2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第三章第三节导数与函数的极值、最值

第三节导数与函数的极值、最值

一、基础知识批注——理解深一点
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.

①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点).
②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
(3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
三、基础小题强化——功底牢一点

(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．(　　)
(2)在指定区间上极值可能有多个，也可能一个也没有，最大值最多有1个．(　　)
(3)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)
(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
(二)选一选
1．已知函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点有(　　)

A．1个　　　　　　　 　B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A　导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个．
所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．
2．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)
A．－4 B．－2
C．4 D．2
解析：选D　由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x＜－2或x＞2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.
3．函数y＝在[0,2]上的最大值是(　　)
A. B.
C．0 D.
解析：选A　易知y′＝，x∈[0,2]，令y′≥0，得0≤x≤1；令y′0)，
∴f′(x)＝－＋，令f′(x)＝0，则x＝2.
当00)．
(1)当a＝1，且函数f(x)的图象过点(0,1)时，求函数f(x)的极小值；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围．
解：f′(x)＝3ax2－4x＋1.
(1)函数f(x)的图象过点(0,1)时，有f(0)＝c＝1.
当a＝1时，f(x)＝x3－2x2＋x＋1，f′(x)＝3x2－4x＋1，
由f′(x)>0，解得x1；
由f′(x)