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2021高三统考人教物理一轮（经典版）学案：第4章第1讲 曲线运动 运动的合成与分解
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第四章 曲线运动 万有引力与航天
高考地位
高考对本章中知识点考查频率较高的是平抛运动、圆周运动及万有引力定律的应用。单独命题常以选择题的形式出现；与牛顿运动定律、功能关系、电磁学知识综合命题常以计算题形式出现。
考纲下载
1.运动的合成与分解(Ⅱ)
2．抛体运动(Ⅱ)
3．匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度(Ⅰ)
4．匀速圆周运动的向心力(Ⅱ)
5．离心现象(Ⅰ)
6．万有引力定律及其应用(Ⅱ)
7．环绕速度(Ⅱ)
8．第二宇宙速度和第三宇宙速度(Ⅰ)
9．经典时空观和相对论时空观(Ⅰ)
考纲解读
1.运动的合成与分解是研究曲线运动的基本方法，为抛体运动、类平抛运动的研究提供了理论基础，同时也是高考命题的重点。
2．平抛运动的规律及其研究方法是重点内容，也是高考的热点内容。常与静电场、动能定理、功能关系、直线运动、圆周运动等知识相结合。
3．高考对匀速圆周运动的向心力要求较高，考题多与机械能、电场、磁场等知识综合，考查的形式多样化，各种题型都有涉及，复习时应注重曲线运动特别是圆周运动与生产、生活、高科技的联系。
4．天体运动的学习是圆周运动和牛顿运动定律的应用和延伸，万有引力定律与牛顿运动定律结合分析天体、人造卫星、宇宙飞船、航天飞机的运动问题，估算天体的质量和密度问题，反映了物理学与现代科技发展的密切联系，是每年高考的命题热点。
第1讲 曲线运动 运动的合成与分解
主干梳理 对点激活
对应学生用书P071
知识点 曲线运动 Ⅱ
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线上该点的切线方向。
2．运动性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度。
3．物体做曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。
(2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上。
知识点 运动的合成与分解 Ⅱ
1．基本概念
(1)分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动即分运动，物体的实际运动即合运动。
(2)运动的合成：已知分运动求合运动，包括位移、速度和加速度的合成。
(3)运动的分解：已知合运动求分运动，解题时应按实际效果分解，或正交分解。
2．遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
3．合运动的性质
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
一 堵点疏通
1．速度发生变化的运动，一定是曲线运动。( )
2．做曲线运动的物体一定受变力作用。( )
3．做曲线运动的物体，所受合外力的方向一定指向曲线的凹侧。( )
4．做匀变速曲线运动的物体，速度方向时刻改变，但永远不可能与所受合外力的方向相同。( )
5．两个直线运动的合运动一定是直线运动。( )
6．两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。( )
答案 1.× 2.× 3.√ 4.√ 5.× 6.√
二 对点激活
1．(人教版必修2·P4·演示实验改编)如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮。在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管以速度v水平向右匀速运动。红蜡块由管口上升到顶端，所需时间为t，相对地面通过的路程为L。则下列说法正确的是( )
A．v增大时，L减小 B．v增大时，L增大
C．v增大时，t减小 D．v增大时，t增大
答案 B
解析 由合运动与分运动的等时性知，红蜡块沿管上升的高度和速度不变，运动时间不变，管匀速运动的速度越大，则合速度越大，合位移越大，B正确。
2．(人教版必修2·P7·T2改编) (多选)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如右图所示，当运动员从直升飞机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
答案 BC
解析 运动员同时参与两个分运动。竖直向下的运动，水平方向沿风力的运动。两个分运动具有独立性、等时性，竖直分运动不受风力影响，所以运动员下落时间由竖直方向求，与风力无关，风力越大，水平分速度越大，落地的合速度越大，有可能对运动员造成伤害，故B、C正确。
3. (人教版必修2·P6·演示实验改编)小文同学在探究物体做曲线运动的条件时，将一条形磁铁放在桌面的不同位置，让小钢珠在水平桌面上从同一位置以相同初速度v0运动，得到不同轨迹。图中a、b、c、d为其中四条运动轨迹，磁铁放在位置A时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)，磁铁放在位置B时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)。实验表明，当物体所受合外力的方向跟它的速度方向________(选填“在”或“不在”)同一直线上时，物体做曲线运动。
答案 b c 不在
