2020高考数学（文）新创新大一轮复习通用版讲义：第一章第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第三节 简单的逻辑联结词、
全称量词与存在量词


1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2.理解全称量词与存在量词的意义．
3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.

突破点一　简单的逻辑联结词


命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
简记为“p∧q两真才真，一假则假；p∨q一真则真，两假才假；綈p与p真假相反”．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(　　)
(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(　　)
(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
二、填空题
1．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：∈(A∪B)，则命题“綈p”是________________．
答案：∈(∁UA)∩(∁UB)
2．“p∨q”为真是“p∧q”为真的____________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”)．
答案：必要不充分
3．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为____________．
解析：因为“p∧q”为假，“綈q”为假，所以q为真，p为假．
故即
因此，x的值可以是－1,0,1,2.
答案：{－1,0,1,2}


考法一　含逻辑联结词复合命题的真假判断　
[例1]　(2019·唐山五校联考)已知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；命题q：∃x∈R，|x＋1|≤x，则(　　)
A．(綈p)∨q为真命题　　　 B．p∧(綈q)为假命题
C．p∧q为真命题 D．p∨q为真命题
[解析]　由题意可知命题p是真命题．因为|x＋1|≤x的解集为空集，所以命题q是假命题，所以p∨q为真命题，故选D.
[答案]　D
[方法技巧]
判断含逻辑联结词复合命题真假的步骤
(1)定结构：确定复合命题的构成形式．
(2)辨真假：判断其中简单命题的真假性．
(3)下结论：依据真值表判断复合命题的真假．　　
考法二　根据复合命题的真假求参数　
[例2]　(2019·山西五校联考)已知p：关于x的不等式ax>1(a>0且a≠1)的解集是{x|x>0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．
[解析]　若关于x的不等式ax>1(a>0且a≠1)的解集为{x|x>0}，则a>1；若函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，则解得a>.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，则或即0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
解析：选D　由指数函数的性质知命题p为真命题．易知x>1是x>2的必要不充分条件，所以命题q是假命题．由复合命题真值表可知p∧(綈q)是真命题，故选D.
2.已知命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点；命题q：函数y＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p∧(綈q)为真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，2]
C．(1,2] D．(－∞，1]∪(2，＋∞)
解析：选C　对于命题p，令f(0)·f(1)0，则綈p是______________．
答案：∃x0∈R，ex0－x0－1≤0
2．命题p：∃x0∈R，x＋2x0＋50，>0”的否定是(　　)
A．∃x0≥0，≤0　　　　　
B．∃x0>0,0≤x0≤1
C．∀x>0，≤0
D．∀x0，使得ln x>0”的否定为(　　)
A．∀x>0，均有ln x≤0
B．∀x≤0，均有ln x≤0
C．∀x>0，均有ln x0，均有ln x≤0
[解析]　(1)∵>0，∴x1，
∴>0的否定是0≤x≤1，
∴命题的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”．故选B.
(2)根据特称命题的否定是全称命题，则命题“∃x>0，使得ln x>0”的否定为：∀x>0，均有ln x≤0.故选A.
[答案]　(1)B　(2)A
[方法技巧]
全(特)称命题进行否定的方法
(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；
(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．
[提醒]　对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．　　
考法二　全(特)称命题的真假判断　
[例2]　(2019·西安质检)下列命题中，真命题是(　　)
A．∃x0∈R，sin2＋cos2＝
B．∀x∈(0，π)，sin x>cos x
C．∃x0∈R，x＋x0＝－2
D．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1
[解析]　∀x∈R，均有sin2＋cos2＝1，故A是假命题；
当x∈时，sin x≤cos x，故B是假命题；
∵方程x2＋x＋2＝0对应的判别式Δ＝1－80恒成立，
则f(x)为增函数，故f(x)>f(0)＝0，
即∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1.故选D.
[答案]　D
[方法技巧]　　全(特)称命题真假的判断方法
全称命题
(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；
(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可
特称命题
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题
考法三　根据全(特)称命题的真假求参数　
[例3]　(2019·长沙模拟)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(4，＋∞) B．(0,4]
C．(－∞，4] D．[0,4)
[解析]　当原命题为真命题时，a>0且Δ4，故当原命题为假命题时，a≤4.故选C.
[答案]　C
[方法技巧]
根据全(特)称命题的真假求参数的思路
与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．　　

1.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定形式是(　　)
A．∃x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2
C．∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2
D．∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2
解析：选C　根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2”．故选C.
2.下列命题中的假命题是(　　)
A．∃x0∈R，lg x0＝0 B．∃x0∈R，tan x0＝0
C．∀x∈R,3x>0 D．∀x∈R，x2>0
解析：选D　当x0＝1时，lg x0＝0，当x0＝0时，tan x0＝0，因此∃x0＝1，lg x0＝0；∃x0＝0，tan x0＝0；∀x∈R,3x>0；∀x∈R，x2≥0，所以D为假命题．故选D.
3.已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则(　　)
A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
解析：选B　∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题，綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故应选B.
4.已知命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0) B．[0,4]
C．[4，＋∞) D．(0,4)
解析：选D　因为命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定为“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a