2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第十一章第二节古典概型

第二节古典概型



一、基础知识批注——理解深一点

基本事件的两个特点
(1)互斥性．(2)可加性．

1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以
表示成基本事件的和．
2．古典概型
(1)特点：
①有限性：在一次试验中所有可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件．
②等可能性：每个基本事件出现的可能性是均等的．
(2)计算公式：
P(A)＝.

二、常用结论汇总——规律多一点
频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同
名称
不同点
相同点
频率计算公式
频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值
都计算了一个比值
古典概型的概率计算公式
是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化
三、基础小题强化——功底牢一点

　(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　　)
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件．(　　)
(3)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，则事件A的概率为.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√

(二)选一选
1．同时抛掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　同时抛掷两个骰子，基本事件总数为36，记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A，则事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共4个，故P(A)＝＝.
2．从1,2,3,6中随机取出三个数字，则数字2是这三个数字的平均数的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　从1,2,3,6中随机取出三个数字，总的基本事件为(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,6)，(2,3,6)，共4个，则数字2是这三个数字的平均数所包含的基本事件为(1,2,3)，共1个．故数字2是这三个数字的平均数的概率是.故选A.
(三)填一填
3．从一副混合后的扑克牌(除去大、小王52张)中，随机抽取1张．事件A为“抽到红桃K”，事件B为“抽到黑桃”，则P(A∪B)＝________(结果用最简分数表示)．
解析：∵P(A)＝，P(B)＝，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝.
答案：
4．口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2次，每次从中任意取出1个球，则2次取出的球颜色不同的概率是________．
解析：由题意，知基本事件有(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，红)，(白，白)，(白，黑)，(黑，红)，(黑，白)，(黑，黑)，共9种，其中2次取出的球颜色相同有3种，所以2次取出的球颜色不同的概率为1－＝.
答案：


[典例]　(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
[解]　(1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
②不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以事件M发生的概率P(M )＝.

[解题技法]　求古典概型概率的步骤
(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
(3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率．
[题组训练]
1．(2018·全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为(　　)
A．0.6　　　　　　　　 B．0.5
C．0.4 D．0.3
解析：选D　设2名男同学为a，b,3名女同学为A，B，C，从中选出两人的情形有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，而都是女同学的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种，故所求概率为＝0.3.
2．(2019·南昌调研)甲邀请乙、丙、丁三人加入了“兄弟”这个微信群聊，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人抢到的钱数均为整数，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　设乙、丙、丁分别抢到x元，y元，z元，记为(x，y，z)，
则基本事件有：(2,2,5)，(2,5,2)，(5,2,2)，(2,3,4)，(2,4,3)，(3,2,4)，(3,4,2)，(4,3,2)，(4,2,3)，(3,3,3)，共10个，其中符合丙获得“手气最佳”的有4个，所以丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的概率P＝＝.
3．(2017·山东高考)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
解：(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其所有可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个．
则所求事件的概率为P＝＝.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其所有可能的结果组成的基本事件有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，
则所求事件的概率为P＝.
考点二　古典概型与其他知识的交汇问题
考法(一)　古典概型与平面向量相结合
[典例]　(2018·上饶期末)从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a，从集合{1,2,3}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(2,1)共线的概率为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
[解析]　由题意可知m＝(a，b)，基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12个，∵向量m＝(a，b)与向量n＝(2,1)共线，∴a－2b＝0，即a＝2b，∴有(2,1)，(4,2)，共2个，故所求概率为.
[答案]　A

考法(二)　古典概型与解析几何相结合
[典例]　(2019·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．
[解析]　依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤ ，即a≤b，则当a＝1时，b＝1,2,3,4,5,6，共有6种，当a＝2时，b＝2,3,4,5,6，共5种，同理当a＝3时，有4种，a＝4时，有3种，a＝5时，有2种，a＝6时，有1种，故共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于＝.
[答案]　

