2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第6章4第4讲　数列求和

第4讲　数列求和

1．基本数列求和方法
(1)等差数列求和公式：Sn＝＝na1＋d．
(2)等比数列求和公式：Sn＝
2．一些常见数列的前n项和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝；
(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2；
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n．
3．数列求和的常用方法
(1)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
(2)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．
(3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(4)分组转化法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．
(5)并项求和法
一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当n≥2时，＝－.(　　)
(2)利用倒序相加法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　　)
(3)若Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan，当a≠0，且a≠1时，求Sn的值可用错位相减法求得．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝(　　)
A．9　　 B．8
C．17 D．16
解析：选A.S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.
(教材习题改编)数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为(　　)
A．2 016 B．2 017
C．2 018 D．2 019
解析：选B.an＝＝－，
Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＝，所以n＝2 017.
已知数列：1，2，3，…，，…，则其前n项和关于n的表达式为________．
解析：设所求的前n项和为Sn，则
Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＋＋…＋＝＋1－.
答案：＋1－
已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝________．
解析：Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
所以2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②
①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1，
所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2.
答案：(n－1)2n＋1＋2


　　　　　　分组转化法求和
[典例引领]
(2018·合肥市第一次教学质量检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝24，S7＝63.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2an＋(－1)n·an，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】　(1)因为{an}为等差数列，
所以⇒⇒an＝2n＋1.
(2)因为bn＝2an＋(－1)n·an＝22n＋1＋(－1)n·(2n＋1)＝2×4n＋(－1)n·(2n＋1)，
所以Tn＝2×(41＋42＋…＋4n)＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n·(2n＋1)]＝＋Gn.
当n＝2k(k∈N*)时，Gn＝2×＝n，
所以Tn＝＋n；
当n＝2k－1(k∈N*)时，
Gn＝2×－(2n＋1)＝－n－2，
所以Tn＝－n－2，
所以Tn＝.

分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．　
[通关练习]
1．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－n，前n项和为Sn，则Sn＝________．
解析：Sn＝21＋22＋…＋2n－(1＋2＋…＋n)
＝－＝2n＋1－.
答案：2n＋1－
2．(2018·福建福州八中第六次质检)在等比数列{an}中，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1＝a1＝3，b4＝a2，b13＝a3.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)记cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前2n项和S2n.
解：(1)设等差数列{bn}的公差为d.
则有解得或(舍去)，
所以an＝3n，bn＝2n＋1.
(2)由(1)知cn＝(－1)n(2n＋1)＋3n，
则S2n＝(3＋32＋33＋…＋32n)＋{(－3)＋5＋(－7)＋9＋…＋[－(4n－1)]＋(4n＋1)}
＝＋[(5－3)＋(9－7)＋…＋(4n＋1－4n＋1)]
＝＋2n.

　　　　　　错位相减法求和
[典例引领]
(2017·高考山东卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋ a2 ＝6，a1a2＝ a3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn.
【解】　(1)设{an}的公比为q，
由题意知：a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2.
又an>0，
解得：a1＝2，q＝2，
所以an＝2n.
(2)由题意知：S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，
又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，
所以bn＝2n＋1.
令cn＝，
则cn＝，
因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋，
又Tn＝＋＋＋…＋＋，
两式相减得
Tn＝＋－，
所以Tn＝5－.

错位相减法求和策略
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
(2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．　
[通关练习]
1．数列，，，，…，的前10项之和为________．
解析：S10＝＋＋＋…＋，①
所以S10＝＋＋…＋＋.②
①－②得
S10＝＋－
＝＋－
＝－－＝，
所以S10＝＝.
答案：
2．(2018·福建漳州八校联考)已知递增的等比数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝anlogan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋1>62成立的正整数n的最小值．
解：(1)由题意，得
解得或
由于{an}是递增数列，所以a1＝2，q＝2，
所以数列{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n.
(2)因为bn＝anlogan＝2n·log2n＝－n·2n，
所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n)，①
则2Sn＝－(1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1)，②
②－①，得Sn＝(2＋22＋…＋2n)－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，
则Sn＋n·2n＋1＝2n＋1－2，
解2n＋1－2>62，得n>5，
所以n的最小值为6.

