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2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第九章平面解析几何9.6
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§9.6 双曲线
最新考纲
考情考向分析
了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系.
主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点.题型为选择、填空题.
1.双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
概念方法微思考
1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？
提示 不一定.
当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；
当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在；
当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
2.方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？
提示 若A>0，B<0，表示焦点在x轴上的双曲线；若A<0，B>0，表示焦点在y轴上的双曲线.所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是AB<0.
3.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，若a>b>0，a＝b>0，00时，e＝(亦称等轴双曲线)，当0.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( × )
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( √ )
(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )
题组二 教材改编
2.[P61T1]若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A. B.5
C. D.2
答案 A
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，
∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
3.[P61A组T3]已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A.x±y＝0 B.x±y＝0
C.x±2y＝0 D.2x±y＝0
答案 A
解析 椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.
4.[P62A组T6]经过点A(4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.
答案 －＝1
解析 设双曲线的方程为－＝±1(a>0)，
把点A(4，1)代入，得a2＝15(舍负)，
故所求方程为－＝1.
题组三 易错自纠
5.已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A.(－1，3) B.(－1，)
C.(0，3) D.(0，)
答案 A
解析 ∵方程－＝1表示双曲线，
∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2
∴－1
A. B. C. D.
答案 D
解析 由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，
即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，
∴25a2＝9c2，∴e＝.故选D.
7.(2018·浙江省镇海中学模拟)双曲线C：y2－＝1的渐近线方程为__________，设双曲线－＝1(a>0，b>0)经过点(4，1)，且与双曲线C具有相同的渐近线，则该双曲线的标准方程为________________.
答案 y＝± －＝1
解析 双曲线y2－＝1的渐近线方程为y＝±x；与y2－＝1具有相同的渐近线的双曲线方程可设为y2－＝m(m≠0)，因为该双曲线经过点(4，1)，所以m＝12－＝－3，即该双曲线的方程为y2－＝－3，即－＝1.
题型一 双曲线的定义
例1 (1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D. 圆
答案 B
解析 如图，连接ON，
由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，∴|MF2|＝2.
∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，∴由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
答案
解析 ∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
∴|PF1|＝2|PF2|＝4，
则cos∠F1PF2＝＝＝.
引申探究
1.本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
解 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.
2.本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
解 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵·＝0，
∴⊥，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，
∴＝|PF1|·|PF2|＝2.
思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
跟踪训练1 (2016·浙江)设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________.
答案 (2，8)
解析 如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，
由对称性不妨设P在右支上，
设|PF2|＝m，
则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，
由于△PF1F2为锐角三角形，
结合实际意义需满足
解得－1＋
∴2<2m＋2<8.
题型二 双曲线的标准方程
例2 (1)(2018·浙江省金华东阳中学期中)△ABC的顶点为A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x>3) D.－＝1(x>4)
答案 C
解析 由条件可得，圆与x轴的切点为T(3，0)，由相切的性质得|CA|－|CB|＝|TA|－|TB|＝8－2＝6<|AB|＝10，因此点C在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
∵2a＝6，2c＝10，
∴a＝3，b＝4，
故顶点C的轨迹方程是－＝1(x>3).
(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：
①虚轴长为12，离心率为；
②焦距为26，且经过点M(0，12)；
③经过两点P(－3，2)和Q(－6，－7).
解 ①设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0).
由题意知，2b＝12，e＝＝，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
②∵双曲线经过点M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
③设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0).
∴
解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
思维升华 求双曲线标准方程的方法
1.定义法
根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：
(1)c2＝a2＋b2；
(2)双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.
2.待定系数法
(1)一般步骤
①判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；
②设：根据①中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程；
③列：根据题意，列出关于a，b，c的方程或者方程组；
④解：求解得到方程.
(2)常见设法
①与双曲线－＝1共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；
②若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；
③若双曲线过两个已知点，则双曲线方程可设为＋＝1(mn<0)；
④与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2
答案 －＝1
解析 由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，
则||PF1|－|PF2||＝8.
由双曲线的定义知，a＝4，b＝3.
故曲线C2的标准方程为－＝1.即－＝1.
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 由y＝x，可得＝.①
由椭圆＋＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程为－＝1.故选B.
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 与渐近线有关的问题
例3 过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，双曲线左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
答案 A
解析 如图所示，连接OA，OB，
设双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，
则C(－a，0)，F(－c，0).
由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，
则∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝×120°＝60°.
因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO为等边三角形，所以∠AOC＝60°.
