2021高考物理（选择性考试）人教版一轮学案：专题七　带电粒子在复合场中的运动

专题七　带电粒子在复合场中的运动

专题解读

1．本专题是磁场、力学、电场等知识的综合应用，高考往往以计算压轴题的形式出现．

2．学习本专题，可以培养同学们的审题能力、推理能力和规范表达能力．针对性的专题训练，可以提高同学们解决难题压轴题的信心．

3．用到的知识有：动力学观点(牛顿运动定律)、运动学观点、能量观点(动能定理、能量守恒)、电场的观点(类平抛运动的规律)、磁场的观点(带电粒子在磁场中运动的规律)．

1．复合场与组合场

(1)复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．

(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现．

2．带电粒子在复合场中的运动类型

(1)静止或匀速直线运动．

当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．

(2)匀速圆周运动．

当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．

(3)较复杂的曲线运动．

当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．

(4)分阶段运动．

带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成．

1.(多选)(2019·山西晋城一模)足够大的空间内存在着竖直向上的匀强磁场和匀强电场，有一带正电的小球在电场力和重力作用下处于静止状态．现将磁场方向顺时针旋转30°，同时给小球一个垂直磁场方向斜向下的速度(如图所示)，则关于小球的运动，下列说法正确的是(　　)

A．小球做类平抛运动

B．小球在纸面内做匀速圆周运动

C．小球运动到最低点时电势能增加

D．整个运动过程中机械能不守恒

答案：CD

2．(2019·福建龙岩期末)如图所示，两平行金属板中间有相互垂直的匀强磁场和匀强电场，不计重力的带电粒子沿垂直于电场和磁场方向射入．有可能做直线运动的是(　　)

A　　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　　D

答案：C

3．(多选)磁流体发电是一项新兴技术，它可以把物体的内能直接转化为电能，下图是它的示意图．平行金属板A、B之间有一个很强的磁场，将一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正、负离子)喷入磁场，A、B两板间便产生电压．如果把A、B和用电器连接，A、B就是直流电源的两个电极，设A、B两板间距为d，磁感应强度为B′，等离子体以速度v沿垂直于磁场的方向射入A、B两板之间，则下列说法正确的是(　　)

A．A是直流电源的正极　　B．B是直流电源的正极

C．电源的电动势为B′dv  D．电源的电动势为qvB′

答案：BC

考点一  带电粒子在组合场中的运动

1.知识架构

2．“电偏转”和“磁偏转”的比较

　(2018·全国卷Ⅰ)如图，在y>0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，在y<0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场．一个氕核H和一个氘核H先后从y轴上y＝h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向．已知H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场.H的质量为m，电荷量为q，不计重力．求：

(1)H第一次进入磁场的位置到原点O的距离；

(2)磁场的磁感应强度大小；

(3)H第一次离开磁场的位置到原点O的距离．

[思维点拨]　

解析：(1)H在电场中做类平抛运动，水平方向速度为v0，竖直方向速度为vy.

竖直方向tan 60°＝，①

h＝vyt，②

水平方向l＝v0t1.③

联立①②③解得l＝h.④

(2)在电场中竖直方向v＝2h，⑤

联立①②⑤解得v0＝ ，⑥

在磁场中由几何关系知l＝2rsin 60°，⑦

粒子在磁场中的速度v＝，⑧

在磁场中做匀速圆周运动qvB＝m，⑨

联立④⑥⑦⑧⑨解得B＝ .⑩

(3)设H在电场中沿x轴正方向射出的速度大小为v1，

mv＝·2m·v.⑪

H第一次射入磁场时的速度大小为v2，速度的方向与x轴正方向夹角为θ，入射点到原点的距离为l1，在电场中运动的时间为t2.由运动学公式，有

l1＝v1t2，⑫

h＝·t，⑬

tan θ＝.⑭

在磁场中H做匀速圆周运动v1＝v2cos θ，⑮

qv2B＝2m，⑯

联立以上各式得R＝r.⑰

第一次离开磁场时的位置到原点O的距离为

Δl＝l－2Rsin θ＝(－1)h.⑱

答案：见解析

1．带电粒子在电场中加速，一般应用动能定理，即可求出加速后进入磁场前的速度．

2．带电粒子进入磁场，在有界磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，再结合几何关系即可求解运动半径、周期等物理量．

3．在有界磁场中运动时，要根据不同的边界确定临界条件，还要注意多解问题．

考点二  带电粒子在复合场中运动实例分析

　(2017·江苏卷)一台质谱仪的工作原理如图所示．大量的甲、乙两种离子飘入电压为U0的加速电场，其初速度几乎为0，经加速后，通过宽为L的狭缝MN沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片上．已知甲、乙两种离子的电荷量均为＋q，质量分别为2m和m，图中虚线为经过狭缝左、右边界M、N的甲种离子的运动轨迹．不考虑离子间的相互作用．