考法(三)　古典概型与函数相结合
[典例]　(2018·银川三模)已知函数y＝2＋|x|－1，其中1≤m＜4,1≤n＜4，m，n∈N*且m≠n，则该函数为偶函数的概率为________．
[解析]　(m，n)所取的值有6种等可能的结果：(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，使函数为偶函数的(m，n)所取的值有(1,2)，(3,2)，共2种，所以所求概率为＝.
[答案]　


[解题技法]
求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：

[题组训练]
1．(2019·益阳、湘潭调研)已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数，则a2－2＜0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1满足题意，又b∈{3,5}，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是＝.故选C.
2．设平面向量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，记“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　有序数对(m，n)的所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．由a⊥(a－b)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以P(A)＝＝.
3．(2019·武汉部分学校调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　投掷骰子两次，所得的点数a和b满足的关系为
∴a和b的组合有36种，若方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，则Δ＝b2－4a≥0，∴b2≥4a.
当b＝1时，没有a符合条件；当b＝2时，a可取1；当b＝3时，a可取1,2；当b＝4时，a可取1,2,3,4；当b＝5时，a可取1,2,3,4,5,6；当b＝6时，a可取1,2,3,4,5,6.
满足条件的组合有19种，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率P＝，故选C.
4．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则椭圆＋＝1的离心率e>的概率是________．
解析：同时掷两颗骰子，得到的点数所形成的数组共有36种情况，当a>b时，e＝ >⇒2b，符合a>2b的情况有：当b＝1时，有a＝3,4,5,6,4种情况；
当b＝2时，有a＝5,6,2种情况，故共有6种情况，则概率是＝.
同理当a的概率也为.
综上可知，离心率e>的概率为.
答案：


A级——保大分专练
1．(2018·广西五市联考)在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被5整除的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成的两位数有：32,34,52,54,23,25,43,45，共8个，其中能被5整除的两位数有：25,45，共2个，故所求概率P＝＝.
2．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，
∴事件总数有15种．
∵正确的开机密码只有1种，∴所求概率P＝.
3．(2019·榆林质检)从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　从1,2,3,4中任取两个不同的数字构成一个两位数，有12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共12种结果，其中大于30的两位数有31,32,34,41,42,43，共6个，所以这个两位数大于30的概率P＝＝.
4．(2018·衡阳联考)某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　先后投掷两次骰子的结果共有6×6＝36(种)．以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3种，故所求概率为＝.
5．已知集合A＝{－2，－1,1,2,3,4}，集合B＝{－3,1,2}，从集合A中随机选取一个数x，从集合B中随机选取一个数y，则点M(x，y)正好落在平面区域内的概率为
(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　易知总的基本事件共有18种可能，其中满足的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共5种可能，由古典概型的概率计算公式可知所求概率P＝.
6．(2019·武汉部分学校调研)标有数字1,2,3,4,5的卡片各1张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，基本事件的总数n＝5×4＝20，抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的情况有：①第1张抽到2，第2张抽到1；②第1张抽到3，第2张抽到1或2；③第1张抽到4，第2张抽到1或2或3；④第1张抽到5，第2张抽到1或2或3或4.共10种．故抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率P＝＝.
7．(2019·武汉调研)已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1，表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636　6947
1417　4698　0371　6233　2616　8045　6011　3661
9597　7424　7610　4281
据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为________．
解析：∵4次射击中有1次或2次击中目标的有：7140,1417,0371,6011,7610，∴所求概率P＝1－＝.
答案：
8．(2019·安阳模拟)盒中有三张分别标有号码3,4,5的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为奇数的概率为________．
解析：法一：两次抽取的卡片号码有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共9种情况，其中至少有一个是奇数的有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共8种情况，因此所求概率为.
法二：所求事件的对立事件为：两次抽取的卡片号码都为偶数，只有(4,4)这1种取法，而两次抽取的卡片号码有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共9种情况，因此所求事件的概率为1－＝.
答案：
9．(2018·桂林模拟)从正五边形ABCDE的5个顶点中随机选择3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是________．
解析：从正五边形ABCDE的5个顶点中随机选择3个顶点，基本事件总数为10，即ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的个数为5，即△ABD，△ACD，△ACE，△BCE，△BDE，所以以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率P＝＝.
答案：
10．(2018·江门一模)两位教师对一篇初评为“优秀”的作文复评，若批改成绩都是两位正整数，且十位数字都是5，则两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2的概率为________．
解析：用(x，y)表示两位教师的批改成绩，
则(x，y)的所有可能情况有10×10＝100种．
当x＝50时，y可取50,51,52，共3种可能；
当x＝51时，y可取50,51,52,53，共4种可能；
当x＝52,53,54,55,56,57时，y的取法均有5种，共30种可能；
当x＝58时，y可取56,57,58,59，共4种可能；
当x＝59时，y可取57,58,59，共3种可能．
综上可得两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2的情况有44种，则由古典概型的概率公式可得所求概率P＝＝0.44.
答案：0.44
11．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果．
(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．
解：(1)所有可能的摸出结果是{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．
(2)不正确．理由如下：
由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为1－＝＞，故这种说法不正确．
12．设a∈{2,4}，b∈{1,3}，函数f(x)＝ax2＋bx＋1.
(1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；
(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率．
解：(1)由题意，得－≥－1，即b≤a.
而(a，b)可能为(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)，共4种，满足b≤a的有3种，故所求的概率为.
(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．
因为函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b，
所以这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这1组满足，故所求的概率为.