解析 磁铁对小钢珠有吸引力，当磁铁放在位置A，即在小钢珠的正前方时，小钢珠所受合力的方向与运动的方向在同一条直线上，所以其运动轨迹为直线，故应是b；当磁铁放在位置B时，小钢珠受磁铁的吸引而逐渐接近磁铁，所以其运动轨迹是c；当物体所受的合外力方向与它的速度的方向在同一条直线上时，其轨迹是直线，当不在同一条直线上时，是曲线。
考点细研 悟法培优
考点1 合运动的性质和轨迹
1.合运动性质的判断
(1)合加速度(或合外力)
(2)
2．合外力方向与轨迹的关系
无力不拐弯，拐弯必有力。物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的凹侧。
3．合外力与速率变化的关系
合外力在垂直速度方向上的分力改变速度的方向，在沿速度方向的分力改变速度的大小，故合外力与速率变化的关系为：
(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
(2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
(3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
例1 (多选)光滑水平面上一运动质点以速度v0通过点O，如图所示，与此同时给质点加上沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则( )
A．因为有Fx，质点一定做曲线运动
B．如果Fy
D．如果Fx>Fycotα，质点向x轴一侧做曲线运动
(1)物体做曲线运动的条件是什么？
提示：有初速度，且受到与初速度不在一条直线上的合外力。
(2)合力方向与轨迹的关系是什么？
提示：合力方向指向轨迹凹侧。
尝试解答 选CD。
若Fy＝Fxtanα，合力方向与速度方向在同一条直线上，质点做直线运动；若Fx>Fycotα，合力方向指向v0与x轴之间，质点向x轴一侧做曲线运动，故C、D正确，A、B错误。
决定物体运动轨迹的两因素
决定物体运动轨迹的因素：一是初速度，二是合力，而物体运动的轨迹在合力与速度方向的夹角范围内，且弯向受力方向，这是分析该类问题的技巧。
[变式1－1] 一个物体在光滑水平面上以初速度v0做曲线运动，已知此过程中水平方向只受一个恒力的作用，运动轨迹如图所示，M点的速度为v0，则由M到N的过程中，速度大小的变化为( )
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
答案 D
解析 由于物体受到恒力作用，由轨迹的弯曲可知，力F的方向为向下方向，且比v的方向向左偏折得多一些，由此可知力F与v0的夹角为钝角，力F沿轨迹切线方向的分量使速度逐渐减小，当速度方向与力F的方向垂直时，速度最小，而当速度的方向变化为与力F的方向成锐角后，物体的速度又逐渐增大，由此可知物体在由M到N运动的过程中速度应是先减小后增大，故D正确。
[变式1－2] 质点在xOy平面内从O点开始运动的轨迹如图所示，已知质点在y方向的分运动是匀速运动，则关于质点运动的描述正确的是( )
A．质点先减速运动后加速运动
B．质点所受合外力的方向先沿x正方向后沿x负方向
C．质点的加速度方向始终与速度方向垂直
D．质点所受合外力的大小不可能恒定不变
答案 B
解析 质点所受合外力方向与加速度方向相同，质点在y方向的分运动是匀速运动，Fy＝0，合外力一定在x方向上，由于合外力指向曲线轨迹的凹侧，所以合外力方向先沿x正方向后沿x负方向，B正确；速度沿轨迹的切线方向，所以合力方向先与速度成锐角后与速度成钝角，质点先加速运动后减速运动，A错误；加速度总沿x方向，而速度并不总沿y方向，因此加速度方向并不始终与速度方向垂直，C错误；质点在x方向的加速度大小可能是恒定值，因此合外力的大小也可能是恒定值，D错误。
考点2 运动的合成与分解
1.合运动和分运动的关系
(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始、同时进行、同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响。
(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。
(4)同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动。
2．运动的合成与分解的运算法则：运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。
例2 (多选)如图在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业。为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，人同时相对梯子匀速向上运动。在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是( )
A．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动
B．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动
C．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动
D．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速直线运动
(1)消防队员同时参与了哪两个分运动？
提示：沿梯子向上的匀速运动和随车前进。
(2)两个直线运动的合运动取决于什么？
提示：合初速度与合加速度(或合力)的方向。
尝试解答 选BC。