　　　　　　裂项相消法求和(高频考点)
裂项相消法求和是每年高考的热点，题型多为解答题第二问，难度适中．高考对裂项相消法的考查常有以下三个命题角度：
(1)形如an＝型；
(2)形如an＝型；
(3)形如an＝(a>0，a≠1)型．
[典例引领]
角度一　形如an＝型
(2017·高考全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解】　(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝(n≥2)．
又由题设可得a1＝2，
从而{an}的通项公式为an＝.
(2)记{}的前n项和为Sn.
由(1)知＝＝－.
则Sn＝－＋－＋…＋－＝.
角度二　形如an＝型
(2018·福州质检)已知函数f(x)＝xα的图象过点(4，2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 018＝(　　)
A.－1　　　　　　　 B.－1
C.－1 D. ＋1
【解析】　由f(4)＝2可得4α＝2，解得α＝.
则f(x)＝x.
所以an＝＝＝－，
所以S2 018＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－ )＋(－)＝－1.
【答案】　C
角度三　形如an＝(a>0，a≠1)型
已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】　(1)由题设知a1·a4＝a2·a3＝8，
又a1＋a4＝9，可解得或(舍去)．
由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)Sn＝＝2n－1.
又bn＝＝＝－，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－.

利用裂项相消法求和的注意事项
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项；
(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则＝，＝.　
[通关练习]
1．(2017·高考全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＝__________．
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意，即解得所以Sn＝，因此＝2(1－＋－＋…＋－)＝.
答案：
2．(2018·银川质检)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an} 的通项公式an；
(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.
解：(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，
得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.
由于数列{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.
于是a1＝S1＝2，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.
综上可知，数列{an}的通项公式an＝2n.
(2)证明：由于an＝2n，bn＝，
则bn＝＝.
Tn＝
＝
<＝.

几类可以使用公式求和的数列
(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．
(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式．
(3)等差数列各项加上绝对值，等差数列乘(－1)n.
用裂项法求和的裂项原则及规律
(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
易错防范
(1)直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．
(2)在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号．
(3)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3，则其前20项和为(　　)
A．380－ B．400－
C．420－ D．440－
解析：选C.令数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2(1＋2＋…＋20)－3＝2×－3×＝420－.
2．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为(　　)
A．120 B．99
C．11 D．121
解析：选A.an＝＝＝－，所以a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝10.即＝11，所以n＋1＝121，n＝120.
3．(2018·江西师大附中调研)定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn＝，则＋＋…＋＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.由定义可知a1＋a2＋…＋an＝5n2，a1＋a2＋…＋an＋an＋1＝5(n＋1)2，可求得an＋1＝10n＋5，所以an＝10n－5，则bn＝2n－1.又＝，所以＋＋…＋＝(－＋－…－＋－)＝＝.
4．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)·cos＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则S60＝(　　)
A．－30 B．－60
C．90 D．120
解析：选D.由题意可得，当n＝4k－3(k∈N*)时，an＝a4k－3＝1；当n＝4k－2(k∈N*)时，an＝a4k－2＝6－8k；当n＝4k－1(k∈N*)时，an＝a4k－1＝1；当n＝4k(k∈N*)时，an＝a4k＝8k.所以a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，所以S60＝8×15＝120.
5．(2018·湖南湘潭模拟)已知Tn为数列的前n项和，若m>T10＋1 013恒成立，则整数m的最小值为(　　)
A．1 026 B．1 025
C．1 024 D．1 023
解析：选C.因为＝1＋，
所以Tn＝n＋1－，
所以T10＋1 013＝11－＋1 013＝1 024－，
又m>T10＋1 013，
所以整数m的最小值为1 024.故选C.
6．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是________．
解析：由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，
所以T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18
＝S10－(S18－S10)＝60.
答案：60
7．设函数f(x)＝＋log2，定义Sn＝f＋f＋…＋f，其中n∈N*，且n≥2，则Sn＝________．
解析：因为f(x)＋f(1－x)
＝＋log2＋＋log2
＝1＋log21＝1，
所以2Sn＝＋
＋…＋
＝n－1.
所以Sn＝.
答案：
8．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%，则第n年初M的价值an＝________．
解析：当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，所以an＝120－10(n－1)＝130－10n(n≤6且n∈N*)；
当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，为公比的等比数列，
又因为a6＝70，所以an＝70×(n≥7且n∈N*)．
答案：
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
a1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.
记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
则A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
10．(2018·长沙市统一模拟考试)已知数列{an}为等差数列，其中a2＋a3＝8，a5＝3a2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝，设{bn}的前n项和为Sn.求最小的正整数n，使得Sn>.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
依题意有，
解得a1＝1，d＝2，
从而{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*.
(2)因为bn＝＝－，
所以Sn＝＋＋…＋＝1－，
令1－>，
解得n>1 008，故取n＝1 009.

