2020届高考数学一轮复习新课改省份专用学案：第五章第一节平面向量的概念及线性运算

第五章  平面向量、复数第一节　平面向量的概念及线性运算突破点一　平面向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量，平面向量可自由平移零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)(2)若a与b不相等，则a与b一定不可能都是零向量．(　　)答案：(1)×　(2)√二、填空题1．如果对于任意的向量a，均有a∥b，则b为________．答案：零向量2．若e是a的单位向量，则a与e的方向________．解析：∵e＝，∴e与a的方向相同．答案：相同3．△ABC中，点D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，在以A，B，C，D，E，F为端点的有向线段所表示的向量中，与共线的向量有________个．答案：7个 1．(2018·海淀期末)下列说法正确的是(　　)A．方向相同的向量叫做相等向量B．共线向量是在同一条直线上的向量C．零向量的长度等于0D．∥就是所在的直线平行于所在的直线解析：选C　长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确；显然C正确；当∥时，所在的直线与所在的直线可能重合，故D不正确．2．(2019·辽宁实验中学月考)有下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若||＝||，则四边形ABCD是平行四边形；③若m＝n，n＝k，则m＝k；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中，假命题的个数是(　　)A．1　　　　　　　　　 B．2C．3  D．4解析：选C　对于①，|a|＝|b|，a，b的方向不确定，则a，b不一定相等，所以①错误；对于②，若||＝||，则，的方向不一定相同，所以四边形ABCD不一定是平行四边形，②错误；对于③，若m＝n，n＝k，则m＝k，③正确；对于④，若a∥b，b∥c，则b＝0时，a∥c不一定成立，所以④错误．综上，假命题的是①②④，共3个，故选C.3．(2019·赣州崇义中学模拟)向量与共线是A，B，C，D四点共线的(　　)A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件解析：选B　由A，B，C，D四点共线，得向量与共线，反之不成立，可能AB∥CD，所以向量与共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件，故选B.关于平面向量的3个易错提醒(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．突破点二　平面向量的线性运算1．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μ a)＝(λ μ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb2.平面向量共线定理向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.3．向量的中线公式及三角形的重心(1)向量的中线公式：若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝(＋)．(2)三角形的重心：已知平面内不共线的三点A，B，C，＝(＋＋)⇔G是△ABC的重心．特别地，＋＋＝0⇔P为△ABC的重心．一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件．(　　)(2)△ABC中，D是BC的中点，则＝(＋)．(　　)答案：(1)×　(2)√二、填空题1．在如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝________.答案： 2．化简：(－)－(－)＝________.解析：(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.答案：03．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为________．答案：－ 考法一　平面向量的线性运算　应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可．(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”；(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”；(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．[例1]　(1)(2019·湖北咸宁联考)如图，在△ABC中，点M为AC的中点，点N在AB上，＝3，点P在MN上，＝2，那么＝(　　)A.－　　　　 B.－C.－   D.＋(2)如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝(　　)A．1  B．2C．3  D．4[解析]　(1)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋.故选D.(2)根据图形，由题意可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋＝＋.因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3.[答案]　(1)D　(2)C[方法技巧]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较、观察可知所求．　　  考法二　平面向量共线定理的应用　求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔＝(1－t)·＋t (O为平面内任一点，t∈R)．[例2]　(1)(2019·南昌莲塘一中质检)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是(　　)A．λμ＝1  B．λμ＝－1C．λ－μ＝－1  D．λ＋μ＝2(2)(2019·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为________．[解析]　(1)∵与有公共点A，∴若A，B，C三点共线，则存在一个实数t使＝t，即λa＋b＝ta＋μtb，则消去参数t得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，＝a＋b，此时存在实数使＝，故和共线．∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线．故选A.(2)由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得＝λ.又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，又e1与e2不共线，所以解得k＝－.[答案]　(1)A　(2)－[方法技巧]　　平面向量共线定理的3个应用证明向量共线对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线证明三点共线若存在实数λ，使＝λ，与有公共点A，则A，B，C三点共线求参数的值利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值1.在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)A.＋   B.＋C.＋   D.＋ 解析：选B　因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋，故选B.2.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　　)A．1  B.C.  D.解析：选D　由题意易得＝＋＝＋，则2＝＋，即＝＋.故λ＋μ＝＋＝.3.设两个非零向量a与b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．解：(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，∴，共线，又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，∴∴k2－1＝0.∴k＝±1.