两个互成角度的匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动，互成角度的一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动是匀变速曲线运动。当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动，B正确，A错误；当消防车匀加速前进时，因消防车加速度恒定，且与消防队员的运动方向有一定夹角，故消防队员一定做匀变速曲线运动，C正确，D错误。
求解运动的合成与分解问题的技巧
(1)求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动与分运动具有等时性、独立性。
(2)物体的实际运动是合运动。运动分解时一般按运动效果进行分解。
[变式2－1] 如图所示，当汽车静止时，车内乘客看到窗外雨滴沿竖直方向OE匀速运动。若汽车从静止开始分别做甲、乙两种匀加速启动，则甲种启动后经过时间t1，乘客看到雨滴从B处离开车窗，乙种启动后经过时间t2，乘客看到雨滴从F处离开车窗。F为AB中点。则t1∶t2为( )
A．2∶1 B．1∶
C．1∶ D．1∶(－1)
答案 A
解析 根据题意可知，雨滴在竖直方向上做匀速直线运动，在水平方向做匀加速直线运动，因为分运动与合运动具有等时性，则＝∶＝，故A正确。
[变式2－2] (2019·山东临沂第一中学模拟)质量为m＝2 kg的物体(可视为质点)静止在光滑水平面上的直角坐标系的原点O处，先用沿x轴正方向的力F1＝8 N作用2 s，然后撤去F1；再用沿y轴正方向的力F2＝10 N作用2 s。则物体在这4 s内的轨迹为( )
答案 D
解析 质点在F1的作用下由静止开始从坐标系的原点O沿x轴正方向做匀加速直线运动，加速度a1＝＝4 m/s2，2 s末的速度为v1＝a1t1＝8 m/s，位移x1＝a1t＝8 m，到2 s末撤去F1，再受到沿y轴正方向的力F2的作用，在F2作用的2 s内，物体在x轴正方向做匀速直线运动，x2＝v1t2＝16 m，在y轴正方向做匀加速直线运动，加速度a2＝＝5 m/s2，方向向上，竖直方向的位移y＝a2t＝10 m，再根据曲线运动的加速度方向指向轨迹凹侧，可知D正确，A、B、C错误。
考点3 关联速度问题
1.问题特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
2．思路与方法
(1)明确研究对象
绳(或杆)连接的物体，或绳(或杆)的端点。
(2)明确合运动与分运动
合速度→物体的实际运动速度v
分速度→
遵循的法则：v的分解(或v1与v2的合成)遵循平行四边形定则。
(3)明确等量关系
沿绳(或杆)方向的分速度大小相等。
例3 (2020·福建省晋江市南侨中学高三上阶段考试)如图所示，悬线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边缘。现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边缘，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球移动的速度大小为( )
A．v B．vsinθ
C．vtanθ D.
(1)哪个速度是合速度？
提示：光盘向右的速度。
(2)小球上升的速度和哪个速度相等？
提示：光盘沿悬线分速度。
尝试解答 选A。
将光盘水平向右移动的速度v分解为沿悬线方向的速度和垂直于悬线方向的速度，而小球上升的速度大小与速度v沿悬线方向的分速度大小相等，为vsinθ，故小球的运动速度大小为＝v，故A正确。
关联速度问题常见模型
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
拓展：若两物体运动过程中不是通过绳或杆连接，而是直接接触，则两物体在垂直接触面方向的分速度相等。也可以将这种情况看做两物体在接触处有一根极短的杆或绳。
[变式3－1] 一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)，将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2
时，球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，球B的速度大小为v2，则( )
A．v2＝v1 B．v2＝2v1
C．v2＝v1 D．v2＝v1
答案 C
解析 将v1、v2均沿杆和垂直杆分解，由图知两球沿杆方向速度大小相等，即v1sinθ＝v2sinθ，得v1＝v2，故C正确。
[变式3－2] (2019·安徽期末联考)如图所示，将楔形木块B放在光滑水平面上靠墙边处并用手扶着，然后在木块和墙面之间放入一个小球A，楔形木块的倾角为θ，放手让小球和木块同时由静止开始运动，某时刻二者速度分别为vA和vB，则( )
A．vA∶vB＝1∶1 B．vA∶vB＝sinθ∶cosθ
C．vA∶vB＝cosθ∶sinθ D．vA∶vB＝sinθ∶tanθ
答案 B
解析 因为小球和木块总是相互接触的，所以小球的速度vA和木块的速度vB在垂直于接触面方向上的分速度相等，即：vAcosθ＝vBsinθ，故vA∶vB＝sinθ∶cosθ，B正确。
建模提能1 小船渡河模型
对应学生用书P074
1.模型构建
在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动，其中一个速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化。我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。这样的运动系统可看做“小船渡河模型”。