因为FA与圆O切于点A，所以OA⊥FA，
在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a，
所以b＝＝＝a，
故双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
命题点2 求离心率的值(或范围)
例4 (1)(2018·丽水、衢州、湖州质检)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，满足∠PF2F1＝，连接PF1交y轴于点Q，若|QF2|＝c，则双曲线的离心率是( )
A. B.
C.1＋ D.1＋
答案 C
解析 设O为坐标原点，由题意可得，PF2⊥x轴，OQ∥PF2，所以Q为PF1的中点，易知F2(c，0)，因为|QF2|＝c，所以|OQ|＝c，又|OQ|＝|PF2|，所以|PF2|＝2|OQ|＝2c，所以|PF1|＝2c，根据双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，即2c－2c＝2a，所以e＝＝＝＋1.故选C.
(2)(2018·浙江省绍兴市适应性考试)如图，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，A为虚轴的一个端点.若以A为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点B，且＝t(t∈R)，则该双曲线的离心率为( )
A.2 B.
C. D.
答案 D
解析 由题图知F(－c，0)，A(0，－b)，渐近线方程为y＝±x.由已知得A，B，F三点共线，且AF⊥OB.所以点F到渐近线OB的距离为d＝＝b，|AF|＝，又由△BOF∽△OAF，得|FO|2＝|FB|·|FA|.即c2＝b，即c4＝b2(c2＋b2)，则c4＝(c2－a2)(2c2－a2)，整理得c4－3a2c2＋a4＝0，即e4－3e2＋1＝0，解得e2＝.所以该双曲线的离心率e＝＝＝，故选D.
思维升华 1.求双曲线的渐近线的方法
求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0).
2.求双曲线的离心率
(1)求双曲线的离心率或其范围的方法
①求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
(2)双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k＝＝＝＝.
跟踪训练3 (1)已知点F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.
C. D.
答案 C
解析 由|F1F2|＝2|OP|，可得|OP|＝c，故△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2.
由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，则|PF1|＝2a＋|PF2|，所以(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2，
整理得(|PF2|＋a)2＝2c2－a2.
又|PF1|≥3|PF2|，即2a＋|PF2|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，所以|PF2|＋a≤2a，即2c2－a2≤4a2，可得c≤a.
由e＝，且e>1，可得1
A. B.4 C. D.
答案 A
解析 因为△ABF2为等边三角形，
所以不妨设|AB|＝|BF2|＝|AF2|＝m，
因为A为双曲线右支上一点，
所以|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a，
因为B为双曲线左支上一点，
所以|BF2|－|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，
由∠ABF2＝60°，得∠F1BF2＝120°，
在△F1BF2中，由余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－2·2a·4a·cos 120°，
得c2＝7a2，则e2＝7，
又e>1，所以e＝.故选A.
离心率问题
离心率是椭圆、双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法.
例1 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设左焦点为F0，连接F0A，F0B，
则四边形AFBF0为平行四边形.
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.
设M(0，b)，则M到直线l的距离d＝≥，∴1≤b<2.
离心率e＝＝＝＝∈，
故选A.
例2 (2018·浙江省绿色评价联盟高考适应性考试)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为( )
A.－1 B.
C. D.＋1
答案 C
解析 由对称性不妨设点P在第一象限，如图，
由题意设△PF1F2的内切圆切三边于G，D，E三点，则|PG|＝|PE|，|GF1|＝|DF1|，|EF2|＝|DF2|.又|PF1|－|PF2|＝2a，则|GF1|－|EF2|＝|DF1|－|DF2|＝2a，设D(x0，0)，则x0＋c－(c－x0)＝2a，即x0＝a，所以切点D为双曲线的右顶点，∴|PF1|＝|GP|＋|GF1|＝＋|DF1|＝＋c＋a＝＋c，|PF2|＝|PE|＋|EF2|＝＋|DF2|＝＋c－a＝c－，在Rt△PF1F2中，由勾股定理得2＋2＝(2c)2，整理得4c2－4ac－5a2＝0，则4e2－4e－5＝0，解得离心率e＝(舍负)，故选C.
1.(2018·浙江)双曲线－y2＝1的焦点坐标是( )
A.(－，0)，(，0) B.(－2，0)，(2，0)
C.(0，－)，(0，) D.(0，－2)，(0，2)
答案 B
解析 ∵双曲线方程为－y2＝1，
∴a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在x轴上，
∴c＝＝＝2，
即该双曲线的焦点坐标为(－2，0)，(2，0).
故选B.
2.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.x±y＝0 B.x±y＝0
C.x±y＝0 D.2x±y＝0
答案 C
解析 ∵双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
又∵离心率e＝＝2，
∴c＝2a，∴b＝＝a.
由此可得双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，
即x±y＝0.故选C.
3.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 D
解析 不妨设B(0，b)，由＝2，F(c，0)，
可得A，代入双曲线C的方程可得×－＝1，即·＝，
∴＝.①
又||＝＝4，c2＝a2＋b2，
∴a2＋2b2＝16，②
由①②可得a2＝4，b2＝6，
∴双曲线C的方程为－＝1，故选D.
