章末总结　提高

【p87】

【p87】

本章内容包括运动学和动力学两部分．运动学部分主要是掌握如何用“合成与分解”的方法，将复杂的运动形式简化为两个简单运动的合成，运用等效的思想将未知的复杂问题转化为已知的简单问题，这也是物理学中十分重要的、经常使用的研究方法；动力学部分主要是根据牛顿第二定律研究物体做曲线运动时力和运动的关系．

平抛运动是匀变速曲线运动的一种．采用的研究方法是，将其分解为互相垂直的两个直线运动来处理．因此，该内容可看为前面所学的平行四边形定则与匀变速直线运动规律的综合．

圆周运动是自然界普遍存在的一种运动形式，处理其动力学问题时，关键要注意两点：

(1)确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向．

(2)向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的性质力，它是根据力的作用效果命名的．切不可在物体间的相互作用力以外再添加一个向心力．

研究竖直平面内的圆周运动要抓住各种约束物的区别以及运动物体在最高点、最低点的受力特征，并结合牛顿第二定律求解．

牛顿运动定律在卫星与天体运动中的应用，不可避免地要密切结合万有引力定律．这类问题需把握以下几个重要方面：①运动模型的建立：A星绕B星做匀速圆周运动；②由A星与B星之间的万有引力提供A星运动所需的向心力；③合理选择向心力的表达式，列出万有引力等于向心力的方程，推导出线速度、角速度、周期、半径、向心加速度、中心天体B的质量等等的表达式；④重力加速度g这一概念的迁移：星球表面有GM＝gR2，这一式子又称“黄金代换式”，不仅可用于地球表面，也可用于其他星球表面；⑤地球表面卫星、高空卫星、极地卫星、赤道卫星、同步卫星、三个宇宙速度等的含义要深刻领会、准确掌握，才能在处理问题时应用自如．

【p87】

1．(多选)(2019·全国卷Ⅱ)如图(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离．某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v－t图象如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻．则(　　)

A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小

B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大

C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大

D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大

[解析] 由v－t图面积易知第二次面积大于等于第一次面积，故第二次竖直方向下落距离大于第一次下落距离，所以，A错误；由于第二次竖直方向下落距离大，由于位移方向不变，故第二次水平方向位移大，故B正确；由v－t斜率知第一次大、第二次小，斜率越大，加速度越大，或由＝易知a1>a2，故C错误；由图象斜率，速度为v1时，第一次图象陡峭，第二次图象相对平缓，故a1>a2，由G－fy＝ma，可知，fy1<fy2，故D正确．

[答案] BD

2．(多选)(2019·江苏卷)如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱(　　)

A．运动周期为

B．线速度的大小为ωR

C．受摩天轮作用力的大小始终为mg

D．所受合力的大小始终为mω2R

[解析] 由于座舱做匀速圆周运动，由公式ω＝，解得：T＝，故A错误；由圆周运动的线速度与角速度的关系可知，v＝ωR，故B正确；由于座舱做匀速圆周运动，所以座舱受到摩天轮的作用力是变力，不可能始终为mg，故C错误；由匀速圆周运动的合力提供向心力可得：F合＝mω2R，故D正确．

[答案] BD

3．(多选)(2019·全国卷Ⅰ)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示．在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a－x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体．已知星球M的半径是星球N的3倍，则(　　)

A．M与N的密度相等

B．Q的质量是P的3倍

C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍

D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍

[解析] 由a－x图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有：mg－kx＝ma，变形式为：a＝g－x，该图象的斜率为－，纵轴截距为重力加速度g.根据图象的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速度之比为：＝＝；又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等，即：G＝m′g，即该星球的质量M＝.又因为：M＝ρ，联立得ρ＝.故两星球的密度之比为：＝·＝1∶1，故A正确；当物体在弹簧上运动过程中，加速度为0的一瞬间，其所受弹力和重力二力平衡，mg＝kx，即：m＝；结合a－x图象可知，当物体P和物体Q分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比为：＝＝，故物体P和物体Q的质量之比为：＝·＝，故B错误；物体P和物体Q分别处于各自的平衡位置(a＝0)时，它们的动能最大；根据v2＝2ax，结合a－x图象面积的物理意义可知：物体P的最大速度满足v＝2··3a0·x0＝3a0x0，物体Q的最大速度满足：v＝2a0x0，则两物体的最大动能之比：＝＝·＝4，C正确；物体P和物体Q分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置(a＝0)可知，物体P和Q振动的振幅A分别为x0和2x0，即物体P所在弹簧最大压缩量为2x0，物体Q所在弹簧最大压缩量为4x0，则Q下落过程中，弹簧最大压缩量时P物体最大压缩量的2倍，D错误；故本题选AC.

