2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第10章第2节 二项式定理
展开第二节 二项式定理
[考纲传真] 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2．二项式系数的性质
性质 | 性质描述 | |
对称性 | 与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C | |
增减性 | 二项式 系数C | 当k<(n∈N*)时，二项式系数是递增的 |
当k>(n∈N*)时，二项式系数是递减的 | ||
最大值 | 当n为偶数时， 中间的一项取得最大值 | |
当n为奇数时，中间的两项和相等，同时取得最大值 | ||
1．C＋C＋C＋…＋C＝2n.
2．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项． ( )
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项． ( )
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关． ( )
(4)通项Tk＋1＝Can－kbk中的a和b不能互换． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(教材改编)(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为( )
A．6 B．－6
C．24 D．－24
A [(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为C＝6.故选A.]
3．(教材改编)二项式的展开式中x3y2的系数是( )
A．5 B．－20
C．20 D．－5
A [二项式5的通项为Tr＋1＝C (－2y).根据题意，得
解得r＝2.所以x3y2的系数是C×(－2)2＝5.故选A.]
4．(教材改编)的值为( )
A．1 B．2
C．2 019 D．2 019×2 020
B [原式＝＝＝1.故选A.]
5．(1＋x)n的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n＝________.
10 [∵T6＝Cx5，又仅有第6项的系数最大，∴n＝10.]
二项展开式的有关问题 |
【例1】 (1)(x2＋2)的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
(2)(2018·广州二模)的展开式中，x3y3的系数是________．(用数字作答)
(1)D (2)－120 [(1)能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取x2项，第二个因式取项得x2××C(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得2×(－1)5×C＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3，故选D.
(2)表示6个因式x2－＋y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－，即可得到x3y3的系数．即x3y3的系数是CC×(－2)＝20×3×(－2)＝－120.]
[规律方法] 求二项展开式中的特定项的方法,求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围k＝0，1，2，…，n.
1第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；
2常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；
3有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.,特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.
4求特定项或特定项的系数要多从组合的角度求解，一般用通项公式太麻烦.
(1)若的展开式中常数项为，则实数a的值为( )
A．±2 B.
C．－2 D．±
(2)已知在的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项分别是________．
(1)A (2)x2，－，x－2 [(1)的展开式的通项为Tr＋1＝，令12－3r＝0，得r＝4.故C·＝，即＝，解得a＝±2.故选A.
(2)由Tr＋1＝r
＝.
∵第6项为常数项，∴r＝5时有＝0，即n＝10.
当时，即r＝2,5,8时∈Z，
所以展开式中的有理项分别为x2，－，x－2.]
二项式系数的性质及应用 |
►考法1 二项式系数的和
【例2】 (1)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为( )
A．50 B．70
C．90 D．120
(2)(2019·汕头质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．
(1)C (2)－3或1 [(1)令x＝1，则n＝4n，所以n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项Tr＋1＝Cx5－rr＝C3rx5－r，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C32＝90，故选C.
(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，
∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，
∴m＝－3或m＝1.]
►考法2 二项式系数的性质
【例3】 设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
B [根据二项式系数的性质知，(x＋y)2m的二项式系数最大的项有一项，即C＝a，(x＋y)2m＋1的二项式系数最大的项有两项，即C＝C＝b.又13a＝7b，所以13C＝7C，将各选项中m的取值逐个代入验证，知m＝6满足等式．]
[规律方法] 1.“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如ax＋bn，ax2＋bx＋cma，b，c∈R的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.
2.若fx＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则fx展开式中各项系数之和为f1，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝
(1)若的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．
(2)已知的展开式中的二项式系数和为32，的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为________．
(1)255 (2)40 [(1)n展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C(x2)n－k·
＝C(－1)kx2n－3k，
当k＝5时，2n－3k＝1，∴n＝8.
对(1－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256.
又当x＝0时，a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a8＝255.
(2)的展开式中的二项式系数和为32，所以2n＝32，所以n＝5.令x＝1，得的展开式中的各项系数的和为(1＋a)(2－1)5＝2，所以a＝1，所以的展开式中的常数项为C·(－1)3·25－3＋C·(－1)2·25－2＝40.]
1．(2017·全国卷Ⅰ)(1＋x)6展开式中x2的系数为( )
A．15 B．20 C．30 D．35
C [因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋x)6展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.
因为C＋C＝2C＝2×＝30，
所以(1＋x)6展开式中x2的系数为30.
故选C.]
2．(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2项的系数为( )
A．10 B．20 C．30 D．60
C [法一：利用二项展开式的通项公式求解．
(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2项的系数为CC＝30.故选C.
法二：利用组合知识求解．
(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.]