B级——创高分自选

1．(2018·石家庄毕业班摸底)一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y＞x，y＞z时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，其中是“凸数”的是132,142,143,231,241,243,341,342，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为＝，故选B.
2．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x＝的概率是________．
解析：基本事件总数为10，满足方程cos x＝的基本事件为，，，共3个，故所求概率P＝.
答案：
3．(2019·新疆自治区适应性检测)中国共产党第十九次全国代表大会(简称十九大)于2017年10月18日至10月24日在北京召开．“十九大”报告指出：“必须把教育事业放在优先位置，加快教育现代化，办好人民满意的教育”．要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育，办好学前教育、特殊教育和网络教育”．某乡镇属于学前教育的学校有3所，属于特殊教育的学校有1所，属于网络教育的学校有2所．目前每所学校只需招聘1名师范毕业生，现有2名师范毕业生参加应聘，每人只能参加一个学校的应聘且选择学校不能相同．
(1)求他们选择的学校所属教育类别相同的概率；
(2)记ξ为2人中选择的学校属于学前教育或网络教育的人数，求ξ≤1的概率．
解：(1)记某乡镇属于学前教育的3所学校分别为A1，A2，A3，属于特殊教育的1所学校为B，属于网络教育的2所学校分别为C1，C2,2名师范毕业生从6所学校中任选1所学校有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，A3)，(A2，B)，(A2，C1)，(A2，C2)，(A3，B)，(A3，C1)，(A3，C2)，(B，C1)，(B，C2)，(C1，C2)，(A2，A1)，(A3，A1)，(B，A1)，(C1，A1)，(C2，A1)，(A3，A2)，(B，A2)，(C1，A2)，(C2，A2)，(B，A3)，(C1，A3)，(C2，A3)，(C1，B)，(C2，B)，(C2，C1)，共30种，
他们选择的学校所属类别相同的有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A2，A1)，(A3，A1)，(A3，A2)，(C1，C2)，(C2，C1)，共8种，
故他们选择的学校所属类别相同的概率P＝＝.
(2)由题意可知ξ＝0或ξ＝1或ξ＝2.
当ξ＝0时，即2人中选择的学校都属于特殊教育，而特殊教育的学校只有1所，故ξ＝0是一个不可能事件，P(ξ＝0)＝0；
当ξ＝1时，即2人中只有1人选择的学校属于学前教育或网络教育，则必有1人选择特殊教育的1所学校．所有可能的情况有(A1，B)，(A2，B)，(A3，B)，(B，C1)，(B，C2)，(B，A1)，(B，A2)，(B，A3)，(C1，B)，(C2，B)，共10种，
∴P(ξ＝1)＝＝，
∴P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝.