2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第五章第一讲　数列的概念与简单表示法


第五章　数列
第一讲　数列的概念与简单表示法
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　数列的有关概念
概念
含义
数列
按照__一定顺序__排列的一列数
数列的项
数列中的__每一个数__
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式__an＝f(n)__表达，这个公式叫做数列{an}的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝__a1＋a2＋…＋an__叫做数列{an}的前n项和
知识点二　数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点__(n，an)__画在平面直角坐标系中
公
式
法
通项
公式
把数列的通项使用__公式__表示的方法
递推
公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法
知识点三　an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝
知识点四　数列的分类


1．数列与函数
数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})的函数，当自变量__从小到大__依次取值时对应的一列函数值．数列的通项公式是相应函数的解析式，它的图象是__一群孤立的点__.
2．常见数列的通项公式
(1)自然数列：1,2,3,4，…，an＝n.
(2)奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1.
(3)偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n.
(4)平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2.
(5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n.
(6)乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)．
(7)正整数的倒数列：1，，，，…，an＝.
(8)重复数串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1.
(9)符号数列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1.

题组一　走出误区
1．(多选题)下列命题正确的是(　BD　)
A．所有数列的第n项都可以用公式表示出来
B．依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个
C．若an＋1－an>0(n≥2)，则函数{an}是递增数列
D．如果数列{an}的前n项和为Sn，则对于任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn
[解析]　对于A，因为数列是按一定顺序排列的一列数，如我班某次数学测试成绩，按考号从小到大的顺序排列，这个数列肯定没有通项公式，所以错误．
对于B，比如数列1,0,1,0，……的通项公式为：an＝或an＝或an＝，所以正确．
对于C，因为n＝1时，a2与a1不确定大小关系．
对于D，由数列前n项和的定义可知，当n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn，所以正确．故选B、D．
题组二　走进教材
2．(必修5P31T4改编)数列0，－，，－，…的一个通项公式是an＝(　A　)
A．(－1)n＋1·　　 B．(－1)n·
C．(－1)n－1·　　 D．(－1)n·
[解析]　奇数项符号为正，偶数项符号为负，故用(－1)n－1或(－1)n＋1调节，变为，观察发现各项分子项数的是立方数减1，分母是项数的平方数加1，故得an＝(－1)n＋1·.故选A．
3．(必修5P33A组T4改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(　D　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
[解析]　a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.
4．(必修5P33A组T5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝__5n－4__.