4.设F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2＝9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 D
解析 连接PF2，OT，则有|MO|＝|PF2|＝(|PF1|－2a)＝(|PF1|－6)＝|PF1|－3，|MT|＝·|PF1|－|F1T|＝|PF1|－＝|PF1|－4，于是有|MO|－|MT|＝－＝1，故选D.
5.已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使＝e，则·的值为( )
A.3 B.2 C.－3 D.－2
答案 B
解析 由题意及正弦定理得＝＝e＝2，
∴|PF1|＝2|PF2|，
由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
又|F1F2|＝4，
由余弦定理可知cos∠PF2F1＝＝＝，
∴·＝||·||·cos∠PF2F1
＝2×4×＝2.故选B.
6.已知双曲线－＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则△APF周长的最小值为( )
A.4＋ B.4(1＋)
C.2(＋) D.＋3
答案 B
解析 由题意知F(，0)，设左焦点为F0，则F0(－，0)，由题可知△APF的周长l为|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝＋＋2×2＝4＋4＝4(＋1)，当且仅当A，F0，P三点共线时取得“＝”，故选B.
7.已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是( )
A.32 B.16 C.84 D.4
答案 B
解析 由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.
8.已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的范围是( )
A. B.
C.(1，2) D.(2，＋∞)
答案 A
解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为(a，0)，半径r＝a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c21，所以双曲线C1的离心率的取值范围为，故选A.
9.双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为，则该双曲线的标准方程为__________，渐近线方程为____________.
答案 －＝1 y＝±x
解析 由2a＝4，＝，得a＝2，c＝2，b＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1，渐近线方程为y＝±x.
10.已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等于________.
答案 4
解析 由题意知a＝1，
由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，
∴|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|.
由题意知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|，
∴|BA|＝|BF1|，∵△BAF1为等腰三角形，∠F1AF2＝45°，∴∠ABF1＝90°，
∴△BAF1为等腰直角三角形.
∴|BA|＝|BF1|＝|AF1|＝×4＝2，
∴＝|BA|·|BF1|＝×2×2＝4.
11.已知焦点在x轴上的双曲线＋＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________.
答案 (0，2)
解析 对于焦点在x轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)，它的焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b.双曲线＋＝1，即－＝1，其焦点在x轴上，则解得4
解 设左焦点为F1，由于双曲线和圆都关于x轴对称，
又△APQ的一个内角为60°，
∴∠PAF＝30°，∠PFA＝120°，|AF|＝|PF|＝c＋a，
∴|PF1|＝3a＋c，在△PFF1中，由余弦定理得
|PF1|2＝|PF|2＋|F1F|2－2|PF||F1F|cos∠F1FP，
即3c2－ac－4a2＝0，即3e2－e－4＝0，∴e＝(舍负).
13.(2018·湖州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，∠AF1B＝90°，△AF1B的内切圆的圆心的纵坐标为a，则双曲线的离心率为( )
A.2 B.3 C. D.
答案 A
解析 设内切圆的圆心M(x，y)，圆M分别切AF1，BF1，AB于S，T，Q，
如图，连接MS，MT，MF1，MQ，
则|F1T|＝|F1S|，故四边形SF1TM是正方形，边长为圆M的半径.由|AS|＝|AQ|，|BT|＝|BQ|，
得|AF1|－|AQ|＝|SF1|＝|TF1|＝|BF1|－|BQ|，
又|AF1|－|AF2|＝|BF1|－|BF2|，
∴Q与F2重合，
∴|SF1|＝|AF1|－|AF2|＝2a，
∴|MF2|＝2a，即(x－c)2＋y2＝4a2，①
|MF1|＝2a，(x＋c)2＋y2＝8a2，②
联立①②解得x＝，y2＝4a2－，又y＝a，
故＝4a2－，得e＝＝2.
14.如图，已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点，过点F1的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与双曲线的左、右两支分别交于A，B，若|F2B|＝|AB|，求b的值.
解 方法一 因为|F2B|＝|AB|，所以结合双曲线的定义，
得|AF1|＝|BF1|－|AB|＝|BF1|－|BF2|＝2，
连接OT，在Rt△OTF1中，|OT|＝1，|OF1|＝c，|TF1|＝b，
所以cos∠F2F1A＝，sin∠F2F1A＝，
所以A，将点A的坐标代入双曲线得－＝1，化简得b6－4b5＋5b4－4b3－4＝0，得(b2－2b－2)(b4－2b3＋3b2－2b＋2)＝0，而b4－2b3＋3b2－2b＋2＝b2(b－1)2＋b2＋1＋(b－1)2>0，故b2－2b－2＝0，解得b＝1±(负值舍去)，即b＝1＋.