2．模型条件
(1)物体同时参与两个匀速直线运动。
(2)一个分运动速度大小和方向保持不变，另一个分运动速度大小不变，方向可在一定范围内变化。
3．模型特点
(1)船的实际运动是随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
(2)三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v合。
(3)三种情景
渡河
时间
最短
当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河
位移
最短
如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cosθ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船
一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。
(1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(3)若船在静水中的速度v2＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
[解析] (1)若v2＝5 m/s，欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直河岸分速度为
v⊥＝v2＝5 m/s。
t＝＝＝ s＝36 s
v合＝＝ m/s
x＝v合t＝90 m。
(2)若v2＝5 m/s，欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向。船头应朝图乙中的v2方向。
垂直河岸过河要求v∥＝0，如图乙所示，有v2sinα＝v1，得α＝30°。
所以当船头与上游河岸成60°角时航程最短，
x＝d＝180 m
t＝＝＝ s＝24 s。
(3)若v2＝1.5 m/s，与(2)中不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程x＝，欲使航程最短，需α最大，如图丙所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心，v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线为合速度方向，欲使v合与河岸下游方向夹角最大，应使v合与圆相切，即v合⊥v2。
sinα＝＝，得α＝37°
所以船头应朝与上游河岸成53°角方向。
t＝＝ s＝150 s
x＝＝300 m。
[答案] (1)船头垂直于河岸 36 s 90 m
(2)船头与上游河岸成60°角 24 s 180 m
(3)船头与上游河岸成53°角 150 s 300 m
名师点睛 求解小船渡河问题的方法
小船渡河问题有两类：一是求渡河时间，二是求渡河位移。无论哪类都必须明确以下四点：
(1)解决问题的关键：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动。船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。
(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流方向和船头指向分解。
(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。求解渡河时间，一般根据运动的独立性t＝＝＝。
(4)求最短渡河位移时，当水速小于船速时即为河宽，当水速大于船速时，根据船速v船与水流速度v水的情况用三角形定则求极限的方法处理。
【针对训练】
如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝x(m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法正确的是( )
A．小船渡河的轨迹为直线
B．小船在河水中的最大速度是5 m/s
C．小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度
D．小船渡河的时间是160 s
答案 B
解析 因水速是变量，所以船速与水速的合速度方向在改变，小船渡河的轨迹是曲线，故A错误；当船到河中央时，水速最大且为v水m＝3 m/s，则船在河水中最大速度为vmax＝＝5 m/s，故B正确；小船在距南岸200 m处和距北岸200 m处时水流速度均为1.5 m/s，船速大小相等，故C错误；渡河时间t＝＝200 s，故D错误。
高考模拟 随堂集训
对应学生用书P075
1．(2018·北京高考)根据高中所学知识可知，做自由落体运动的小球，将落在正下方位置。但实际上，赤道上方200 m处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约6 cm处，这一现象可解释为，除重力外，由于地球自转，下落过程小球还受到一个水平向东的“力”，该“力”与竖直方向的速度大小成正比，现将小球从赤道地面竖直上抛，考虑对称性，上升过程该“力”水平向西，则小球( )
A．到最高点时，水平方向的加速度和速度均为零
B．到最高点时，水平方向的加速度和速度均不为零
C．落地点在抛出点东侧
D．落地点在抛出点西侧
答案 D
解析 上升过程水平方向向西加速运动，在最高点竖直方向上速度为零，水平方向的“力”为零，所以水平方向的加速度为零，但水平方向上有向西的速度，且有竖直向下的加速度，故A、B错误；下降过程水平方向受到一个向东的“力”而向西减速运动，按照对称性落至地面时水平速度为零，整个过程都在向西运动，所以落点在抛出点的西侧，故C错误，D正确。