(1)求甲种离子打在底片上的位置到N点的最小距离x；

(2)在图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度d；

(3)若考虑加速电压有波动，在(U0－ΔU)到(U0＋ΔU)之间变化，要使甲、乙两种离子在底片上没有重叠，求狭缝宽度L满足的条件．

解析：(1)甲种离子在电场中加速时，有

qU0＝×2mv2，①

设甲种离子在磁场中的运动半径为r1，则有

qvB＝2m，②

根据几何关系，有

x＝2r1－L，③

由①②③式解得x＝－L.④

(2)如图所示．

最窄处位于过两虚线交点的垂线上d＝r1－，⑤

由①②⑤式解得d＝－.⑥

(3)设乙种离子在磁场中的运动半径为r2，

r1的最小半径

r1min＝ ⑦

r2的最大半径r2max＝ .⑧

由题意知2r1min－2r2max＞L，

即 － ＞L，⑨

由⑦⑧⑨式解得

L＜[2－]．⑩

答案：(1) －L　(2) －

(3)L＜ [2－]

解决实际问题的一般过程

考点三  带电粒子在叠加场中的运动

1.带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动

(1)洛伦兹力、重力并存．

①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．

②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题．

(2)电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)．

①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．

②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．

(3)电场力、洛伦兹力、重力并存．

①若三力平衡，一定做匀速直线运动．

②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动．

③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题．

2．带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动

带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解．

　(多选)(2019·郑州质检)如图所示为一个质量为m、电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度为B的匀强磁场中，不计空气阻力，现给圆环向右的初速度v0，在以后的运动过程中，圆环运动的速度图象可能是下列选项中的(　　)

　　　　A　 　　　B　　　　　C　 　　　D

解析：带电圆环在磁场中受到向上的洛伦兹力，当重力与洛伦兹力相等时，圆环将做匀速直线运动，A正确；当洛伦兹力大于重力时，圆环受到摩擦力的作用，并且随着速度的减小而减小，圆环将做加速度减小的减速运动，最后做匀速直线运动，D正确；如果重力大于洛伦兹力，圆环也受摩擦力作用，且摩擦力越来越大，圆环将做加速度增大的减速运动，最后静止，故B、C错误．

答案：AD

1．带电粒子在电场和磁场叠加场中做直线运动，电场力和洛伦兹力一定相互平衡，因此常用二力平衡方法解题．

2．带电粒子在电场和磁场叠加场中偏转，是电场力和洛伦兹力不平衡造成的．此过程中电场力做功，洛伦兹力不做功，需根据电场力做功的正、负判断动能的变化．

1.(2019·吉林长春三模)随着电子技术的发展，霍尔传感器被广泛应用在汽车的各个系统中．其中霍尔转速传感器在测量发动机转速时，情景简化如图a所示，被测量转子的轮齿(具有磁性)每次经过霍尔元件时，都会使霍尔电压发生变化，传感器的内置电路会将霍尔电压调整放大，输出一个脉冲信号，霍尔元件的原理如图b所示．下列说法正确的是(　　)

图a　　　　　　　　图b　　

A．霍尔电压是由于元件中定向移动的载流子受到电场力作用发生偏转而产生的

B．若霍尔元件的前端电势比后端低，则元件中的载流子为负电荷

C．在其他条件不变的情况下，霍尔元件的厚度c越大，产生的霍尔电压越高

D．若转速表显示1 800 r/min，转子上齿数为150个，则霍尔传感器每分钟输出12个脉冲信号

解析：霍尔电压是由于元件中定向移动的载流子受磁场力而偏转产生的，故A错误；由左手定则可判断出载流子受力向前端偏转，若前端电势变低，意味着载流子带负电，故B正确；霍尔电压UH＝，c越大，UH越小，故C错误；每个轮齿经过，都会引发一次脉冲，则每分钟脉冲数量为2.7×105个，故D错误．

答案：B

2．(2018·北京卷)某空间存在匀强磁场和匀强电场．一个带电粒子(不计重力)以一定初速度射入该空间后，做匀速直线运动；若仅撤除电场，则该粒子做匀速圆周运动．下列因素与完成上述两类运动无关的是(　　)

A．磁场和电场的方向 B．磁场和电场的强弱

C．粒子的电性和电量 D．粒子入射时的速度

解析：在匀强磁场和匀强电场的叠加区域内，带电粒子做匀速直线运动，则速度方向与电场方向和磁场方向均垂直，qvB＝qE，故v＝.因此粒子是否在“速度选择器”中做匀速直线运动，与粒子的电性、电量均无关．撤去电场时，粒子速度方向仍与磁场垂直，满足做匀速圆周运动的条件．

答案：C

3．(2018·江苏卷)如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为4d，宽为d，中间两个磁场区域间隔为2d，中轴线与磁场区域两侧相交于O、O′点，各区域磁感应强度大小相等．某粒子质量为m、电荷量为＋q，从O沿轴线射入磁场．当入射速度为v0时，粒子从O上方处射出磁场．取sin 53 °＝0.8，cos 53°＝0.6.

