2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第三章第一节导数的概念与运算

第一节导数的概念与运算


一、基础知识批注——理解深一点

1．导数的概念
一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝ .



f′(x)与f′(x0)的区别与联系f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，所以[f′(x0)]′＝0.

2．导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线是指以P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线.
3．函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．
4．导数的运算
(1)几种常见函数的导数
①(C)′＝0(C为常数)；②(xn)′＝nxn－1(n∈Q*)；
③(sin x)′＝cos_x；④(cos x)′＝－sin_x；⑤(ex)′＝ex；
⑥(ax)′＝axln_a(a>0，a≠1)；⑦(ln x)′＝；
⑧(logax)′＝(a>0，a≠1)．
(2)导数的四则运算法则
①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；
②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；
③′＝(v(x)≠0)．
熟记以下结论：
(1)′＝－；
(2)′＝－(f(x)≠0)；
(3)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)；
(4)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．




二、基础小题强化——功底牢一点


(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　)
(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)
(3)因为(ln x)′＝，所以′＝ln x．(　　)
(4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(分母不为零)必可导．若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
(二)选一选
1．下列函数中满足f(x)＝f′(x)的是(　　)
A．f(x)＝3＋x　　　　　 　B．f(x)＝－x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝0
解析：选D　若f(x)＝0，则f′(x)＝0，从而有f(x)＝f′(x)．故选D.
2．曲线y＝＋2在点(1，m)处的切线方程为(　　)
A．y＝2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－4 D．y＝－2x＋3
解析：选D　当x＝1时，y＝＋2＝1.因为y′＝－，所以y′x＝1＝－＝－2，则所求的切线方程为y－1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋3.故选D.
3．下列求导运算正确的是(　　)
A.′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2sin x
解析：选B　′＝x′＋′＝1－；(3x)′＝3xln 3；(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x，故选项B正确．
(三)填一填
4．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.
解析：∵y′＝(ax＋a＋1)ex，
∴当x＝0时，y′＝a＋1，
∴a＋1＝－2，解得a＝－3.
答案：－3

5．(2018·黑龙江大庆实验中学期中)设f′(x)为函数f(x)的导数，f(x)＝x2－2x＋f′(1)，则f(－1)＝________.
解析：由条件知f′(x)＝2x－2，
则f′(1)＝0⇒f(x)＝x2－2x，
故f(－1)＝1＋2＝3.
答案：3


[典例]　求下列函数的导数．
(1)y＝ln x＋；
(2)y＝(2x＋1)·ex；
(3)y＝；
(4)y＝x－sincos.
[解]　(1)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.
(2)y′＝[(2x＋1)·ex]′＝(2x＋1)′·ex＋(2x＋1)·(ex)′＝2ex＋(2x＋1)·ex＝(2x＋3)·ex.
(3)∵＝x＋x，
∴y′＝′＝(x)′＋(x)′＝x－x.
(4)∵y＝x－sincos＝x－sin x，
∴y′＝1－cos x.

[解题技法]
1．导数运算的原则
先化简解析式，再利用导数的运算法则求导．
2．导数运算的常见形式及求解方法
连乘形式
先展开化为多项式的形式，再求导
分式形式
观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
对数形式
先化为和、差的形式，再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式，再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
[提醒]　当函数解析式中含有待定系数(例如f′(x0)，a，b等)，求导时把待定系数看成常数，再根据题意求出即可．
[题组训练]
1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(　　)
A．－e　　　　　　　　 　B．－1
C．1 D．e
解析：选B　由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，
得f′(x)＝2f′(1)＋.
所以f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.
2．求下列函数的导数．
(1)y＝cos x－sin x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝.
解：(1)y′＝(cos x)′－(sin x)′＝－sin x－cos x.
(2)∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)
＝(x2＋3x＋2)(x＋3)
＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝3x2＋12x＋11.
(3)y′＝＝
＝.