2. (2015·全国卷Ⅱ)由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行。已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示。发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为( )
A．西偏北方向，1.9×103 m/s
B．东偏南方向，1.9×103 m/s
C．西偏北方向，2.7×103 m/s
D．东偏南方向，2.7×103 m/s
答案 B
解析 卫星在转移轨道经赤道上空时速度v1＝1.55×103 m/s，同步卫星的环绕速度v＝3.1×103 m/s，设发动机给卫星的附加速度为v2，由平行四边形定则，三个速度间关系如图所示，由余弦定理可得v2＝≈1.9×103 m/s，方向：东偏南，B正确。
3．(2015·广东高考) 如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行。以帆板为参照物( )
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
答案 D
解析 以帆板为参考系，帆船既有向东运动的分速度，大小为v，又有向北运动的分速度，大小也为v，因此帆船相对帆板运动的速度大小为v′＝＝v，方向为北偏东45°，D项正确。
4．(2019·安徽皖中名校联盟高三第一次模拟联考)如图所示，在一张白纸上，用手平推直尺沿纵向匀速移动，同时让铅笔尖靠着直尺沿横向匀加速移动，则笔尖画出的轨迹应为( )
答案 C
解析 笔尖在水平方向做匀加速直线运动，在竖直方向做匀速直线运动，结合合力指向曲线运动轨迹的凹侧可知C正确。
5．(2019·山西省三模)2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器自主着陆在月球背面南极—艾特肯盆地内的冯卡门撞击坑内，实现了人类探测器首次在月球背面软着陆。“嫦娥四号”从距月面15 km的近月轨道下降着陆必须实行动力下降，通过发动机喷气获得动力。其减速着陆的轨迹如图所示，其中ab段为主减速段，假设ab段轨迹为倾斜直线，则在ab段发动机喷气的方向可能是( )
A．v1方向 B．v2方向
C．v3方向 D．v4方向
答案 C
解析 “嫦娥四号”在ab段做减速直线运动，故受到的合力方向与运动方向相反，如图所示，因受到的重力竖直向下，通过力的合成与分解可知喷气发动机的喷气方向与图中F气方向相反，故可能为v3方向，C正确，A、B、D错误。
第四章 曲线运动 万有引力与航天
高考地位
高考对本章中知识点考查频率较高的是平抛运动、圆周运动及万有引力定律的应用。单独命题常以选择题的形式出现；与牛顿运动定律、功能关系、电磁学知识综合命题常以计算题形式出现。
考纲下载
1.运动的合成与分解(Ⅱ)
2．抛体运动(Ⅱ)
3．匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度(Ⅰ)
4．匀速圆周运动的向心力(Ⅱ)
5．离心现象(Ⅰ)
6．万有引力定律及其应用(Ⅱ)
7．环绕速度(Ⅱ)
8．第二宇宙速度和第三宇宙速度(Ⅰ)
9．经典时空观和相对论时空观(Ⅰ)
考纲解读
1.运动的合成与分解是研究曲线运动的基本方法，为抛体运动、类平抛运动的研究提供了理论基础，同时也是高考命题的重点。
2．平抛运动的规律及其研究方法是重点内容，也是高考的热点内容。常与静电场、动能定理、功能关系、直线运动、圆周运动等知识相结合。
3．高考对匀速圆周运动的向心力要求较高，考题多与机械能、电场、磁场等知识综合，考查的形式多样化，各种题型都有涉及，复习时应注重曲线运动特别是圆周运动与生产、生活、高科技的联系。
4．天体运动的学习是圆周运动和牛顿运动定律的应用和延伸，万有引力定律与牛顿运动定律结合分析天体、人造卫星、宇宙飞船、航天飞机的运动问题，估算天体的质量和密度问题，反映了物理学与现代科技发展的密切联系，是每年高考的命题热点。
第1讲 曲线运动 运动的合成与分解
主干梳理 对点激活
对应学生用书P071
知识点 曲线运动 Ⅱ
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线上该点的切线方向。
2．运动性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度。
3．物体做曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。
(2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上。
知识点 运动的合成与分解 Ⅱ
1．基本概念
(1)分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动即分运动，物体的实际运动即合运动。
(2)运动的合成：已知分运动求合运动，包括位移、速度和加速度的合成。
(3)运动的分解：已知合运动求分运动，解题时应按实际效果分解，或正交分解。
2．遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
3．合运动的性质
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
一 堵点疏通
1．速度发生变化的运动，一定是曲线运动。( )
2．做曲线运动的物体一定受变力作用。( )
3．做曲线运动的物体，所受合外力的方向一定指向曲线的凹侧。( )
