2019年高考物理一轮复习讲义：第1章 第3讲《运动图象　追及相遇问题》(含解析)

第3讲　运动图象　追及相遇问题板块一　主干梳理·夯实基础【知识点1】　匀变速直线运动的图象　Ⅱ1．直线运动的x­t图象(1)意义：反映了直线运动的物体位移随时间变化的规律。(2)图线上某点切线的斜率的意义①斜率大小：表示物体速度的大小。②斜率的正负：表示物体速度的方向。(3)两种特殊的x­t图象①若x­t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态。(如图中甲所示)②若x­t图象是一条倾斜的直线，说明物体在做匀速直线运动。(如图中乙所示)2．直线运动的v­t图象(1)意义：反映了直线运动的物体速度随时间变化的规律。(2)图线上某点切线的斜率的意义①斜率的大小：表示物体加速度的大小。②斜率的正负：表示物体加速度的方向。(3)两种特殊的v­t图象①匀速直线运动的v­t图象是与横轴平行的直线。(如图中甲所示)②匀变速直线运动的v­t图象是一条倾斜的直线。(如图中乙所示)(4)图线与坐标轴围成的“面积”的意义①图线与坐标轴围成的“面积”表示相应时间内的位移。②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正方向；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负方向。3．直线运动的a­t图象(1)意义：反映了直线运动的物体，加速度随时间变化的规律。(2)匀变速直线运动的a­t图象，只能是与t轴平行的直线。(3)图线与坐标轴围成“面积”的意义：速度的变化Δv。【知识点2】　追及和相遇问题1．追及问题的两类情况  (1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。(2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。①同向运动相隔一定的初始距离s0的问题：速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)。a．若两者速度相等时，追者位移仍小于被追者位移与s0之和，则永远追不上，此时两者间有最小距离。b．若两者位移相等时，速度也相等，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件。c．若两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距有一个最大值。②从同一地点出发开始同向运动的问题：速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动)。a．当两者速度相等时两者间有最大距离。b．若两者位移相等时，则追上。2．相遇问题(1)同向运动的两物体追上即相遇。两物体位移大小之差等于开始时两物体间距。(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。板块二　考点细研·悟法培优考点1运动图象的应用[深化理解]1．应用运动图象的三点注意(1)无论是x­t图象还是v­t图象都只能描述直线运动。(2)x­t图象和v­t图象都不表示物体运动的轨迹。(3)x­t图象和v­t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定。2．应用运动图象解题“六看” x­t图象v­t图象轴横轴为时间t，纵轴为位移x横轴为时间t，纵轴为速度v线倾斜直线表示匀速直线运动倾斜直线表示匀变速直线运动斜率表示速度表示加速度续表 x­t图象v­t图象面积无实际意义图线和时间轴围成的面积表示位移纵截距表示初位置表示初速度特殊点拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等例1　(多选)如图所示为一质点做直线运动的速度—时间图象，下列说法中正确的是(　　)A．整个过程中，CD段和DE段的加速度数值最大B．整个过程中，BC段的加速度最大C．整个过程中，C点所表示的状态，离出发点最远D．BC段所表示的运动通过的路程是34 m (1)0～22 s内，质点的运动方向是否发生变化？什么时刻离出发点最远？提示：当图象过时间轴时质点运动方向发生改变，t＝20秒时速度图象过时间轴，即方向发生了改变。t＝20秒时离出发点最远。(2)v­t图象中“面积”的含义是什么？提示：图线与时间轴所围的“面积”表示位移的大小。尝试解答　选AD。图象的斜率表示加速度，由图知CE段斜率最大，加速度最大，A正确，B错误。t＝20 s时速度改变方向，所以D点所表示的状态离出发点最远，C错误。BC段和时间轴围成的面积为34 m，D正确。总结升华用速度—时间图象巧得五个运动量(1)运动速度：从速度轴上直接读出，负值表示反向运动。(2)运动时间：从时间轴上直接读出时刻。(3)运动加速度：从图线的斜率得到加速度，斜率的大小表示加速度的大小，斜率的正负反映了加速度的方向。例题中BC段加速度与CD段加速度方向相反。(4)运动的位移：从图线与时间轴围成的面积得到位移，图线与时间轴围成的面积表示位移的大小，横轴以上为“＋”值，横轴以下为“－”值，整个过程的位移是它们的代数和，如CD段的位移为正值，DE段为负值；那CE段的总位移为0。(5)运动的路程：因为路程是标量。路程是图线与时间轴围成的面积的总和。　汽车在平直公路上做刹车试验，若从t＝0时起汽车在运动过程中的位移与速度的平方之间的关系如图所示，下列说法正确的是(　　)A．t＝0时汽车的速度为10 m/sB．刹车过程持续的时间为5 sC．刹车过程经过3 s时汽车的位移为7.5 mD．刹车过程汽车的加速度大小为10 m/s2答案　A解析　由图象可得x＝－v2＋10，根据v2－v＝2ax可得x＝v2－，解得a＝－5 m/s2，v0＝10 m/s，A正确，D错误；汽车刹车过程的时间为t＝＝2 s，B错误；汽车经过2 s停止，因而经过3 s时汽车的位移为x＝10 m，C错误。