2019版高考数学（理）创新大一轮人教A全国通用版讲义：第十二章推理与证明、算法、复数第3节

第3节　数学归纳法及其应用
最新考纲　1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

知 识 梳 理
1.数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
2.数学归纳法的框图表示

[常用结论与微点提醒]
1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.
2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法.
3.解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证n＝1时结论成立.(　　)
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(　　)
(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.(　　)
(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.(　　)
解析　对于(1)，有的证明问题第一步并不是验证n＝1时结论成立，如证明凸n边形的内角和为(n－2)·180°，第一步要验证n＝3时结论成立，所以(1)不正确；对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一项.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.(选修2－2P99B1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.
答案　C
3.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，应得到(　　)
A.1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1
B.1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1
C.1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
D.1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
解析　观察可知等式的左边共n项，故n＝k＋1时，应得到1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1.
答案　D
4.用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是(　　)
A.(k＋1)2＋2k2 B.(k＋1)2＋k2
C.(k＋1)2 D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1]
解析　由n＝k到n＝k＋1时，左边增加(k＋1)2＋k2.
答案　B
5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真.
解析　由于步长为2，所以2k－1后一个奇数应为2k＋1.
答案　2k＋1


考点一　利用数学归纳法证明等式
【例1】 用数学归纳法证明：
＋＋＋…＋＝(n∈N*).
证明　(1)当n＝1时，
等式左边＝＝，
等式右边＝＝，
等式左边＝等式右边，所以等式成立.
(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有
＋＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋
＝＝＝
＝.
所以当n＝k＋1时，等式也成立，
由(1)(2)可知，对于一切n∈N*，等式都成立.
规律方法　用数学归纳法证明等式应注意的两个问题
(1)要弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值.
(2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.
【训练1】 设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*).求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*).
证明　(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，
右边＝2＝1，左边＝右边，等式成立.
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，
即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，当n＝k＋1时，
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)
＝k[f(k)－1]＋f(k)
＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)·－k
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，
∴当n＝k＋1时结论仍然成立.
由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*).
考点二　利用数学归纳法证明不等式(典例迁移)
【例2】 (经典母题)已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求证：当n∈N*时，an0，
所以ak＋1，则其一般结论为________.
解析　观察规律可知f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，…，故得一般结论为f(2n)>(n≥2，n∈N*).
答案　f(2n)>(n≥2，n∈N*)
8.设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n>4时，f(n)＝________(用n表示).
解析　由题意知f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数.
所以f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，
猜测得出f(n)－f(n－1)＝n－1(n≥4).
有f(n)－f(3)＝3＋4＋…＋(n－1)，
所以f(n)＝(n＋1)(n－2).
答案　5　(n＋1)(n－2)
三、解答题
9.用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝(n∈N*).
证明　(1)当n＝1时，左边＝＝，
右边＝＝，
左边＝右边，等式成立.
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立.
即＋＋…＋＝，
当n＝k＋1时，
左边＝＋＋…＋＋
＝＋
＝
＝，
右边＝＝，
左边＝右边，等式成立.
即对所有n∈N*，原式都成立.
10.已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)，且点P1的坐标为(1，－1).
(1)求过点P1，P2的直线l的方程；
(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上.
(1)解　由题意得a1＝1，b1＝－1，
b2＝＝，a2＝1×＝，∴P2.
∴直线l的方程为＝，即2x＋y－1＝0.
(2)证明　①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立.
②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，2ak＋bk＝1成立.
则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝·(2ak＋1)＝＝＝1，
∴当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝1也成立.
由①②知，对于n∈N*，都有2an＋bn＝1，
即点Pn在(1)中的直线l上.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”.那么，下列命题总成立的是(　　)
A.若f(1)2，则n＝k＋1时，ak＋1＝>＝2，所以n＝k＋1时，结论成立.
故由①②及数学归纳法原理，知对一切的n∈N*，都有an>2成立.
(2)解　{an}是单调递减的数列.
因为a－a＝an＋2－a＝－(an－2)(an＋1)，又an>2，
所以a－a