4．做匀变速曲线运动的物体，速度方向时刻改变，但永远不可能与所受合外力的方向相同。( )
5．两个直线运动的合运动一定是直线运动。( )
6．两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。( )
答案 1.× 2.× 3.√ 4.√ 5.× 6.√
二 对点激活
1．(人教版必修2·P4·演示实验改编)如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮。在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管以速度v水平向右匀速运动。红蜡块由管口上升到顶端，所需时间为t，相对地面通过的路程为L。则下列说法正确的是( )
A．v增大时，L减小 B．v增大时，L增大
C．v增大时，t减小 D．v增大时，t增大
答案 B
解析 由合运动与分运动的等时性知，红蜡块沿管上升的高度和速度不变，运动时间不变，管匀速运动的速度越大，则合速度越大，合位移越大，B正确。
2．(人教版必修2·P7·T2改编) (多选)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如右图所示，当运动员从直升飞机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
答案 BC
解析 运动员同时参与两个分运动。竖直向下的运动，水平方向沿风力的运动。两个分运动具有独立性、等时性，竖直分运动不受风力影响，所以运动员下落时间由竖直方向求，与风力无关，风力越大，水平分速度越大，落地的合速度越大，有可能对运动员造成伤害，故B、C正确。
3. (人教版必修2·P6·演示实验改编)小文同学在探究物体做曲线运动的条件时，将一条形磁铁放在桌面的不同位置，让小钢珠在水平桌面上从同一位置以相同初速度v0运动，得到不同轨迹。图中a、b、c、d为其中四条运动轨迹，磁铁放在位置A时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)，磁铁放在位置B时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)。实验表明，当物体所受合外力的方向跟它的速度方向________(选填“在”或“不在”)同一直线上时，物体做曲线运动。
答案 b c 不在
解析 磁铁对小钢珠有吸引力，当磁铁放在位置A，即在小钢珠的正前方时，小钢珠所受合力的方向与运动的方向在同一条直线上，所以其运动轨迹为直线，故应是b；当磁铁放在位置B时，小钢珠受磁铁的吸引而逐渐接近磁铁，所以其运动轨迹是c；当物体所受的合外力方向与它的速度的方向在同一条直线上时，其轨迹是直线，当不在同一条直线上时，是曲线。
考点细研 悟法培优
考点1 合运动的性质和轨迹
1.合运动性质的判断
(1)合加速度(或合外力)
(2)
2．合外力方向与轨迹的关系
无力不拐弯，拐弯必有力。物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的凹侧。
3．合外力与速率变化的关系
合外力在垂直速度方向上的分力改变速度的方向，在沿速度方向的分力改变速度的大小，故合外力与速率变化的关系为：
(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
(2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
(3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
例1 (多选)光滑水平面上一运动质点以速度v0通过点O，如图所示，与此同时给质点加上沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则( )
A．因为有Fx，质点一定做曲线运动
B．如果Fy
D．如果Fx>Fycotα，质点向x轴一侧做曲线运动
(1)物体做曲线运动的条件是什么？
提示：有初速度，且受到与初速度不在一条直线上的合外力。
(2)合力方向与轨迹的关系是什么？
提示：合力方向指向轨迹凹侧。
尝试解答 选CD。
若Fy＝Fxtanα，合力方向与速度方向在同一条直线上，质点做直线运动；若Fx>Fycotα，合力方向指向v0与x轴之间，质点向x轴一侧做曲线运动，故C、D正确，A、B错误。
决定物体运动轨迹的两因素
决定物体运动轨迹的因素：一是初速度，二是合力，而物体运动的轨迹在合力与速度方向的夹角范围内，且弯向受力方向，这是分析该类问题的技巧。
[变式1－1] 一个物体在光滑水平面上以初速度v0做曲线运动，已知此过程中水平方向只受一个恒力的作用，运动轨迹如图所示，M点的速度为v0，则由M到N的过程中，速度大小的变化为( )
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
答案 D
解析 由于物体受到恒力作用，由轨迹的弯曲可知，力F的方向为向下方向，且比v的方向向左偏折得多一些，由此可知力F与v0的夹角为钝角，力F沿轨迹切线方向的分量使速度逐渐减小，当速度方向与力F的方向垂直时，速度最小，而当速度的方向变化为与力F的方向成锐角后，物体的速度又逐渐增大，由此可知物体在由M到N运动的过程中速度应是先减小后增大，故D正确。
[变式1－2] 质点在xOy平面内从O点开始运动的轨迹如图所示，已知质点在y方向的分运动是匀速运动，则关于质点运动的描述正确的是( )
A．质点先减速运动后加速运动
B．质点所受合外力的方向先沿x正方向后沿x负方向
C．质点的加速度方向始终与速度方向垂直
D．质点所受合外力的大小不可能恒定不变
答案 B
