2021年高考数学一轮精选练习：36《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

36《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》

一         、选择题

1.已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a=0的两侧，则实数a取值范围为(　　)

A.(－7,24)          B.(－∞，－7)∪(24，＋∞)

C.(－24,7)          D.(－∞，－24)∪(7，＋∞)

2.设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x＋5y的最大值为(　 　)

A.6        B.19         C.21        D.45

3.若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　 　)

A.－3          B.1          C.            D.3

4.设不等式组表示的平面区域为M，若直线y=kx经过区域M内的点，则实数k的取值范围为(　 　)

A.      B.       C.      D.

5.已知实数x，y满足约束条件若z=2x＋y的最小值为3，则实数b=(　　)

A.         B.        C.1         D.

6.实数x，y满足线性约束条件若z=最大值为1，则z最小值为(　 　)

A.－         B.－         C.           D.－

7.已知实数x，y满足且z=x＋y最大值为6，则(x＋5)2＋y2最小值为(　　)

A.5          B.3             C.         D.

8.已知实数x，y满足若目标函数z=ax＋by＋5(a＞0，b＞0)的最小值为2，则＋的最小值为(　 　)

A.    B.     C.     D.

9.若变量x，y满足约束条件则z=2x·y的最大值为(　 　)

A.16         B.8           C.4           D.3

10.已知实数x，y满足约束条件若不等式(1－a)x2＋2xy＋(4－2a)y2≥0恒成立，则实数a的最大值为(　  　)

A.          B.         C.         D.

二         、填空题

11.已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是　  　.

12.实数x，y满足不等式组则z=|x＋2y－4|的最大值为　  　.

13.已知x，y满足约束条件若目标函数z=3x＋y的最大值为10，则z的最小值为　  　.

14.某蛋糕店每天计划生产蛋糕、面包、酥点这三种糕点共100份，生产一份蛋糕需5分钟，生产一份面包需7分钟，生产一份酥点需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一份蛋糕可获利润5元，生产一份面包可获利润6元，生产一份酥点可获利润3元.若用每天生产的蛋糕份数x与面包份数y表示每天的利润ω(元)，则ω的最大值为       元.

15.已知实数x，y满足则z=的取值范围为       .

16.已知点P(x，y)的坐标满足约束条件则的取值范围是       .

答案解析

1.答案为：A；

解析：由题意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)＜0，

所以(a＋7)·(a－24)＜0，所以－7＜a＜24.

2.答案为：C；

解析：由变量x，y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示).

作出基本直线l0：3x＋5y=0，平移直线l0，当直线经过点A(2,3)时，z取最大值，

即zmax=3×2＋5×3=21，故选C.

3.答案为：B；

解析：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，即m＞－1，

由图知所围成的区域为△ABC及其内部，S△ABC=S△ADC－S△BDC.

易知点A的纵坐标为1＋m，点B的纵坐标为(1＋m)，C，D两点的横坐标分别为2，－2m，所以S△ABC=(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)·(1＋m)=(1＋m)2=，

解得m=－3(舍去)或m=1.

4.答案为：C；

解析：作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，

易知当直线y=kx经过点A(2,1)时，k取得最小值，当直线y=kx经过点C(1,2)时，

k取得最大值2，可得实数k的取值范围为，故选C.

5.答案为：A；

解析：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示.

由z=2x＋y得y=－2x＋z，平移直线y=－2x，

由图可知当直线y=－2x＋z经过点A时，直线y=－2x＋z的纵截距最小，

此时z最小，为3，即2x＋y=3.

由解得即A，

又点A也在直线y=－x＋b上，即=－＋b，∴b=.故选A.

6.答案为：D；

解析：作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z=的几何意义是可行域内的点(x，y)与点A(－3,1)两点连线的斜率，当取点B(a,2a＋2)时，z取得最大值1，故=1，

解得a=2，则C(2,0).当取点C(2,0)时，z取得最小值，即zmin==－.故选D.