考点2追及和相遇问题[解题技巧]1．追及和相遇问题中的一个条件和两个关系(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画过程示意图得到。2．追及相遇问题两种典型情况假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，有两种典型情况：(1)初速度小的追初速度大的运动的物体。当vA＝vB时，两者相距最远。(2)初速度大的追初速度小的运动的物体。当vA＝vB时，①若已超越则相遇两次。②若恰好追上，则相遇一次。③若没追上，则无法相遇，两者之间有最小距离。例2　一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。试求：(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？(2)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？ (1)追上前两车相距最远的条件是什么？提示：两车速度相等。(2)追上时两车的位移关系。提示：位移之差等于初始距离。尝试解答　(1)2_s__6_m__(2)4_s__12_m/s。(1)解法一：(物理分析法)汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t1，两车间的距离为Δx，则有v自＝at1所以t1＝＝2 sΔx＝v自t1－at＝6 m。解法二：(相对运动法)以自行车为参考系，则从开始到相距最远的这段时间内，汽车相对这个参考系的各个物理量为初速度v0＝v汽初－v自＝0－6 m/s＝－6 m/s末速度vt＝v汽车－v自＝0加速度a′＝a－a自＝3 m/s2－0＝3 m/s2所以两车相距最远时经历的时间为t1＝＝2 s最大距离Δx＝＝－6 m负号表示汽车在后。注意：利用相对运动的方法解题，要抓住三个关键：①选取哪个物体为研究对象；②选取哪个物体为参考系；③规定哪个方向为正方向。解法三：(极值法)设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距最远，则Δx＝v自t1－at代入已知数据得Δx＝6t1－t由二次函数求极值的条件知：t1＝2 s时，Δx有最大值6 m。所以经过t1＝2 s后，两车相距最远，为Δx＝6 m。解法四：(图象法)自行车和汽车的v­t图象如图所示。由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有t1＝＝ s＝2 sΔx＝＝ m＝6 m。(2)解法一：当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，则有v自t2＝at解得t2＝＝ s＝4 s此时汽车的速度v1′＝at2＝12 m/s。解法二：由前面画出的v­t图象可以看出，在t1时刻之后，当由图线v自、v汽和t＝t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇，所以t2＝2t1＝4 s，v1′＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。总结升华追及相遇问题的求解方法(1)解题思路(2)解题技巧①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。③若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解的讨论分析。④紧紧抓住速度相等这个关键点。⑤作此类选择题时，图象法是最好的选择，如例题中的解法四。　甲、乙两车相距40.5 m，同时沿平直公路做直线运动，甲车在前，以初速度v1＝16 m/s，加速度a1＝2 m/s2做匀减速直线运动，乙车在后，以初速度v2＝4.0 m/s，加速度a2＝1.0 m/s2与甲同向做匀加速直线运动。求：(1)甲、乙两车相遇前相距的最大距离；(2)乙车追上甲车经历的时间。答案　(1)64.5 m　(2)11.0 s解析　(1)解法一：甲、乙两车速度相等时距离最大，设时间为t1时，两车的速度相等，则：v1－a1t1＝v2＋a2t1即16－2t1＝4＋t1，解得：t1＝4.0 s对甲车：x1＝v1t1－a1t＝48 m对乙车：x2＝v2t1＋a2t＝24 m故甲、乙两车相遇前相距的最大距离：xmax＝x0＋x1－x2＝64.5 m解法二：甲、乙两车之间的距离为x＝v1t1－a1t＋x0－即x＝－t＋12t1＋40.5当t1＝－ s＝4 s时，甲、乙两车之间的距离有最大值，最大值为xmax＝ m＝64.5 m。(2)甲车运动至停止的时间t2＝＝8 s在甲车运动时间内，甲车位移：x1′＝t2＝64 m乙车位移：x2′＝v2t2＋a2t＝64 m故甲车停止时，甲、乙两车仍相距x＝40.5 m，甲车停止时，乙车的速度：v2′＝v2＋a2t2＝12 m/s，故x＝v2′t3＋a2t即40.5＝12t3＋t，解得：t3＝3 s乙车追上甲车的时间：t＝t2＋t3＝11.0 s。 [2015·福建高考](15分)一摩托车由静止开始在平直的公路上行驶，其运动过程的v­t图象如图所示。求：(1)摩托车在0～20 s这段时间的加速度大小a；(2)摩托车在0～75 s这段时间的平均速度大小。试卷抽样评析指导失分点：理解错误，求解方法错，导致扣10分。失分原因：对平均速度的概念理解错误，误认为平均速度是速度的平均。补偿建议：深入理解平均速度，是位移和所用时间的比，在v­t图象中，位移的大小等于图象和t轴所围面积的大小。规范解答：75 s内摩托车的位移等于v­t图象中图线和t轴所围的面积：s75＝[(45－20)＋75]×30 m＝1500 m75 s内摩托车的平均速度v＝＝ m/s＝20 m/s