方法二 因为|F2B|＝|AB|，所以结合双曲线的定义，得|AF1|＝|BF1|－|AB|＝|BF1|－|BF2|＝2，连接AF2，则|AF2|＝2＋|AF1|＝4.
连接OT，在Rt△OTF1中，|OT|＝1，|OF1|＝c，|TF1|＝b，
所以cos∠F2F1A＝.
在△AF1F2中，由余弦定理得
cos∠F2F1A＝＝，
所以c2－3＝2b，又在双曲线中，c2＝1＋b2，
所以b2－2b－2＝0，解得b＝1±(负值舍去)，
即b＝1＋.
15.(2018·浙江省联盟学校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且交双曲线的右支于A，B两点，记△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1∶r2＝3∶1，则直线l的斜率为( )
A.±1 B.± C.± D.±2
答案 C
解析 方法一 当A在第一象限时，如图1，
设△AF1F2的内切圆⊙O1分别切AF1，F1F2，F2A于点Q，P，N，
则|AQ|＝|AN|，|F1Q|＝|F1P|，|F2P|＝|F2N|，
又|AF1|－|AF2|＝2a，
即(|AQ|＋|F1Q|)－(|AN|＋|F2N|)＝2a，
∴|F1Q|－|F2N|＝2a，
∴|F1F2|－|F2P|－|F2N|＝2a，即2c－2|F2P|＝2a，
∴|F2P|＝c－a，
∴P为双曲线的右顶点，
同理，△BF1F2的内切圆⊙O2也切F1F2于双曲线的右顶点，
连接O1P，O2P，则O1，P，O2三点共线，且O1O2⊥F1F2.
连接O1F2，O2F2，又O1F2平分∠F1F2A，O2F2平分∠F1F2B，
∴∠O1F2O2＝90°，
∴Rt△O1F2P∽Rt△F2O2P∽Rt△O1O2F2，
∴|O1F2|2＝|O1P|·|O1O2|，|O2F2|2＝|O2P|·|O1O2|，
∴＝＝＝3，
则tan∠O2O1F2＝＝，
∴∠O2O1F2＝30°，则∠O1F2P＝60°，∴∠AF2P＝120°，
∴kAB＝.由对称性可得A在第四象限时，kAB＝－.
综上，直线l的斜率为±.
方法二 当A在第一象限时，如图2，
设△AF1F2的内切圆⊙O1分别切AF1，F1F2，F2A于点Q，P，N，则|AQ|＝|AN|，|F1Q|＝|F1P|，|F2P|＝|F2N|，又|AF1|－|AF2|＝2a，即(|AQ|＋|F1Q|)－(|AN|＋|F2N|)＝2a，∴|F1Q|－|F2N|＝2a，
∴|F1F2|－|F2P|－|F2N|＝2a，即2c－2|F2P|＝2a，∴|F2P|＝c－a，∴P为双曲线的右顶点，同理，△BF1F2的内切圆⊙O2也切F1F2于双曲线的右顶点，连接O1P，O2P，则O1，P，O2三点共线，且O1O2⊥F1F2.设⊙O2切BF2于点H，连接O1N，O2H，则在直角梯形O2HNO1中，|O2H|＝r2，|O1N|＝r1＝3r2，|O1O2|＝r1＋r2＝4r2，作O2T⊥O1N于点T，则|O1T|＝r1－r2＝2r2，故在Rt△O1O2T中，∠O2O1T＝60°，∴∠AF2P＝120°，∴kAB＝.
由对称性可得A在第四象限时，kAB＝－.
综上，直线l的斜率为±.
16.(2018·浙江省杭州地区四校联考)已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P(在第一象限)在双曲线的右支上，直线PF2的倾斜角为120°，△PF1F2的面积S＝(a2＋b2)，求双曲线C的离心率.
解 方法一 设P(x0，y0)，易知|F1F2|＝2c，c＝，
所以△PF1F2的面积S＝×2c×|y0|＝c2，
解得|y0|＝c.
因为直线PF2的倾斜角为120°，所以|PF2|＝＝c.
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2－2|PF2|·|F1F2|cos∠PF2F1＝c2＋(2c)2－2×c×2c×cos 60°＝3c2，所以|PF1|＝c.
由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝c－c＝(－1)c，
所以双曲线的离心率e＝＝＝＋1.
方法二 设P(x0，y0)，易知|F1F2|＝2c，c＝，
所以△PF1F2的面积S＝×2c×|y0|＝c2，
解得|y0|＝c.
因为直线PF2的倾斜角为120°，
所以x0＝c－＝，所以P.
由点P在双曲线上可得－＝1，
整理得c4－8c2a2＋4a4＝0，即e4－8e2＋4＝0，
解得e2＝4＋2或e2＝4－2.