(1)求磁感应强度大小B；

(2)入射速度为5v0时，求粒子从O运动到O′的时间t；

(3)入射速度仍为5v0，通过沿轴线OO′平移中间两个磁场(磁场不重叠)，可使粒子从O运动到O′的时间增加Δt，求Δt的最大值．

解析：(1)粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，

qv0B＝m，①

由题意知r0＝，②

由①②式解得B＝.③

(2)粒子运动轨迹如图，设粒子在矩形磁场中的偏转角为α.

由几何关系d＝rsin α，得sin α＝，即α＝53°，④

在一个矩形磁场中的运动时间t1＝·，⑤

解得t1＝，⑥

粒子做直线运动的时间t2＝，⑦

解得t2＝，⑧

则t＝4t1＋t2＝.⑨

(3)设将中间两磁场分别向中央移动距离x.

粒子向上的偏移量y＝2r(1－cos α)＋xtan α，⑩

由y≤2d，解得x≤d，⑪

则当xm＝d时，Δt有最大值．

粒子直线运动路程的最大值sm＝＋(2d－2xm)＝3d，⑫

增加路程的最大值Δsm＝sm－2d＝d，⑬

增加时间的最大值Δtm＝＝.⑭

答案：(1)　(2)　(3)

4．(2019·深圳模拟)如图所示，在坐标系xOy平面内，在x＝0和x＝L范围内分布着匀强磁场和匀强电场，磁场的下边界AP与y轴负方向成45°角，其磁感应强度为B，电场上边界为x轴，其电场强度为E.现有一束包含着各种速率的同种带负电粒子由A点垂直y轴射入磁场，带电粒子的比荷为.粒子重力不计，一部分粒子通过磁场偏转后由边界AP射出并进入电场区域．求：

(1)能够由AP边界射出的粒子的最大速率；

(2)粒子在电场中运动一段时间后由y轴射出电场，射出点与原点的最大距离．

解析：(1)粒子在磁场中做圆周运动，速度越大，半径越大．速度最大的粒子刚好由P点射出．

由牛顿第二定律得qvB＝，

由几何关系可知r＝L，解得v＝.

(2)粒子从P点离开后，垂直x轴进入电场，在竖直方向做匀速直线运动，在水平方向做匀加速直线运动．

由牛顿第二定律得a＝，

此粒子在电场中运动时有L＝at2，d＝vt，

解得d＝BL.

答案：(1)　(2)BL

5．(2019·衡水三模)如图甲所示为回旋加速器的工作原理示意图．置于真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝间距为d，匀强磁场B垂直盒面向下，加速电压U按如图乙所示的规律变化．若被加速粒子的质量为m、电荷量为＋q，粒子从A点飘入时的速度可忽略不计，且加速过程中不考虑相对论效应和重力的影响．

图甲　　　　　　　　　　　图乙

(1)求粒子第n次被加速前、后的轨道半径之比；

(2)要使前半个周期飘入的粒子中有超过90%的能射出，求狭缝间距d应满足的条件．

解析：(1)设粒子第n－1次经过狭缝后的速度为v1，半径为r1，则

q·(n－1)U0＝mv，qv1B＝m，

解得r1＝ ，

同理，粒子第n次经过狭缝后的半径r1＝ ，

则＝.

(2)设只有在0到时间内，飘入的粒子才能每次均被加速，

则所占的比例为η＝，

由于η>90%，解得t<，

由d＝at2得d< .

答案：(1) 　(2)d<

6.如图所示，质量为m、电荷量为q的带电粒子，以初速度v沿垂直磁场方向射入磁感应强度为B的匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动．不计带电粒子所受重力．

(1)求粒子做匀速圆周运动的半径R和周期T；

(2)为使该粒子做匀速直线运动，还需要同时存在一个与磁场方向垂直的匀强电场，求电场强度E的大小．

解析：(1)洛伦兹力提供向心力，有F洛＝qvB＝m，

带电粒子做匀速圆周运动的半径R＝，

匀速圆周运动的周期T＝＝.

(2)粒子受电场力F＝qE，洛伦兹力F洛＝qvB.粒子做匀速直线运动，则qE＝qvB.

场强E的大小E＝vB.

答案：(1)　　(2)vB

7．如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝5 N/C，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B＝0.5 T．有一带正电的小球，质量m＝1×10－6 kg，电荷量q＝2×10－6 C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，g取10 m/s2.求：

(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；

(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t.

解析：(1)小球匀速直线运动时受力如图，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有qvB＝，①

代入数据，解得

v＝20 m/s.②

速度v的方向与电场E的方向之间的夹角θ满足

tan θ＝，③

代入数据解得

θ＝60°.④

(2)小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，设其加速度为a，有

a＝.⑤

设撤掉磁场后小球在初速度方向上的分位移为x，有

x＝vt，⑥

设小球在重力与电场力的合力方向上分位移为y，有

y＝at2，⑦

a与mg的夹角和v与E的夹角相同，均为θ，又

tan θ＝.⑧

联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据，解得

t＝2 s≈3.5 s．⑨

答案：(1)20 m/s，方向与电场方向成60°角斜向上

(2)3.5 s