解析 质点所受合外力方向与加速度方向相同，质点在y方向的分运动是匀速运动，Fy＝0，合外力一定在x方向上，由于合外力指向曲线轨迹的凹侧，所以合外力方向先沿x正方向后沿x负方向，B正确；速度沿轨迹的切线方向，所以合力方向先与速度成锐角后与速度成钝角，质点先加速运动后减速运动，A错误；加速度总沿x方向，而速度并不总沿y方向，因此加速度方向并不始终与速度方向垂直，C错误；质点在x方向的加速度大小可能是恒定值，因此合外力的大小也可能是恒定值，D错误。
考点2 运动的合成与分解
1.合运动和分运动的关系
(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始、同时进行、同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响。
(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。
(4)同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动。
2．运动的合成与分解的运算法则：运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。
例2 (多选)如图在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业。为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，人同时相对梯子匀速向上运动。在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是( )
A．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动
B．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动
C．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动
D．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速直线运动
(1)消防队员同时参与了哪两个分运动？
提示：沿梯子向上的匀速运动和随车前进。
(2)两个直线运动的合运动取决于什么？
提示：合初速度与合加速度(或合力)的方向。
尝试解答 选BC。
两个互成角度的匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动，互成角度的一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动是匀变速曲线运动。当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动，B正确，A错误；当消防车匀加速前进时，因消防车加速度恒定，且与消防队员的运动方向有一定夹角，故消防队员一定做匀变速曲线运动，C正确，D错误。
求解运动的合成与分解问题的技巧
(1)求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动与分运动具有等时性、独立性。
(2)物体的实际运动是合运动。运动分解时一般按运动效果进行分解。
[变式2－1] 如图所示，当汽车静止时，车内乘客看到窗外雨滴沿竖直方向OE匀速运动。若汽车从静止开始分别做甲、乙两种匀加速启动，则甲种启动后经过时间t1，乘客看到雨滴从B处离开车窗，乙种启动后经过时间t2，乘客看到雨滴从F处离开车窗。F为AB中点。则t1∶t2为( )
A．2∶1 B．1∶
C．1∶ D．1∶(－1)
答案 A
解析 根据题意可知，雨滴在竖直方向上做匀速直线运动，在水平方向做匀加速直线运动，因为分运动与合运动具有等时性，则＝∶＝，故A正确。
[变式2－2] (2019·山东临沂第一中学模拟)质量为m＝2 kg的物体(可视为质点)静止在光滑水平面上的直角坐标系的原点O处，先用沿x轴正方向的力F1＝8 N作用2 s，然后撤去F1；再用沿y轴正方向的力F2＝10 N作用2 s。则物体在这4 s内的轨迹为( )
答案 D
解析 质点在F1的作用下由静止开始从坐标系的原点O沿x轴正方向做匀加速直线运动，加速度a1＝＝4 m/s2，2 s末的速度为v1＝a1t1＝8 m/s，位移x1＝a1t＝8 m，到2 s末撤去F1，再受到沿y轴正方向的力F2的作用，在F2作用的2 s内，物体在x轴正方向做匀速直线运动，x2＝v1t2＝16 m，在y轴正方向做匀加速直线运动，加速度a2＝＝5 m/s2，方向向上，竖直方向的位移y＝a2t＝10 m，再根据曲线运动的加速度方向指向轨迹凹侧，可知D正确，A、B、C错误。
考点3 关联速度问题
1.问题特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
2．思路与方法
(1)明确研究对象
绳(或杆)连接的物体，或绳(或杆)的端点。
(2)明确合运动与分运动
合速度→物体的实际运动速度v
分速度→
遵循的法则：v的分解(或v1与v2的合成)遵循平行四边形定则。
(3)明确等量关系
沿绳(或杆)方向的分速度大小相等。
例3 (2020·福建省晋江市南侨中学高三上阶段考试)如图所示，悬线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边缘。现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边缘，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球移动的速度大小为( )
A．v B．vsinθ
C．vtanθ D.
