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    2020版高考数学一轮复习课时作业67《 几何概型》(含解析) 练习

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    课时作业67 几何概型一、选择题1.(2019·合肥市质量检测)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻,时长均为5分钟,则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台,能听到新闻的概率是( D )A.     B.  C.     D.解析:由题意可知,该广播电台在一天内播放新闻的时长为24×2×5240分钟,即4个小时,所以所求的概率为,故选D.2.(2019·福州四校联考)如图,在圆心角为90°的扇形AOB中,以圆心O为起点在上任取一点C作射线OC,则使得AOCBOC都不小于30°的概率是( A )A.   B.C.   D.解析:记事件T作射线OC,使得AOCBOC都不小于30°,如图,记的三等分点为MN,连接OMON,则AONBOMMON30°,则符合条件的射线OC应落在扇形MON中,所以P(T),故选A. 3.已知菱形ABCD的边长为4ABC150°,若在菱形内任取一点,则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为( D )A.    B.1       C.    D.1解析:P1.4.已知正棱锥S­ABC的底面边长为4,高为3,在正棱锥内任取一点P,使得VP­ABC<VS­ABC的概率是( B )A.   B.C.   D.解析:如图,由题意知,当点P在三棱锥的中截面以下时,满足VP­ABC<VS­ABC,故使得VP­ABC<VS­ABC的概率P13.5.(2019·潍坊市统一考试)如图,六边形ABCDEF是一个正六边形,若在正六边形内任取一点,则该点恰好在图中阴影部分的概率是( C )A.   B.C.   D.解析:设正六边形的中心为点OBDAC交于点GBC1,则BGCGBGC120°,在BCG中,由余弦定理得1BG2BG22BG2cos120°,得BG,所以SBCG×BG×BG×sin120°×××,因为S六边形ABCDEFSBOC×6×1×1×sin60°×6,所以该点恰好在图中阴影部分的概率是1.6. (2019·湖北八校联考)201781是中国人民解放军建军90周年纪念日,中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示的是一枚8 g圆形金质纪念币,直径22 mm,面额100.为了测算图中军旗部分的面积,现向硬币内随机投掷100粒芝麻,已知恰有30粒芝麻落在军旗内,据此可估计军旗的面积是( B )A. mm2   B. mm2C. mm2   D. mm2解析:设军旗的面积为a mm2,则有,解得a,故选B.7.中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅勾股弦方图,通过数形结合,给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在勾股弦方图中,以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成,这一图形被称作赵爽弦图.cos2BAE,则在正方形ABCD内随机取一点,该点恰好在正方形EFGH内的概率为( D )A.     B.     C.     D.解析:如题图所示,正方形EFGH的边长为AEAHab,正方形ABCD的边长为.由题意知cos2BAE2cos2BAE12×1,解得9a216b2,即ab,则该点恰好在正方形EFGH内的概率为.故选D.二、填空题8.已知函数ycosxx[],则cosx的概率是.解析:cosx2kπx2kπkZ,又x[],所以满足条件的x[,-][],故所求概率P.9.已知圆C(x2)2y22,直线lykx,其中k[]上的任意一个数,则事件直线l与圆C相离发生的概率为1.解析:当直线l与圆C相离时,圆心C到直线l的距离d>,解得k>1k<1,又k[],所以-k<11<k,故事件直线l与圆C相离发生的概率P.10.平面区域A1{(xy)|x2y2<4xyR}A2{(xy)||x||y|3xyR}.A2内随机取一点,则该点不在A1内的概率为1.解析:分别画出区域A1A2,如图中圆内部分和正方形及其内部所示,根据几何概型可知,所求概率为1.11.如图,正四棱锥S­ABCD的顶点都在球面上,球心O在平面ABCD上,在球O内任取一点,则这点取自正四棱锥内的概率为.解析:设球的半径为R,则所求的概率为P.12.在区间上随机取一个数x,则sinxcosx[1]的概率是( B )A.  B.  C.  D.解析:因为x,所以x,由sinxcosxsinx[1],得sin1,所以x,故要求的概率为.13.(2019·辽宁五校联考)a[1,6],则函数y在区间[2,+)上单调递增的概率是( C )A.  B.  C.  D.解析:函数yx在区间(0)上单调递减,在区间(,+)上单调递增,而1a61.要使函数y在区间[2,+)上单调递增,则2,得1a4P(1a4),故选C.14.(2019·南宁、柳州联考)老师计划在晚自习19002000解答同学甲、乙的问题,预计解答完一个学生的问题需要20分钟.若甲、乙两人在晚自习的任意时刻去问问题是互不影响的,则两人独自去时不需要等待的概率为( B )A.  B.  C.  D.解析:设甲、乙两人分别在晚上1900xy分钟后去问问题,则依题意知,xy应满足作出该不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,则所求概率P.故选B.15.(2019·常州八校联考)已知函数f(x)x2txtxRf(x)>0,函数g(x)3x22(t1)xt,则ab(0,1),使得g(a)g(b)0为真命题的概率是( C )A.  B.  C.  D.解析:函数f(x)x2txtxRf(x)>0对于x2txt0Δt24t<00<t<4.ab(0,1),使得g(a)g(b)0为真命题,解得0<t<1ab(0,1),使得g(a)g(b)0为真命题的概率是.16.已知事件在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使APB的最大边是AB发生的概率为,则.解析:在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使APB的最大边是AB为事件M,试验的全部结果构成线段CD,由对称性,可取CD的中点为E,研究PBAB的长度关系.PBAB时,P点位置为P0,因为APB的最大边是AB发生的概率为,所以,设ADyABx,则DExP0EDExP0Cxxx,因为P0C2BC2P0B2AB2,所以2y2x2,即x2y2x2,所以y2x2yx,所以,即.  

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