考法(一)　求曲线的切线方程
[典例]　(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x　　　　　 　 　B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
[解析]　∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.
又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，
即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，
∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.
[答案]　D

[解题技法]
若已知曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
考法(二)　求切点坐标
[典例]　曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为(　　)
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)
[解析]　f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.
[答案]　C

[解题技法]　求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．


考法(三)　求参数的值(范围)
[典例]　函数f(x)＝ln x＋ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
[解析]　函数f(x)＝ln x＋ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，而f′(x)＝＋a，即＋a＝2在(0，＋∞)上有解，a＝2－在(0，＋∞)上有解，因为x>0，所以2－0，x＝－ln a，代入曲线方程得y＝1－ln a，所以切线方程为y－(1－ln a)＝2(x＋ln a)，即y＝2x＋ln a＋1＝2x＋1⇒a＝1.
6．设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为(　　)
A．(0,0) B．(1，－1)
C．(－1,1) D．(1，－1)或(－1,1)
解析：选D　因为f′(x)＝3x2＋2ax，所以f′(x0)＝3x＋2ax0＝－1.又因为切点P的坐标为(x0，－x0)，所以x＋ax＝－x0.联立两式得解得或所以点P的坐标为(－1,1)或(1，－1)．
7．已知直线y＝－x＋1是函数f(x)＝－·ex图象的切线，则实数a＝________.
解析：设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－·e＝－1，
∴e＝a，又－·e＝－x0＋1，∴x0＝2，a＝e2.
答案：e2
8．(2019·安徽名校联考)已知函数f(x)＝－ax的图象在点(－1，f(－1))处的切线斜率是1，则此切线方程是________．
解析：因为f′(x)＝－－a，所以f′(－1)＝－2－a＝1，所以a＝－3，所以f(x)＝＋3x，所以f(－1)＝－5，则所求切线的方程为y＋5＝x＋1，即x－y－4＝0.
答案：x－y－4＝0
9．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________.
解析：因为y′＝，
所以y′＝－1，由条件知＝－1，
所以a＝－1.
答案：－1
10．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
解析：由y＝x2－ln x，得y′＝2x－(x＞0)，
设点P0(x0，y0)是曲线y＝x2－ln x上到直线y＝x－2的距离最小的点，
则y′|x＝x0＝2x0－＝1，解得x0＝1或x0＝－(舍去)．
∴点P0的坐标为(1,1)．
∴所求的最小距离为＝.
答案：
11．求下列函数的导数．
(1)y＝(1－)；
(2)y＝x·tan x；
(3)y＝.
解：(1)∵y＝(1－)＝－＝x－x，
∴y′＝(x)′－(x)′＝－x－x.
(2)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′
＝tan x＋x·′＝tan x＋x·
＝tan x＋.
(3)y′＝′＝＝－.
12．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围．
解：(1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴当x＝2时，y′min＝－1，此时y＝，
∴斜率最小时的切点为，斜率k＝－1，
∴切线方程为3x＋3y－11＝0.
(2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1，
又∵α∈[0，π)，∴α∈∪.
故α的取值范围为∪.
B级——创高分自选
1.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)
A．－1　　　　　　　 　B．0
C．2 D．4
解析：选B　由题图可知切线过点(0,2)，(3,1)，则曲线y＝f(x)在x＝3处的切线的斜率为－，即f′(3)＝－，又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，所以g′(3)＝1＋3×＝0.
2．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为________．
解析：由f(x)＝x3＋ax＋，得f′(x)＝3x2＋a，f′(0)＝a，f(0)＝，
∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－＝ax.
设直线y－＝ax与曲线g(x)＝－ln x相切于点(x0，－ln x0)，
g′(x)＝－，
∴
将②代入①得ln x0＝，
∴x0＝e，∴a＝－＝－e.
答案：－e
3．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意，得
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，
所以a≠－.
所以a的取值范围为∪.