2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第8章5第5讲　直线、平面垂直的判定与性质

第5讲　直线、平面垂直的判定与性质

1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理


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判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理


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图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直

⇒α⊥β
性质定理
两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面

⇒l⊥α
3.空间角
(1)直线与平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．
②线面角θ的范围：θ∈．
(2)二面角
①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．
如图的二面角，可记作：二面角α­l­β或二面角P­AB­Q．
②二面角的平面角
如图，过二面角α­l­β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则∠AOB就叫做二面角α­l­β的平面角．
③二面角的范围
设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]．
④当θ＝时，二面角叫做直二面角．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.(　　)
(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)
(3)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.(　　)
(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　)
(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
(教材习题改编)线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为(　　)
A．30°　　　　　　　　　 B．45°
C．60° D．120°
解析：选C.如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝AB，所以∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角．
已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则(　　)
A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α
C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l
D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直
解析：选D.垂直于平面β的平面与平面α重合、平行或相交，故A不正确；垂直于直线l的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B不正确；垂直于平面β的平面可能垂直于直线l，故C不正确；由面面垂直的判定定理知，垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直，故D正确．
设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)
解析：若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.
答案：充分不必要
(教材习题改编)P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列结论：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC，其中正确的个数是________．
解析：如图所示．因为PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，所以PA⊥平面PBC.又因为BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC.同理，PB⊥AC，PC⊥AB.但AB不垂直于BC.
答案：3


　　　　　　线面垂直的判定与性质
[典例引领]
如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
【证明】　(1)在四棱锥P­ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD.
因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.
而AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
所以AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD.
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.
又因为AB⊥AD且PA∩AD＝A，
所以AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，
所以AB⊥PD.又因为AB∩AE＝A，
所以PD⊥平面ABE.

(1)判定线面垂直的四种方法

(2)判定线线垂直的四种方法
　
[通关练习]
1．(2017·高考全国卷Ⅲ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)
A．A1E⊥DC1　　　　　　　 B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
解析：选C.由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C.
2．S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，
在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，
所以DE∥BC，所以DE⊥AB，
因为SA＝SB，所以△SAB为等腰三角形，
所以SE⊥AB.
又SE∩DE＝E，
所以AB⊥平面SDE.
又SD⊂平面SDE，所以AB⊥SD.
在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，
所以SD⊥AC.
又AC∩AB＝A，所以SD⊥平面ABC.
(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，
由(1)可知，SD⊥平面ABC，
又BD⊂平面ABC，所以SD⊥BD，
又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.

　　　　　　面面垂直的判定与性质
[典例引领]
(2017·高考山东卷)由四棱柱ABCD­A1B1C1D1截去三棱锥C1­B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.

(1)证明：A1O∥平面B1CD1;
(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.
【证明】　(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，

由于ABCD­A1B1C1D1是四棱柱，
所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，
因此四边形A1OCO1为平行四边形，
所以A1O∥O1C，
又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，
所以A1O∥平面B1CD1.
(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，
所以EM⊥BD，
又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以A1E⊥BD，
因为B1D1∥BD，
所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，
又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，
所以B1D1⊥平面A1EM，
又B1D1⊂平面B1CD1，
所以平面A1EM⊥平面B1CD1.

证明面面垂直的两种常用方法
(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；
(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．如通关练习1.　
[通关练习]
1．如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC，FD，形成如图所示的多面体，且AC＝.
证明：平面ABEF⊥平面BCDE.

证明：在正六边形
ABCDEF中，连接AC，BE，交点为G，易知AC⊥BE，且AG＝CG＝，
所以∠AGC为二面角A­BE­C的平面角，
由AC＝，知AG2＋CG2＝AC2，故AG⊥GC，
所以∠AGC＝90°，
所以平面ABEF⊥平面BCDE.
2．(2017·高考北京卷)如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E­BCD的体积．
解：(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，
所以PA⊥平面ABC.
又因为BD⊂平面ABC，
所以PA⊥BD.
(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.
由(1)知，PA⊥BD，
所以BD⊥平面PAC.
所以平面BDE⊥平面PAC.
(3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，
所以PA∥DE.
因为D为AC的中点，
所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝.
由(1)知，PA⊥平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
所以三棱锥E­BCD的体积V＝BD·DC·DE＝.

　　　　　　空间位置关系的求解与证明 (高频考点)
空间位置关系的求解与证明是每年高考的必考内容，题型多为解答题，属中档题．高考对空间位置关系的求解与证明的考查常有以下四个命题角度：
(1)空间平行与垂直关系的证明；
(2)空间中的证明与计算；
(3)折叠问题中的平行、垂直关系；
(4)探索性问题中的平行、垂直关系．(参阅上节考点三)．
[典例引领]
角度一　空间平行与垂直关系的证明
如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝2AA1＝2AC＝2，∠ABC＝30°.
(1)求证：平面A1BC⊥平面AA1C1C；
(2)若点D是棱AC的中点，点F在线段AC1上，且AC1＝3FC1，求证：平面B1CF∥平面A1BD.
【证明】　(1)在三棱柱ABC­A1B1C1中，
因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以AA1⊥BC.
在△ABC中，因为AB＝2AC＝2，且∠ABC＝30°，
根据正弦定理，得＝，
所以sin∠ACB＝1，因为0°