2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第十六章选修4第14课　简单图形的极坐标方程

第14课__简单图形的极坐标方程____

　基础诊断　

1. 在极坐标系中，已知两点A，B，则AB中点的极坐标为________.

2. 在极坐标系中，已知两点P，Q，则线段PQ的长度为________．

3. 已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos，则该圆的半径r＝________ ，圆心的极坐标为__________．

4. 点A关于极点的对称点的极坐标是________，关于极轴的对称点极坐标是________，关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________. (其中ρ>0，0<θ<2π)

　范例导航　

　　例1　(1) 在极坐标系中，求过点P(4，－)且与极轴垂直的直线的极坐标方程；

(2) 在极坐标系中，求过点P且与极轴平行的直线的极坐标方程．

在极坐标系中，已知点P到极点O的距离等于它到点Q(2，0)的距离，求动点P的轨迹的极坐标方程．

　　例2　在极坐标系中，已知圆C的圆心C的极坐标为，半径r＝3，求圆C的极坐标方程．

已知点P的极坐标为，求以点P为圆心且过极点的圆的极坐标方程．

　　例3　已知两个圆的极坐标方程分别是ρ＝6cosθ和ρ＝8sinθ，求这两个圆的圆心距．

　自测反馈　

1. 设曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ，则C1，C2的交点的极坐标为________.

2. 极坐标方程ρ2cos2θ＝16表示的曲线是______________．

3. 已知抛物线的极坐标方程为ρ＝，则此抛物线的准线的极坐标方程为________．

4. 点M到直线ρcos＝2上的点的距离的最小值为________．

1. 要正确理解点的极坐标的概念，曲线的极坐标方程的概念，注意与直角坐标系的区别和联系．

2. 在处理问题的过程中，要选择恰当的坐标系，也可以将题目所给的坐标系进行转化，以便于问题的处理．

3. 你还有哪些体悟，写下来：

第14课　简单图形的极坐标方程

　基础诊断　

1. 　解析：设AB中点的极坐标为(ρ，θ)，则θ＝＝，ρ＝6×cos＝3，故AB中点的极坐标为.

2. 6　解析：点P化为直角坐标为点P(5cos，5sin)即点P.同理点Q的直角坐标为，所以PQ＝＝6.

3. 2　　解析：圆C的极坐标方程为ρ＝4cos，即ρ2＝4×ρ(cosθ＋sinθ)，化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，化为圆的标准方程为(x－)2＋(y－)2＝4，所以半径r＝2，圆心为(，)，化为极坐标为.

4. 　　　解析：因为ρ>0，0<θ<2π，所以点A关于极点对称的点的θ＝＋π＝，极坐标为；点A关于极轴对称的点的θ＝2π－＝，极坐标为；点A关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的θ＝π－＝，极坐标为.

　范例导航　

例1　解析：(1) 点P在直角坐标系下的坐标为(－2，－2)，则过点P(－2，－2)且与x轴垂直的直线方程为x＝－2，即为ρcosθ＝－2.

(2) 点P在直角坐标系下的坐标为(0，2)，则过点P(0，2)且与x轴平行的直线方程为y＝2，即为ρsinθ＝2.

解析：点P的轨迹是过点(1，0)且垂直于极轴的直线，其方程为ρcosθ＝1.

【注】 在极坐标系下，曲线极坐标方程的求法与在直角坐标系下曲线方程求法类似地，也有定义法、直接法、相关点法等．

(1) 如何求曲线的极坐标方程？本题是利用定义法．

(2) 本题也可先化为直角坐标求出直线方程再还原为直线的极坐标方程．

例2　解析：圆心C在直角坐标系的坐标为，所以圆C的方程为＋＝9，化为一般式为x2－3x＋＋y2－3y＋＝9，即x2＋y2＝3x＋3y，所以圆C的极坐标方程为ρ＝6cos.

解析：点P在直角坐标系的坐标为(0，2)，由此可得圆P的半径r＝2，则圆P的方程为x2＋(y－2)2＝4，化为一般式为x2＋y2＝4y，则圆P的极坐标方程为ρ＝4sinθ.

例3　解析：ρ＝6cosθ表示以点(3，0)为圆心，3为半径的圆，ρ＝8sinθ表示以点(0，4)为圆心，4为半径的圆，所以这两个圆的圆心距为5.

【注】 本题在极坐标系下可直接利用两个圆的位置关系求解，也可以化为直角坐标方程．

　自测反馈　

1. 　解析：曲线C1：ρcosθ＝3化为直角坐标方程为x＝3，曲线C2：ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，又因为ρ≥0，0≤θ<，所以C1，C2的交点为(3，)，所以交点化为极坐标.

2. 双曲线x2－y2＝16　解析：方程ρ2cos2θ＝16，ρ2(cos2θ－sin2θ)＝16可化为直角坐标方程x2－y2＝16.

3. ρcos θ＝－4　解析：由ρ＝得ρ－ρcos θ＝4，即－x＝4，化简得y2＝8x＋16，其准线方程为x＝－4，所以准线的极坐标方程为ρcos θ＝－4.

4. 2　解析：点M化为直角坐标为(2，2)，直线ρcos＝2化为直角方程为x＋y－4＝0，所以点M到直线的距离的最小值为2.