2020版数学（理）人教A版新设计大一轮讲义：第八章第3节圆与方程

 第3节　圆与方程
考试要求　掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.

知 识 梳 理
1.圆的定义和圆的方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.
[微点提醒]
1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.
2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　)
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.(　　)
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.(　　)
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)
解析　(2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆.
(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜或m＞1时表示圆.
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

2.(必修2P124A1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　)
A.(2，3)，3 B.(－2，3)，
C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)，
解析　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.
答案　D
3.(必修2P130例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)
A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析　设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
答案　C

4.(2019·日照调研)若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－1，1) 　　 B.(0，1)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) 　　 D.a＝±1
解析　因为点(1，1)在圆的内部，
所以(1－a)2＋(1＋a)22，所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是－2.
(2)因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝的圆.设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故
解得故A′(－4，－2).
连接A′C交圆C于Q，由对称性可知
|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2.
答案　(1)－2　(2)2
考点三　与圆有关的轨迹问题
【例3】 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
解　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y).
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2).
(2)设PQ的中点为N(x，y).
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为
x2＋y2－x－y－1＝0.
规律方法　求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；
(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
【训练3】 已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.
解　(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，
所以圆C1的圆心坐标为(3，0).
(2)设M(x，y)，
因为点M为线段AB的中点，
所以C1M⊥AB，
所以kC1M·kAB＝－1，当x≠3时可得·＝－1，整理得＋y2＝，
又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立.
设直线l的方程为y＝kx，与x2＋y2－6x＋5＝0联立，
消去y得：(1＋k2)x2－6x＋5＝0.
令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝，此时方程为x2－6x＋5＝0，解上式得x＝，因此0)，则A(0，a).
又F(1，0)，所以＝(－1，0)，＝(1，－a).
由题意得与的夹角为120°，
得cos 120°＝＝－，解得a＝.
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.
答案　(x＋1)2＋(y－)2＝1
14.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.
解　(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0).
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则

解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
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15.(多填题)已知实数x，y满足x2＋y2－6x＋8y－11＝0，则的最大值为__________，|3x＋4y－28|的最小值为__________.
解析　由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝36，其表示的是一个圆心为(3，－4)，半径为6的圆，而表示圆上的点到坐标原点的距离，∴()max＝＋6＝11，由圆的标准方程(x－3)2＋(y＋4)2＝36可设其圆上点的坐标为(θ为参数)，∴|3x＋4y－28|＝|18cos θ＋24sin θ－35|＝|30sin(θ＋φ)－35|，∴当sin(θ＋φ)＝1时，|3x＋4y－28|min＝5.
答案　11　5