因为e>1，所以e2＝4＋2，所以e＝＝＋1.
最新考纲
考情考向分析
了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系.
主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点.题型为选择、填空题.
1.双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
概念方法微思考
1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？
提示 不一定.
当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；
当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在；
当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
2.方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？
提示 若A>0，B<0，表示焦点在x轴上的双曲线；若A<0，B>0，表示焦点在y轴上的双曲线.所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是AB<0.
3.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，若a>b>0，a＝b>0，0
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( × )
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( √ )
(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )
题组二 教材改编
2.[P61T1]若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A. B.5
C. D.2
答案 A
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，
∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
3.[P61A组T3]已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A.x±y＝0 B.x±y＝0
C.x±2y＝0 D.2x±y＝0
答案 A
解析 椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.
4.[P62A组T6]经过点A(4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.
答案 －＝1
解析 设双曲线的方程为－＝±1(a>0)，
把点A(4，1)代入，得a2＝15(舍负)，
故所求方程为－＝1.
题组三 易错自纠
5.已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A.(－1，3) B.(－1，)
C.(0，3) D.(0，)
答案 A
解析 ∵方程－＝1表示双曲线，
∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2
∴－1
A. B. C. D.
答案 D
解析 由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，
即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，
∴25a2＝9c2，∴e＝.故选D.
7.(2018·浙江省镇海中学模拟)双曲线C：y2－＝1的渐近线方程为__________，设双曲线－＝1(a>0，b>0)经过点(4，1)，且与双曲线C具有相同的渐近线，则该双曲线的标准方程为________________.
答案 y＝± －＝1
解析 双曲线y2－＝1的渐近线方程为y＝±x；与y2－＝1具有相同的渐近线的双曲线方程可设为y2－＝m(m≠0)，因为该双曲线经过点(4，1)，所以m＝12－＝－3，即该双曲线的方程为y2－＝－3，即－＝1.
题型一 双曲线的定义
例1 (1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D. 圆
答案 B
解析 如图，连接ON，
由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，∴|MF2|＝2.
∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，∴由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
答案
解析 ∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
∴|PF1|＝2|PF2|＝4，
则cos∠F1PF2＝＝＝.
引申探究
1.本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
解 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.
2.本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
解 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵·＝0，
∴⊥，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，
∴＝|PF1|·|PF2|＝2.
思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
跟踪训练1 (2016·浙江)设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________.
答案 (2，8)
解析 如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，
由对称性不妨设P在右支上，
设|PF2|＝m，
则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，
由于△PF1F2为锐角三角形，
结合实际意义需满足
解得－1＋
∴2<2m＋2<8.
题型二 双曲线的标准方程
例2 (1)(2018·浙江省金华东阳中学期中)△ABC的顶点为A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x>3) D.－＝1(x>4)
答案 C
解析 由条件可得，圆与x轴的切点为T(3，0)，由相切的性质得|CA|－|CB|＝|TA|－|TB|＝8－2＝6<|AB|＝10，因此点C在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
∵2a＝6，2c＝10，
∴a＝3，b＝4，
故顶点C的轨迹方程是－＝1(x>3).
(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：
①虚轴长为12，离心率为；
②焦距为26，且经过点M(0，12)；
③经过两点P(－3，2)和Q(－6，－7).
解 ①设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0).
由题意知，2b＝12，e＝＝，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
②∵双曲线经过点M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
③设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0).
∴
解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
思维升华 求双曲线标准方程的方法
1.定义法
根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：
(1)c2＝a2＋b2；
(2)双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.
2.待定系数法
(1)一般步骤
①判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；
②设：根据①中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程；
③列：根据题意，列出关于a，b，c的方程或者方程组；
④解：求解得到方程.
(2)常见设法
①与双曲线－＝1共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；
②若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；
③若双曲线过两个已知点，则双曲线方程可设为＋＝1(mn<0)；
④与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2
答案 －＝1
解析 由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，
则||PF1|－|PF2||＝8.
由双曲线的定义知，a＝4，b＝3.
故曲线C2的标准方程为－＝1.即－＝1.
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 由y＝x，可得＝.①
由椭圆＋＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程为－＝1.故选B.
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 与渐近线有关的问题
例3 过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，双曲线左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
答案 A
解析 如图所示，连接OA，OB，
设双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，
则C(－a，0)，F(－c，0).
由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，
则∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝×120°＝60°.
因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO为等边三角形，所以∠AOC＝60°.