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝28，S10＝310.记函数f(n)＝Sn(n∈N*)，A(n，f(n))，B(n＋1，f(n＋1))，C(n＋2，f(n＋2))是函数f(n)上的三点，则△ABC的面积为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.因为a5＝28，S10＝310.
所以解得a1＝4，d＝6.
所以an＝4＋(n－1)×6＝6n－2.
所以Sn＝4n＋×6＝3n2＋n.
所以A，B，C的坐标分别为(n，3n2＋n)，(n＋1，3(n＋1)2＋(n＋1))，(n＋2，3(n＋2)2＋(n＋2))．
所以△ABC的面积S＝[(3n2＋n)＋3(n＋2)2＋(n＋2)]×2－[(3n2＋n)＋3(n＋1)2＋(n＋1)]×1－[3(n＋1)2＋(n＋1)＋3(n＋2)2＋(n＋2)]×1
＝(6n2＋14n＋14)－(3n2＋4n＋2)－(3n2＋10n＋9)
＝3，即△ABC的面积为3.
2．(2017·高考全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是(　　)
A．440 B．330
C．220 D．110
解析：选A.设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为.由题意可知，N>100，令>100，所以n≥14，n∈N*，即N出现在第13组之后．易得第n组的所有项的和为＝2n－1，前n组的所有项的和为－n＝2n＋1－n－2.设满足条件的N在第k＋1(k∈N*，k≥13)组，且第N项为第k＋1组的第t(t∈N*)个数，第k＋1组的前t项的和2t－1应与－2－k互为相反数，即2t－1＝k＋2，所以2t＝k＋3，所以t＝log2(k＋3)，所以当t＝4，k＝13时，N＝＋4＝95<100，不满足题意，当t＝5，k＝29时，N＝＋5＝440，当t>5时，N>440，故选A.
3．已知数列{an}满足an＋1＝＋，且a1＝，则该数列的前2 018项的和等于________．
解析：因为a1＝，又an＋1＝＋，
所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，
即得an＝
故数列的前2 018项的和S2 018＝1 009×＝.
答案：
4．某人打算制定一个长期储蓄计划，每年年初存款2万元，连续储蓄12年．由于资金原因，从第7年年初开始，变更为每年年初存款1万元．若存款利率为每年2%，且上一年年末的本息和共同作为下一年年初的本金，则第13年年初时的本息和约为________万元(结果精确到0.1)．(参考数据：1.026≈1.13，1.0212≈1.27)
解析：由题意可知，第1年年初存入的2万元，到第13年年初时本息和为2×1.0212，第2年年初存入的2万元，到第13年年初时本息和为2×1.0211，…，第6年年初存入的2万元，到第13年年初时本息和为2×1.027，第7年年初存入的1万元，到第13年年初时本息和为1×1.026，…，第12年年初存入的1万元，到第13年年初时本息和为1×1.02，第13年年初时的本息和为
2×1.0212＋2×1.0211＋…＋2×1.027＋1.026＋1.025＋…＋1.02
＝2×＋
＝2×＋51×(1.026－1)
≈51×(0.28＋0.13)＝20.91≈20.9.
答案：20.9
5．等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)令cn＝设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.
解：(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
由得解得
所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1.
(2)由a1＝3，an＝2n＋1，得Sn＝＝n(n＋2)，
则cn＝
即cn＝
所以T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)
＝＋(2＋23＋…＋22n－1)
＝1－＋＝＋(4n－1)．
6．(2018·张掖市第一次诊断考试)已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝－3Sn＋4，bn＝
－log2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式与数列{bn}的通项公式；
(2)令cn＝＋，其中n∈N*，若数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.
解：(1)由a1＝－3a1＋4，得a1＝1，
由an＝－3Sn＋4，
知an＋1＝－3Sn＋1＋4，
两式相减并化简得an＋1＝an，
所以an＝.
bn＝－log2an＋1＝－log2＝2n.
(2)由题意知，cn＝＋.
令Hn＝＋＋＋…＋，①
则Hn＝＋＋…＋＋，②
①－②得，Hn＝＋＋＋…＋－＝1－.
所以Hn＝2－.
又Mn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，
所以Tn＝Hn＋Mn＝2－＋.