2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第十六章选修4第10课　几种常见的平面变换

第10课__几种常见的平面变换____

　基础诊断　

1. 指出由下列矩阵确定的变换分别对应什么变换．

①，②，③，

④，⑤，⑥，

⑦，⑧，⑨，⑩.

恒等变换有________；伸压变换有________；反射变换有________；旋转变换有________；投影变换有________；切变变换有________．

2. 点(－1，k)在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为(－2，－4)，则m＋k＝________．

3. 旋转中心为坐标原点，且顺时针方向旋转的旋转变换的矩阵为________________．

4. 求曲线y＝在矩阵作用下变换所得的图形对应的曲线方程．

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　　例1　计算：.

计算：(1) ；(2) .

　　例2　已知a，b∈R，若M＝所对应的变换TM把直线l：3x－2y＝1变换为自身，试求a，b的值．

在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＋y＋2＝0在矩阵M＝对应的变换作用下得到直线l′：3x＋y＋8＝0，求3a＋b的值．

　　例3　二阶矩阵M对应变换将点(1，－1)与点(－2，1)分别变换成点(5，7)与点(－3，6)．

(1) 求矩阵M；

(2) 若直线l在此变换下所得直线的解析式l′：11x－3y－68＝0，求直线l的方程．

　自测反馈　

1. 求将曲线y2＝x绕原点逆时针旋转90°后所得的曲线方程．

2. 设矩阵M＝(其中a>0，b>0)，若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M对应的变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a＋b的值．

3. 已知直线l：ax－y＝0在矩阵A＝对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点(1，1)，求实数a的值．

1. 理解六种变换的含义，特别值得一提的问题：投影变换是一一映射吗？

2. 在某个确定矩阵变换下求变换后的曲线一般方法是什么？已知变换前的曲线和变换后的曲线如何确定变换的矩阵？

3. 你还有哪些体悟，写下来：

第10课　几种常见的平面变换

　基础诊断　

1. ⑧　②⑥　③⑦⑨　①　⑤⑩　④

评注：掌握恒等、伸压、反射、旋律、投影、切变变换的矩阵，不必死记，要从几何变换的角度去理解记忆．

2. －2　解析：＝，则解得所以m＋k＝－2.

3. 　解析：顺时针方向旋转，相当于逆时针方向旋转－，代入＝.　

4. 解析：设点(x，y)是曲线y＝上的任意一点，在矩阵的作用下点变换成(x′，y′)，则＝，所以即

因为点(x，y)在曲线y＝上，

所以x′＝，即x＝，所以y＝x2，x≥0.

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例1　解析：＝，几何意义：由计算结果可知变换前后点的横坐标不变，纵坐标相反，这是关于x轴对称的反射变换．

解析：(1) ＝，变换前后点的横、纵坐标交换，这是关于直线y＝x对称的反射变换．

(2) ＝＝，此变换保持点的纵坐标不变，横坐标按纵坐标的一倍减少，这是沿x轴负方向的切变变换．

例2　解析：在直线l上的任取一点P(x，y)，设点P在TM的变换下变为点P′(x′，y′)，则＝，所以点P′(－x＋ay，bx＋3y)．

因为点P′在直线l上，

所以3(－x＋ay)－2(bx＋3y)＝1，

即(－3－2b)x＋(3a－6)y＝1.

又因为方程(－3－2b)x＋(3a－6)y＝1即为直线l的方程3x－2y＝1，

所以解得

解析：设点P(x，y)是直线l上的任意一点，P′(x′，y′)是点P在矩阵对应变换下所得曲线上的点，则由＝，得代入3x′＋y′＋8＝0，得(3a＋b)x＋4y＋8＝0，因为x＋y＋2＝0，所以3a＋b＝4.

例3　解析：(1) 不妨设M＝，则由题意得＝，＝，

所以故M＝.

(2) 取直线l上的任意一点(x，y)，其在M作用下变换成对应点(x′，y′)，则

＝＝，

即

代入11x′－3y′－68＝0，得x－y－4＝0，

即直线l的方程为x－y－4＝0.

　自测反馈　

1. 解析：由题意得旋转变换矩阵M＝＝，

设P(x0，y0)为曲线y2＝x上的任意一点，变换后变为另一点(x，y)，则＝，

即所以

又因为点P(x0，y0)在曲线y2＝x上，

所以y＝x0，故(－x)2＝y，

即y＝x2为所求的曲线方程．

2. 解析：设曲线C：x2＋y2＝1上的任意一点P(x，y)，在矩阵M对应的变换作用下得到点P1(x1，y1)，则

＝，即

又点P1(x1，y1)在曲线C′：＋y2＝1上，

所以＋y＝1，则＋b2y2＝1.

又曲线C的方程为x2＋y2＝1，故a2＝4，b2＝1.

因为a>0，b>0，所以a＝2，b＝1，所以a＋b＝3.

3. 解析：设P(x，y)为直线l上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为直线l′上的点P′(x′，y′)，则＝，化简，得

代入ax－y＝0，整理，得－(2a＋1)x′＋ay′＝0.

将点(1，1)代入上述方程，解得a＝－1.