2019版高考数学（文）创新大一轮人教A全国通用版讲义：选修4-5第2节

第2节　不等式的证明
最新考纲　通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.

知 识 梳 理
1.基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.
定理2：如果a，b>0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.
定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
2.不等式的证明方法
(1)比较法
①作差法(a，b∈R)：a－b>0⇔a>b；a－b0)：>1⇔a>b；1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是(　　)
A.x>y B.xb>1得ab>1，a－b>0，
所以>0，即x－y>0，所以x>y.
答案　A
3.(选修4－5P23习题2.1T1改编)已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________.
解析　2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b).
因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，
从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.
答案　M≥N
4.已知a>0，b>0且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是________.
解析　由题意得，a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当a＝b＝时等号成立.
∴＋的最小值是4.
答案　4
5.已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
证明　因为x>0，y>0，
所以1＋x＋y2≥3>0，1＋x2＋y≥3>0，
故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.

考点一　比较法证明不等式
【例1－1】 (2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16.试证明：ac＋bd≤8.
证明　∵(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2
＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－(a2c2＋b2d2＋2acbd)
＝b2c2＋a2d2－2acbd＝(bc－ad)2≥0，
∴(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
又a2＋b2＝4，c2＋d2＝16.
因此(ac＋bd)2≤64，从而ac＋bd≤8.
【例1－2】 (一题多解)已知a>0，b>0，求证：＋≥＋.
证明　法一　因为＋－(＋)
＝＝，
∵a>0，b>0，∴>0.
因此＋≥＋.
法二　由于＝
＝＝－1≥－1＝1.
又a>0，b>0，>0，所以＋≥＋.
规律方法　1.作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号.
2.在例1－2证明中，法一采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明a>b转化为证明>1(b>0).
提醒　在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号.
【训练1】 设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥(a＋b).
证明　因为a2＋b2－(a＋b)
＝(a2－a)＋(b2－b)
＝a(－)＋b(－)
＝(－)(a－b)
＝(a－b)(a－b).
因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a－b与a－b同号，所以(a－b)(a－b)≥0，
所以a2＋b2≥(a＋b).
考点二　综合法证明不等式
【例2－1】 (2017·全国Ⅱ卷)已知实数a>0，b>0，且a3＋b3＝2.
证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
证明　(1)∵a>0，b>0，且a3＋b3＝2.
则(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)
＝4＋ab(a4－2a2b2＋b4)
＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)
≤2＋(a＋b)＝2＋，
所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.
【例2－2】 (2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)