因为FA与圆O切于点A，所以OA⊥FA，
在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a，
所以b＝＝＝a，
故双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
命题点2 求离心率的值(或范围)
例4 (1)(2018·丽水、衢州、湖州质检)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，满足∠PF2F1＝，连接PF1交y轴于点Q，若|QF2|＝c，则双曲线的离心率是( )
A. B.
C.1＋ D.1＋
答案 C
解析 设O为坐标原点，由题意可得，PF2⊥x轴，OQ∥PF2，所以Q为PF1的中点，易知F2(c，0)，因为|QF2|＝c，所以|OQ|＝c，又|OQ|＝|PF2|，所以|PF2|＝2|OQ|＝2c，所以|PF1|＝2c，根据双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，即2c－2c＝2a，所以e＝＝＝＋1.故选C.
(2)(2018·浙江省绍兴市适应性考试)如图，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，A为虚轴的一个端点.若以A为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点B，且＝t(t∈R)，则该双曲线的离心率为( )
A.2 B.
C. D.
答案 D
解析 由题图知F(－c，0)，A(0，－b)，渐近线方程为y＝±x.由已知得A，B，F三点共线，且AF⊥OB.所以点F到渐近线OB的距离为d＝＝b，|AF|＝，又由△BOF∽△OAF，得|FO|2＝|FB|·|FA|.即c2＝b，即c4＝b2(c2＋b2)，则c4＝(c2－a2)(2c2－a2)，整理得c4－3a2c2＋a4＝0，即e4－3e2＋1＝0，解得e2＝.所以该双曲线的离心率e＝＝＝，故选D.
思维升华 1.求双曲线的渐近线的方法
求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0).
2.求双曲线的离心率
(1)求双曲线的离心率或其范围的方法
①求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
(2)双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k＝＝＝＝.
跟踪训练3 (1)已知点F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.
C. D.
答案 C
解析 由|F1F2|＝2|OP|，可得|OP|＝c，故△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2.
由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，则|PF1|＝2a＋|PF2|，所以(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2，
整理得(|PF2|＋a)2＝2c2－a2.
又|PF1|≥3|PF2|，即2a＋|PF2|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，所以|PF2|＋a≤2a，即2c2－a2≤4a2，可得c≤a.
由e＝，且e>1，可得1
A. B.4 C. D.
答案 A
解析 因为△ABF2为等边三角形，
所以不妨设|AB|＝|BF2|＝|AF2|＝m，
因为A为双曲线右支上一点，
所以|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a，
因为B为双曲线左支上一点，
所以|BF2|－|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，
由∠ABF2＝60°，得∠F1BF2＝120°，
在△F1BF2中，由余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－2·2a·4a·cos 120°，
得c2＝7a2，则e2＝7，
又e>1，所以e＝.故选A.
离心率问题
离心率是椭圆、双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法.
例1 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设左焦点为F0，连接F0A，F0B，
则四边形AFBF0为平行四边形.
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.
设M(0，b)，则M到直线l的距离d＝≥，∴1≤b<2.
离心率e＝＝＝＝∈，
故选A.
例2 (2018·浙江省绿色评价联盟高考适应性考试)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为( )
A.－1 B.
C. D.＋1
答案 C
解析 由对称性不妨设点P在第一象限，如图，
由题意设△PF1F2的内切圆切三边于G，D，E三点，则|PG|＝|PE|，|GF1|＝|DF1|，|EF2|＝|DF2|.又|PF1|－|PF2|＝2a，则|GF1|－|EF2|＝|DF1|－|DF2|＝2a，设D(x0，0)，则x0＋c－(c－x0)＝2a，即x0＝a，所以切点D为双曲线的右顶点，∴|PF1|＝|GP|＋|GF1|＝＋|DF1|＝＋c＋a＝＋c，|PF2|＝|PE|＋|EF2|＝＋|DF2|＝＋c－a＝c－，在Rt△PF1F2中，由勾股定理得2＋2＝(2c)2，整理得4c2－4ac－5a2＝0，则4e2－4e－5＝0，解得离心率e＝(舍负)，故选C.
1.(2018·浙江)双曲线－y2＝1的焦点坐标是( )
A.(－，0)，(，0) B.(－2，0)，(2，0)
C.(0，－)，(0，) D.(0，－2)，(0，2)
答案 B
解析 ∵双曲线方程为－y2＝1，
∴a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在x轴上，
∴c＝＝＝2，
即该双曲线的焦点坐标为(－2，0)，(2，0).
故选B.
2.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.x±y＝0 B.x±y＝0
C.x±y＝0 D.2x±y＝0
答案 C
解析 ∵双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
又∵离心率e＝＝2，
∴c＝2a，∴b＝＝a.
由此可得双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，
即x±y＝0.故选C.
3.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 D
解析 不妨设B(0，b)，由＝2，F(c，0)，
可得A，代入双曲线C的方程可得×－＝1，即·＝，
∴＝.①
又||＝＝4，c2＝a2＋b2，
∴a2＋2b2＝16，②
由①②可得a2＝4，b2＝6，
∴双曲线C的方程为－＝1，故选D.
