2020届高考数学一轮复习课时训练：第10章 计数原理 54(含解析)

【课时训练】第54节　二项式定理

一、选择题

1.(20 17 河南开封一模)5的展开式中常数项是(　　)

A.－5  B.5  C.－10  D.10

答案为：C

解析：5的展开式的通项为Tr＋1=C·5－r·r=(－1)rC·2r·x，当r=1时，Tr＋1为常数项，即T2=－C·2=－10.

2.(20 17辽宁葫芦岛二模)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n=(　　)

A.6  B.7  C.8  D.9

答案为：B

解析：(1＋3x)n的展开式中含x5的项为C(3x)5=C35x5，展开式中含x6的项为C36x6.由两项的系数相等得C·35=C·36，解得n=7.

3.(2018 山西忻州模拟)若二项式n展开式中的第5项是常数，则自然数n的值为(　　)

A.6  B.10  C.12  D.15

答案为：C

解析：由二项式n展开式的第5项C·()n－44=16C·x－6是常数项，可得－6=0，解得n=12.

4.(2018山西四校联考)已知(1＋x)10=a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8=(　　)

A.－5  B.5  C.90  D.180

答案为：D

解析：∵(1＋x)10=[2－(1－x)]10=a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10·(1－x)10，∴a8=C·22=180.

5.(2018河南商丘二模)若(1＋mx)6=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6=63，则实数m的值为(　　)

A.1或3  B.－3  C.1  D.1或－3

答案为：D

解析：令x=0，得a0=(1＋0)6=1.令x=1，得(1＋m)6=a0＋a1＋a2＋…＋a6.又a1＋a2＋a3＋…＋a6=63，∴(1＋m)6=64=26，∴m=1或－3.

6.(2018 江西九江模拟)组合式C－2C＋4CC＋…＋(－2)nC的值等于(　　)

A.(－1)n  B.1  C.3n  D.3n－1

答案为：A

解析：由(1＋x)n=C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn中，令x=－2，得原式=(1－2)n=(－1)n.

7.(2018 山东济南调研)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　　)

A.－40  B.－20  C.20  D.40

答案为：D

解析：令x=1，依题意得(1＋a)(2－1)5=2，∴a=1，又5的展开式通项Tr＋1=(－1)rC·25－r·x5－2r，

∴5展开式中的常数项为C(－1)3·22＋C(－1)2·23=40.

二、填空题

8.(2018郑州质量预测)二项式6的展开式中，含x2项的系数是________.

答案为：60

解析：由二项展开式的通项公式得Tr＋1=Cx6－r·r=Cx6－2r(－2)r，令6－2r=2，得r=2，所以x2的系数为C(－2)2=60.

9.(2018广州模拟)10展开式中的常数项为180，则a=________.

答案为：±2

解析：10展开式的通项为C()10－r·r=arCx5－r，令5－r=0，得r=2，又a2C=180，故a=±2.

10.(2018 河北定州中学月考)设4的展开式中x2的系数为m，则直线y=x与曲线y=x2所围成的图形的面积为________.

答案为：

解析：4的展开式的通项为Tr＋1=Cxr－4·x2r=Cx3r－4，令3r－4=2，得r=2，则m=C=6.又直线y=2x与曲线y=x2的交点坐标为(0,0)和(2,4)，则它们所围成的图形的面积S=0(2x－x2)dx==.,三、解答题,11.(2018湖北七市联考)已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.

(1)求n的值；

(2)求展开式中的常数项.

【解】(1)由题意得C＋C＋C＋…＋C=256，

∴2n=256，解得n=8.

(2)该二项展开式中的第r＋1项为

Tr＋1=C()8－r·r=C·x，

令=0，得r=2，此时，常数项为T3=C=28.

12.(2018广西桂林模拟)已知n.

(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；

(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.

【解】(1)∵C＋C=2C，∴n2－21n＋98=0.

∴n=7或n=14，当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.∴T4的系数为C4·23=，

T5的系数为C3·24=70，

当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.

∴T8的系数为C7·27=3 432.

(2)∵C＋C＋C=79，∴n2＋n－156=0.

∴n=12或n=－13(舍去).设第r＋1项的系数最大，

∵12=12(1＋4x)12，

∴

∴9.4≤r≤10.4，又r∈N*，∴r=10.

∴展开式中系数最大的项为第11项，T11=C·2·210·x10=16 896x10.