2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第七章　数列与数学归纳法7.4第2课时

第2课时　数列的综合应用
题型一　数列和解析几何的综合问题
例1　(2004·浙江)已知△OBC的三个顶点坐标分别为O(0,0)，B(1,0)，C(0,2)，设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n，Pn＋3为线段PnPn＋1的中点，令Pn的坐标为(xn，yn)，an＝yn＋yn＋1＋yn＋2.
(1)求a1，a2，a3及an的值；
(2)求证：yn＋4＝1－，n∈N*；
(3)若记bn＝y4n＋4－y4n，n∈N*，求证：{bn}是等比数列．
(1)解　因为y1＝y2＝y4＝1，y3＝，y5＝，
所以a1＝a2＝a3＝2，
又由题意可知yn＋3＝，
所以an＋1＝yn＋1＋yn＋2＋yn＋3
＝yn＋1＋yn＋2＋
＝yn＋yn＋1＋yn＋2＝an，
所以{an}为常数列，
所以an＝a1＝2，n∈N*.
(2)证明　将等式yn＋yn＋1＋yn＋2＝2两边除以2得yn＋＝1.
又因为yn＋4＝，
所以yn＋4＝1－，n∈N*.
(3)证明　因为bn＋1＝y4n＋8－y4n＋4
＝－
＝－(y4n＋4－y4n)＝－bn，
又因为b1＝y8－y4＝－≠0，
所以{bn}是首项为－，公比为－的等比数列．
思维升华 利用题目中曲线或直线上点的坐标之间的关系，得到数列的递推关系，然后利用数列的递推关系寻求数列通项，从而求解题目．
跟踪训练1　(2016·浙江)如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(　　)

A．{Sn}是等差数列 B．{S}是等差数列
C．{dn}是等差数列 D．{d}是等差数列
答案　A
解析　作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，…，Cn，
则A1C1∥A2C2∥…∥AnCn.
∵|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|.
设|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝c，
则|A3C3|＝2b－a，…，
|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a (n≥3)，
∴Sn＝c[(n－1)b－(n－2)a]＝c[(b－a)n＋(2a－b)]，
∴Sn＋1－Sn＝c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝c(b－a)，
∴数列{Sn}是等差数列．

题型二　数列与不等式的综合问题


命题点1　可求通项的裂项放缩
例2 已知数列满足＝＋且a1＝4(n∈N*)．
(1)求数列的通项公式；
(2)设bn＝a－an，且Sn为的前n项和，证明：12≤Sn0，
故Sn是关于n的递增数列，
故Sn≥S1＝b1＝a－a1＝12.
当k≥2时，bk＝a－ak＝