[答案] AC

4．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是(　　)

[解析] 根据万有引力定律可得：F＝，h越大，F越小，故选项D符合题意．

[答案] D

5．(2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火．已知它们的轨道半径R金<R地<R火，由此可以判定(　　)

A．a金>a地>a火  B．a火>a地>a金

C．v地>v火>v金  D．v火>v地>v金

[解析] 由万有引力提供向心力G＝ma可知轨道半径越小，向心加速度越大，故知A项正确，B错误；由G＝m得v＝，可知轨道半径越小，运行速率越大，故C、D都错误．

[答案] A

6．(多选)(2018·全国卷Ⅰ)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)

A．质量之积  B．质量之和

C．速率之和  D．各自的自转角速度

[解析] 双中子星做匀速圆周运动的频率f＝12 Hz(周期T＝ s)，由万有引力等于向心力，可得，G＝m1r1(2πf)2，G＝m2r2(2πf)2，r1＋r2＝r＝400 km，联立解得：m1＋m2＝，选项B正确，A错误；由v1＝ωr1＝2πfr1，v2＝ωr2＝2πfr2，联立解得：v1＋v2＝2πfr，选项C正确；不能得出各自的自转角速度，选项D错误．

[答案] BC

7．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)

A．5×109 kg/m3  B．5×1012 kg/m3

C．5×1015 kg/m3  D．5×1018 kg/m3

[解析] 设脉冲星质量为M，密度为ρ

根据天体运动规律知：≥mR

ρ＝＝

代入可得：ρmin≈5×1015 kg/m3，故C正确．

[答案] C

8．(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为(　　)

A．2∶1  B．4∶1

C．8∶1  D．16∶1

[解析] 设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP＝16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ＝4R，根据开普勒定律，＝＝64，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ＝8∶1，选项C正确．

[答案] C

9．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的(　　)

A．2倍  B．4倍

C．6倍  D．8倍

[解析] 设甲球落至斜面时的速率为v1，乙落至斜面时的速率为v2，由平抛运动规律，x＝vt，y＝gt2，设斜面倾角为θ，由几何关系，tan θ＝，小球由抛出到落至斜面，由机械能守恒定律，mv2＋mgy＝mv，联立解得：v1＝·v，即落至斜面时的速率与抛出时的速率成正比．同理可得，v2＝·，所以甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时的速率的2倍，选项A正确．

[答案] A

10．(2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网，其原因是(　　)

A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多

B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大

C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少

D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大

[答案] C

11．(2017·全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的(　　)

A．周期变大  B．速率变大

C．动能变大  D．向心加速变大

[解析] 由天体知识可知：T＝2πR，v＝，a＝.半径不变，周期T，速率v，加速度a均不变，故A、B、D错误．根据Ek＝mv2可得：速率v不变，组合体质量m变大，故动能Ek变大．

[答案] C

12．(2017·北京)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是(　　)

A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)

B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期

C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离

D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离

[解析] 在地球表面附近，在不考虑地球自转的情况下，物体所受重力等于地球对物体的万有引力，有＝mg，可得M＝，A能求出地球质量．根据万有引力提供卫星、月球、地球做圆周运动的向心力，由＝，vT＝2πR，解得M＝；由＝m月r，解得M＝；由＝Mr日，会消去两边的M；故BC能求出地球质量，D不能求出．

[答案] D

13．(2017·天津)我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后，与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体．假设组合体在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，已知地球的半径为R，地球表面处重力加速度为g，且不考虑地球自转的影响．则组合体运动的线速度大小为____________，向心加速度大小为____________．

[解析] 在地球表面附近，物体所受重力和万有引力近似相等，有：G＝mg，航天器绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有：G＝m＝ma，

解得：线速度v＝R，向心加速度a＝.

[答案] R