7.答案为：A；

解析：如图，作出不等式组对应的平面区域，

由z=x＋y，得y=－x＋z，平移直线y=－x，

由图可知当直线y=－x＋z经过点A时，直线y=－x＋z在y轴上的截距最大，

此时z最大，为6，即x＋y=6.

由得A(3,3)，∵直线y=k过点A，∴k=3.

(x＋5)2＋y2的几何意义是可行域内的点(x，y)与D(－5,0)的距离的平方，

由可行域可知，[(x＋5)2＋y2]min等于D(－5,0)到直线x＋2y=0的距离的平方.

则(x＋5)2＋y2的最小值为2=5，故选A.

8.答案为：D；

解析：作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，对z=ax＋by＋5(a＞0，b＞0)进行变形，可得y=－x＋－，所以该直线的斜率为负数，当直线z=ax＋by＋5(a＞0，b＞0)过点A时，z取得最小值，联立可求出交点A的坐标为(－2，－2)，所以－2a－2b＋5=2，整理得a＋b=，所以＋=(a＋b)·=≥，当且仅当a=b时取等号，故选D.

9.答案为：A；

解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.

又z=2x·y=2x－y，令u=x－y，则直线u=x－y在点(4,0)处u取得最大值，

此时z取得最大值且zmax=24－0=16，故选A.

10.答案为：A；

解析：绘制不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，

题中的不等式可化为a(x2＋2y2)≤x2＋2xy＋4y2，即a≤，

设t=，则a≤，由t=及其几何意义可知，

在点C(2,3)处取得最大值tmax=，在线段AB上取得最小值tmin=1，即t∈[1,1.5].

故原问题可转化为求函数f(t)=的最小值，

整理函数的解析式得：f(t)=2×=2＋，

令m=t－，则≤m≤1，令g(m)=m＋，则g(m)在区间上单调递减，

在区间上单调递增，且g=2，g(1)=，据此可得，

当m=，t=1时，函数g(m)取得最大值，

则此时函数f(t)取得最小值，最小值为f(1)==.

综上可知，实数a的最大值为，故选A.

一         、填空题

11.答案为：[0,2]；

解析：由题中的线性约束条件作出可行域，如图.

其中C(0,2)，B(1,1)，D(1,2).由z=·=－x＋y，得y=x＋z.

由图可知，当直线y=x＋z分别过点C和B时，z分别取得最大值2和最小值0，

所以·的取值范围为[0,2].

12.答案为：21；

解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

z=|x＋2y－4|=×，其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4=0

的距离的倍.

由得B点坐标为(7,9)，

显然点B到直线x＋2y－4=0的距离最大，此时zmax=21.

13.答案为：5；

解析：画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，

作直线l：3x＋y=0，平移l，从而可知经过C点时z取到最大值，

由解得∴2×3－1－m=0，m=5.

由图知，平移l经过B点时，z最小，

∴当x=2，y=2×2－5=－1时，z最小，zmin=3×2－1=5.

14.答案为：550；

解析：依题意每天生产的酥点份数为100－x－y，

所以利润ω=5x＋6y＋3(100－x－y)=2x＋3y＋300.

约束条件为整理得

目标函数为ω=2x＋3y＋300，作出可行域，如图所示，

作初始直线l0：2x＋3y=0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，

由得

所以最优解为A(50,50)，此时ωmax=550元.

15.答案为：[0,1]；

解析：作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分，z=表示区域内的点(x，y)

与A(0，－1)连线的斜率k，由图可知，kmin=0，kmax=kAP，P为切点，

设P(x0，lnx0)，kAP=，∴=，∴x0=1，kAP=1，即z=的取值范围为[0,1].

16.答案为：(－，1]；

解析：方作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

其中B(－1，－1)，C(0,1).

设A(1,1)，向量，的夹角为θ，∵·=x＋y，||=，

∴cosθ===×，由图可知∠AOC≤θ＜∠AOB，

即≤θ＜π，∴－1＜cosθ≤，即－1＜×≤，

∴－＜≤1.