题组三　考题再现
5．(2019·浙江，4分)设a，b∈R，数列{an}满足a1＝a，an＋1＝a＋b，n∈N*，则(　A　)
A．当b＝时，a10>10
B．当b＝时，a10>10
C．当b＝－2时，a10>10
D．当b＝－4时，a10>10
[解析]　当b＝时，因为an＋1＝a＋，所以a2≥，又an＋1＝a＋≥an，故a9≥a2×()7≥×()7＝4，a10>a≥32>10.当b＝时，an＋1－an＝(an－)2，故a1＝a＝时，a10＝，所以a10>10不成立．同理b＝－2和b＝－4时，均存在小于10的数x0，只需a1＝a＝x0，则a10＝x010不成立．所以选A．
6．(2018·全国卷Ⅰ，5分)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝__－63__.
[解析]　方法一：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；
当n＝2时，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；
当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；
当n＝5时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；
当n＝6时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32；
所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.
方法二：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　由数列的前几项求数列的通项公式——自主练透
例1　根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)，，，，，…；
(3)，2，，8，，…；
(4)5,55,555,5555，…；
(5)－1，，－，，－，，….
[解析]　(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(－1)n调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故数列的一个通项公式为an＝.
(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，，，，…，故数列的一个通项公式为an＝.
(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故数列的一个通项公式为an＝(10n－1)．
(5)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·.
也可写为an＝
名师点拨　☞
由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等．
(2)具体策略：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项的符号特征和绝对值特征；
⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；
⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．
注意：并不是每个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一．
考点二　由an与Sn的关系求通项公式——多维探究
角度1　已知Sn求an问题
例2　(1)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n，则此数列的通项公式为an＝__2n－11__.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为an＝____.
[解析]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1－10＝－9；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11.
当n＝1时，2×1－11＝－9＝a1，所以an＝2n－11.
故填2n－11.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1.
综上有an＝
故填
角度2　Sn与an的关系问题
例3　已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式为an＝__(－)n－1__.
[解析]　当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，所以a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，所以＝－，所以数列{an}为首项a1＝1，公比q＝－的等比数列，故an＝(－)n－1.　
名师点拨　☞
Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
已知Sn求an的一般步骤
(1)当n＝1时，由a1＝S1，求a1的值．
(2)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式．
(3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an.
(4)写出an的完整表达式．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(2020·福建三明一中期中)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式(　B　)
A．an＝2n　　 B．an＝
C．an＝2n－1　　 D．an＝2n＋1
(2)(角度2)(2020·辽宁部分重点高中高三联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－1，则{an}的通项公式为(　B　)
A．an＝2n－1　　 B．an＝2n－1
C．an＝2n－1　　 D．an＝2n＋1
[解析]　(1)由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1.当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝故选B．
(2)当n＝1时，S1＝2a1－1＝a1，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.因此an＝2n－1(n≥2)．又n＝1时，2n－1＝1＝a1，∴an＝2n－1.故选B．
考点三　由递推关系求通项公式——多维探究
角度1　形如an＋1＝an＋f(n)，求an
例4　(2020·河南师大附中月考)已知数列{an}满足an＋1＝an＋，a1＝1，则an＝__2－__.
[解析]　由题意知an－an－1＝
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝＋＋…＋＋1
＝＝2－.
角度2　形如an＋1＝anf(n)，求an
例5　(2020·宁夏银川月考)在数列{an}中，a1＝1,3an＋1＝(1＋)2an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为(　A　)
A．an＝　　 B．an＝
C．an＝　　 D．an＝
[解析]　解法一：由已知得＝×
∴an＝××…××a1
＝××××…×××1＝.
解法二：由题意得＝·.又n＝1时，＝1，故数列{}是首项为1，公比为的等比数列．从而＝，即an＝.故选A．
解法三：当n＝1时，选项A为1，B为1，C为，D为1，否定C，当n＝2时，由已知得a2＝，选项A为，B为，D为，否定B，D，故选A．
角度3　形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an
例6　(2020·西北师大附中调研)已知数列{an}满足a1＝－2，且an＋1＝3an＋6，则an＝__3n－1－3__.
[解析]　∵an＋1＝3an＋6，
∴an＋1＋3＝3(an＋3)，
又a1＝－2，∴a1＋3＝1，
∴{an＋3}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＋3＝3n－1，∴an＝3n－1－3.
名师点拨　☞
已知递推关系求通项，一般有三种常见思路
(1)算出前几项，再归纳、猜想．
(2)形如“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列．
(3)递推公式化简整理后，若为an＋1－an＝f(n)型，则采用累加法；若为＝f(n)型，则采用累乘法．
〔变式训练2〕
根据下列条件，写出数列{an}的通项公式：
(1)(角度1)若a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，则an＝__n2－2n＋2__；
(2)(角度2)若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则an＝____；
(3)(角度3)若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则an＝__2×3n－1－1__.
[解析]　(1)∵an＋1＝an＋2n－1，∴当n≥2时，a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，an－an－1＝2n－3，
∴an－a1＝＝(n－1)2，∴an＝(n－1)2＋1＝n2－2n＋2，
又当n＝1时，12－2×1＋2＝1，∴n＝1时符合上式．
∴an＝n2－2n＋2.
(2)∵nan－1＝(n＋1)an，∴＝，又a1＝1，∴an＝··…··a1＝···…·＝.
(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，
∴a1＋1＝2，∴{an＋1}是首项为2公比为3的等比数列，
∴an＋1＝2×3n－1，∴an＝2×3n－1－1.
考点四　数列的函数性质——多维探究
角度1　数列的单调性
例7　若数列{an}满足an＝n2＋kn＋4(n∈N*)且{an}是递增数列，则实数k的取值范围为__k>－3__.
[解析]　由数列是一个递增数列，得an＋1>an，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，所以(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4，即k>－1－2n，又n∈N*，所以k>－3.
角度2　数列的周期性
例8　(2020·福建福清校际联盟期中联考)已知Sn为数列{an}前n项和，若a1＝，且an＋1＝(n∉N*)，则6S100＝(　A　)
A．425　　 B．428　　
C．436　　 D．437
[分析]　由递推公式逐项求解，探求规律．
[解析]　由数列的递推公式可得：
a2＝＝，a3＝＝3，a4＝＝－2，a5＝＝＝a1，
据此可得数列{an}是周期为4的周期数列，则：6S100＝6×25×(＋＋3－2)＝425.选A．
角度3　数列的最大、小项问题
例9　已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)()n，则数列{an}中的最大项是第__9、10__项．
[解析]　解法一：∵an＋1－an＝(n＋2)()n＋1－(n＋1)()n＝()n×，
当n0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an