2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：第4章第1节 平面向量的概念及线性运算
展开第章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节 平面向量的概念及线性运算
[考纲传真] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．
(6)向量平行或共线：如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线，规定零向量与任一向量平行．
2．向量的线性运算
向量运算 | 定义 | 法则(或几何意义) | 运算律 |
加法 | 求两个向量和的运算 | 三角形法则 平行四边形法则 | (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) |
减法 | 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 | 三角形法则 | a－b＝a＋(－b) |
数乘 | 求实数λ与向量a的积的运算 | (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 | λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb |
3.向量共线的判定定理和性质定理
(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa.
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
3.＝x＋y(x，y为实数)，若点A，B，C共线，则x＋y＝1.
4．△ABC中，＋＋＝0⇔点P为△ABC的重心．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量． ( )
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c． ( )
(3)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件． ( )
(4)△ABC中，D是BC的中点，则＝(＋)． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论错误的是( )
A．＝ B．与共线
C．与是相反向量 D．＝||
D [选项D中，＝，故D错误．]
3．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [由a＋b＝0得a＝－b，根据向量共线定理知a∥b，但a∥bDa＋b＝0，故选A．]
4．(教材改编)如图，▱ABCD的对角线交于M，若＝a，＝b，用a，b表示为( )
A．a＋b B．a－b
C．－a－b D．－a＋b
D [＝＝＝＝－a＋b，故选D．]
5．(教材改编)化简：
(1)(＋)＋＋＝________.
(2)＋＋－＝________.
(1) (2)0 [(1)原式＝＋＋＋＝.
(2)原式＝＋＝0.]
平面向量的有关概念 |
1．给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；
③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A [①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．
②是正确的，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．
③是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
④是错误的，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．]
2．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
D [向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.]
[规律方法] 辨析向量有关概念的五个关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量是长度都是一个单位长度的向量．
(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．
平面向量的线性运算 |
【例1】 (1)在四边形ABCD中，＝，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则( )
A．＝＋ B．＝＋
C．＝＋ D．＝＋
(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
(1)B (2) [(1)在四边形ABCD中，如图所示，因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．由已知得＝，由题意知△DEF∽△BEA，则＝，所以＝＝(－)＝×＝，所以＝＋＝＋＝＋，故选B．
(2)＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.]
[规律方法] 向量的线性运算的求解方法
(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
(1)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A．＝－＋ B．＝－
C．＝＋ D．＝－
(2)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.
(1)A (2) － [(1)因为＝3，
所以＝，
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.故选A．
(2)由题中条件得，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－.]
共线向量定理的应用 |
【例2】 设两个非零向量a与b不共线，
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[解] (1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴，共线，又∵它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b和a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是两个不共线的非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
[规律方法] 共线向量定理的3个应用
(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb(b≠0)，则a与b共线．
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
(1)已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则( )
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
(2)(2019·黄山模拟)已知向量a，b是两个不共线的向量，若向量m＝4a＋b与n＝a－λb共线，则实数λ的值为( )
A．－4 B．－ C． D．4
(1)B (2)B [(1)∵＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，∴，共线，又有公共点B，
∴A，B，D三点共线．故选B．
(2)由题意知m＝kn，即4a＋b＝k(a－λb)．
∴解得故选B．]
1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A．－ B．－
C．＋ D．＋
A [由题可得＝＋＝－(＋)＋＝－，故选A．]
2．(2014·全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )
A． B．
C． D．
C [如图，＋＝＋＋＋
＝＋＝(＋)
＝·2＝.]
3．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
[∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，
即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得]
