检)在等比数列{an}中，“a1，a3是方程x2＋3x＋1＝0的两根”是“a＝1”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　由a1＋a3＝－3，a1·a3＝1⇒a＝a1·a3＝1，
但a＝1⇒ a1＋a3＝－3.因而“a1，a3是方程x2＋3x＋1＝0的两根”是a＝1的充分不必要条件.
答案　A
3.已知命题p∶∃x∈(0，1)，ex－a≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A.a＞1 B.a≥e
C.a≥1 D.a＞e
解析　∵綈p∶∀x∈(0，1)，ex－a＜0为真命题，∴a≥e.
答案　B
4.以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是(　　)
A.锐角三角形有一个内角是钝角
B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，＞2
解析　A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题，B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是存在性命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有＜0，不满足＞2，所以D是假命题.
答案　B
5.(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.
答案　A
6.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是
綈p，则a的取值范围是(　　)
A.[1，＋∞) B.(－∞，1]
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]
解析　由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是
綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.
答案　A
7.已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)
A.(－∞，0) B.[0，4]
C.[4，＋∞) D.(0，4)
解析　因为命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定命题“∀x∈R，4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题.
则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得0 答案　D
8.下列命题中，真命题是(　　)
A.∃x0∈R，ex0≤0
B.∀x∈R，2x＞x2
C.a＋b＝0的充要条件是＝－1
D.“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件
解析　因为y＝ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；因为当x＝－5时，2－5＜
(－5)2，所以B不正确；“＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件，C不正确；当a＞1，b＞1时，显然ab＞1，D正确.
答案　D
二、填空题
9.(2017·北京卷改编)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的________条件.
解析　存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|2<0；反之m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇒cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈，当〈m，n〉∈时，m，n不共线.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分不必要条件.
答案　充分不必要
10.若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.
解析　∵函数y＝tan x在上是增函数，∴ymax＝tan ＝1，依题意，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1.
答案　1
11.已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是 解析　解不等式|x－m|<1，得m－1 答案　
12.“a＝1”是“函数f(x)＝－是奇函数”的__________条件.
解析　当a＝1时，f(－x)＝－f(x)(x∈R)，则f(x)是奇函数，充分性成立.
若f(x)为奇函数，恒有f(－x)＝－f(x)，得(1－a2)(e2x＋1)＝0，则a＝±1，必要性不成立.故“a＝1”是“函数f(x)＝－是奇函数”的充分不必要条件.
答案　充分不必要
B级　能力提升
13.(2020·南京模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则对实数a，b，“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(|x|).
又y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
若a>|b|，则f(a)>f(|b|)＝f(b)，即充分性成立；
若f(a)>f(b)，则等价为f(|a|)>f(|b|)，即|a|>|b|，
即a>|b|或a<－|b|，即必要性不成立，
则“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分不必要条件.
答案　A
14.(2017·浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　由S4＋S6－2S5＝S6－S5－(S5－S4)＝a6－a5＝d，所以S4＋S6>2S5⇔d>0，所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.
答案　C
15.已知函数f(x)＝a2x－2a＋1.若命题“∀x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，则实数a的取值范围是________.
解析　∵函数f(x)＝a2x－2a＋1，
命题“∀x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，
∴原命题的否定：“∃x0∈(0，1)，使f(x0)＝0”是真命题，
∴f(1)f(0)<0，即(a2－2a＋1)(－2a＋1)<0，
∴(a－1)2(2a－1)>0，解得a>，且a≠1，
∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞).
答案　∪(1，＋∞)
16.(2019·盐城一中月考)设p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是________.
解析　p对应的集合A＝{x|y＝ln(2x－1)≤0}＝，q对应的集合B＝{x|(x－a)[x－(a＋1)]≤0}＝{x|a≤x≤a＋1}.由q是p的必要而不充分条件，知AB.所以a≤且a＋1≥1，因此0≤a≤.
答案　
C级　创新猜想
17.(多选题)(2020·徐州一中月考)下列四个命题：p1：任意x∈R，2x>0；p2：存在x∈R，x2＋x＋1≤0；p3：任意x∈R，sin x<2x；p4：存在x∈R，cos x>x2＋x＋1.其中的真命题是(　　)
A.p1 B.p2 C.p3 D.p4
解析　∀x∈R，2x>0恒成立，p1是真命题.
又x2＋x＋1＝＋>0，∴p2是假命题.
由sin＝1>2－π，知p3是假命题.
取x＝－时，cos>cos＝，
但x2＋x＋1＝<，则p4为真.
综上，p1，p4为真命题，p2，p3是假命题.
答案　AD
18.(开放题)(2018·北京卷)能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为________.
解析　若a>b，则<为真命题，则－＝<0，∵a>b，∴b－a<0，则ab>0.故当a>0，b<0时，均能说明“若a>b，则<”为假命题.
答案　a＝1，b＝－1(答案不唯一，只需a>0，b<0)