4.设F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2＝9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 D
解析 连接PF2，OT，则有|MO|＝|PF2|＝(|PF1|－2a)＝(|PF1|－6)＝|PF1|－3，|MT|＝·|PF1|－|F1T|＝|PF1|－＝|PF1|－4，于是有|MO|－|MT|＝－＝1，故选D.
5.已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使＝e，则·的值为( )
A.3 B.2 C.－3 D.－2
答案 B
解析 由题意及正弦定理得＝＝e＝2，
∴|PF1|＝2|PF2|，
由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
又|F1F2|＝4，
由余弦定理可知cos∠PF2F1＝＝＝，
∴·＝||·||·cos∠PF2F1
＝2×4×＝2.故选B.
6.已知双曲线－＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则△APF周长的最小值为( )
A.4＋ B.4(1＋)
C.2(＋) D.＋3
答案 B
解析 由题意知F(，0)，设左焦点为F0，则F0(－，0)，由题可知△APF的周长l为|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝＋＋2×2＝4＋4＝4(＋1)，当且仅当A，F0，P三点共线时取得“＝”，故选B.
7.已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是( )
A.32 B.16 C.84 D.4
答案 B
解析 由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.
8.已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的范围是( )
A. B.
C.(1，2) D.(2，＋∞)
答案 A
解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为(a，0)，半径r＝a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得
9.双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为，则该双曲线的标准方程为__________，渐近线方程为____________.
答案 －＝1 y＝±x
解析 由2a＝4，＝，得a＝2，c＝2，b＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1，渐近线方程为y＝±x.
10.已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等于________.
答案 4
解析 由题意知a＝1，
由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，
∴|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|.
由题意知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|，
∴|BA|＝|BF1|，∵△BAF1为等腰三角形，∠F1AF2＝45°，∴∠ABF1＝90°，
∴△BAF1为等腰直角三角形.
∴|BA|＝|BF1|＝|AF1|＝×4＝2，
∴＝|BA|·|BF1|＝×2×2＝4.
11.已知焦点在x轴上的双曲线＋＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________.
答案 (0，2)
解析 对于焦点在x轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)，它的焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b.双曲线＋＝1，即－＝1，其焦点在x轴上，则解得4
解 设左焦点为F1，由于双曲线和圆都关于x轴对称，
又△APQ的一个内角为60°，
∴∠PAF＝30°，∠PFA＝120°，|AF|＝|PF|＝c＋a，
∴|PF1|＝3a＋c，在△PFF1中，由余弦定理得
|PF1|2＝|PF|2＋|F1F|2－2|PF||F1F|cos∠F1FP，
即3c2－ac－4a2＝0，即3e2－e－4＝0，∴e＝(舍负).
13.(2018·湖州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，∠AF1B＝90°，△AF1B的内切圆的圆心的纵坐标为a，则双曲线的离心率为( )
A.2 B.3 C. D.
答案 A
解析 设内切圆的圆心M(x，y)，圆M分别切AF1，BF1，AB于S，T，Q，
如图，连接MS，MT，MF1，MQ，
则|F1T|＝|F1S|，故四边形SF1TM是正方形，边长为圆M的半径.由|AS|＝|AQ|，|BT|＝|BQ|，
得|AF1|－|AQ|＝|SF1|＝|TF1|＝|BF1|－|BQ|，
又|AF1|－|AF2|＝|BF1|－|BF2|，
∴Q与F2重合，
∴|SF1|＝|AF1|－|AF2|＝2a，
∴|MF2|＝2a，即(x－c)2＋y2＝4a2，①
|MF1|＝2a，(x＋c)2＋y2＝8a2，②
联立①②解得x＝，y2＝4a2－，又y＝a，
故＝4a2－，得e＝＝2.
14.如图，已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点，过点F1的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与双曲线的左、右两支分别交于A，B，若|F2B|＝|AB|，求b的值.
解 方法一 因为|F2B|＝|AB|，所以结合双曲线的定义，
得|AF1|＝|BF1|－|AB|＝|BF1|－|BF2|＝2，
连接OT，在Rt△OTF1中，|OT|＝1，|OF1|＝c，|TF1|＝b，
所以cos∠F2F1A＝，sin∠F2F1A＝，
所以A，将点A的坐标代入双曲线得－＝1，化简得b6－4b5＋5b4－4b3－4＝0，得(b2－2b－2)(b4－2b3＋3b2－2b＋2)＝0，而b4－2b3＋3b2－2b＋2＝b2(b－1)2＋b2＋1＋(b－1)2>0，故b2－2b－2＝0，解得b＝1±(负值舍去)，即b＝1＋.
方法二 因为|F2B|＝|AB|，所以结合双曲线的定义，得|AF1|＝|BF1|－|AB|＝|BF1|－|BF2|＝2，连接AF2，则|AF2|＝2＋|AF1|＝4.
连接OT，在Rt△OTF1中，|OT|＝1，|OF1|＝c，|TF1|＝b，
所以cos∠F2F1A＝.
在△AF1F2中，由余弦定理得
cos∠F2F1A＝＝，
所以c2－3＝2b，又在双曲线中，c2＝1＋b2，
所以b2－2b－2＝0，解得b＝1±(负值舍去)，
即b＝1＋.
15.(2018·浙江省联盟学校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且交双曲线的右支于A，B两点，记△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1∶r2＝3∶1，则直线l的斜率为( )
A.±1 B.± C.± D.±2
答案 C
解析 方法一 当A在第一象限时，如图1，
设△AF1F2的内切圆⊙O1分别切AF1，F1F2，F2A于点Q，P，N，
则|AQ|＝|AN|，|F1Q|＝|F1P|，|F2P|＝|F2N|，
又|AF1|－|AF2|＝2a，
即(|AQ|＋|F1Q|)－(|AN|＋|F2N|)＝2a，
∴|F1Q|－|F2N|＝2a，
∴|F1F2|－|F2P|－|F2N|＝2a，即2c－2|F2P|＝2a，
∴|F2P|＝c－a，
∴P为双曲线的右顶点，
同理，△BF1F2的内切圆⊙O2也切F1F2于双曲线的右顶点，
连接O1P，O2P，则O1，P，O2三点共线，且O1O2⊥F1F2.
连接O1F2，O2F2，又O1F2平分∠F1F2A，O2F2平分∠F1F2B，
∴∠O1F2O2＝90°，
∴Rt△O1F2P∽Rt△F2O2P∽Rt△O1O2F2，
∴|O1F2|2＝|O1P|·|O1O2|，|O2F2|2＝|O2P|·|O1O2|，
∴＝＝＝3，
则tan∠O2O1F2＝＝，
∴∠O2O1F2＝30°，则∠O1F2P＝60°，∴∠AF2P＝120°，
∴kAB＝.由对称性可得A在第四象限时，kAB＝－.
综上，直线l的斜率为±.
方法二 当A在第一象限时，如图2，
设△AF1F2的内切圆⊙O1分别切AF1，F1F2，F2A于点Q，P，N，则|AQ|＝|AN|，|F1Q|＝|F1P|，|F2P|＝|F2N|，又|AF1|－|AF2|＝2a，即(|AQ|＋|F1Q|)－(|AN|＋|F2N|)＝2a，∴|F1Q|－|F2N|＝2a，
∴|F1F2|－|F2P|－|F2N|＝2a，即2c－2|F2P|＝2a，∴|F2P|＝c－a，∴P为双曲线的右顶点，同理，△BF1F2的内切圆⊙O2也切F1F2于双曲线的右顶点，连接O1P，O2P，则O1，P，O2三点共线，且O1O2⊥F1F2.设⊙O2切BF2于点H，连接O1N，O2H，则在直角梯形O2HNO1中，|O2H|＝r2，|O1N|＝r1＝3r2，|O1O2|＝r1＋r2＝4r2，作O2T⊥O1N于点T，则|O1T|＝r1－r2＝2r2，故在Rt△O1O2T中，∠O2O1T＝60°，∴∠AF2P＝120°，∴kAB＝.
由对称性可得A在第四象限时，kAB＝－.
综上，直线l的斜率为±.
16.(2018·浙江省杭州地区四校联考)已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P(在第一象限)在双曲线的右支上，直线PF2的倾斜角为120°，△PF1F2的面积S＝(a2＋b2)，求双曲线C的离心率.
解 方法一 设P(x0，y0)，易知|F1F2|＝2c，c＝，
所以△PF1F2的面积S＝×2c×|y0|＝c2，
解得|y0|＝c.
因为直线PF2的倾斜角为120°，所以|PF2|＝＝c.
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2－2|PF2|·|F1F2|cos∠PF2F1＝c2＋(2c)2－2×c×2c×cos 60°＝3c2，所以|PF1|＝c.
由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝c－c＝(－1)c，
所以双曲线的离心率e＝＝＝＋1.
方法二 设P(x0，y0)，易知|F1F2|＝2c，c＝，
所以△PF1F2的面积S＝×2c×|y0|＝c2，
解得|y0|＝c.
因为直线PF2的倾斜角为120°，
所以x0＝c－＝，所以P.
由点P在双曲线上可得－＝1，
整理得c4－8c2a2＋4a4＝0，即e4－8e2＋4＝0，
解得e2＝4＋2或e2＝4－2.
因为e>1，所以e2＝4＋2，所以e＝＝＋1.
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