(1)哪个速度是合速度？
提示：光盘向右的速度。
(2)小球上升的速度和哪个速度相等？
提示：光盘沿悬线分速度。
尝试解答 选A。
将光盘水平向右移动的速度v分解为沿悬线方向的速度和垂直于悬线方向的速度，而小球上升的速度大小与速度v沿悬线方向的分速度大小相等，为vsinθ，故小球的运动速度大小为＝v，故A正确。
关联速度问题常见模型
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
拓展：若两物体运动过程中不是通过绳或杆连接，而是直接接触，则两物体在垂直接触面方向的分速度相等。也可以将这种情况看做两物体在接触处有一根极短的杆或绳。
[变式3－1] 一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)，将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2
时，球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，球B的速度大小为v2，则( )
A．v2＝v1 B．v2＝2v1
C．v2＝v1 D．v2＝v1
答案 C
解析 将v1、v2均沿杆和垂直杆分解，由图知两球沿杆方向速度大小相等，即v1sinθ＝v2sinθ，得v1＝v2，故C正确。
[变式3－2] (2019·安徽期末联考)如图所示，将楔形木块B放在光滑水平面上靠墙边处并用手扶着，然后在木块和墙面之间放入一个小球A，楔形木块的倾角为θ，放手让小球和木块同时由静止开始运动，某时刻二者速度分别为vA和vB，则( )
A．vA∶vB＝1∶1 B．vA∶vB＝sinθ∶cosθ
C．vA∶vB＝cosθ∶sinθ D．vA∶vB＝sinθ∶tanθ
答案 B
解析 因为小球和木块总是相互接触的，所以小球的速度vA和木块的速度vB在垂直于接触面方向上的分速度相等，即：vAcosθ＝vBsinθ，故vA∶vB＝sinθ∶cosθ，B正确。
建模提能1 小船渡河模型
对应学生用书P074
1.模型构建
在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动，其中一个速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化。我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。这样的运动系统可看做“小船渡河模型”。
2．模型条件
(1)物体同时参与两个匀速直线运动。
(2)一个分运动速度大小和方向保持不变，另一个分运动速度大小不变，方向可在一定范围内变化。
3．模型特点
(1)船的实际运动是随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
(2)三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v合。
(3)三种情景
渡河
时间
最短
当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河
位移
最短
如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cosθ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船
一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。
(1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(3)若船在静水中的速度v2＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
[解析] (1)若v2＝5 m/s，欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直河岸分速度为
v⊥＝v2＝5 m/s。
t＝＝＝ s＝36 s
v合＝＝ m/s
x＝v合t＝90 m。
(2)若v2＝5 m/s，欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向。船头应朝图乙中的v2方向。
垂直河岸过河要求v∥＝0，如图乙所示，有v2sinα＝v1，得α＝30°。
所以当船头与上游河岸成60°角时航程最短，
x＝d＝180 m
t＝＝＝ s＝24 s。
(3)若v2＝1.5 m/s，与(2)中不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程x＝，欲使航程最短，需α最大，如图丙所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心，v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线为合速度方向，欲使v合与河岸下游方向夹角最大，应使v合与圆相切，即v合⊥v2。
sinα＝＝，得α＝37°
所以船头应朝与上游河岸成53°角方向。
t＝＝ s＝150 s
x＝＝300 m。
[答案] (1)船头垂直于河岸 36 s 90 m
(2)船头与上游河岸成60°角 24 s 180 m
(3)船头与上游河岸成53°角 150 s 300 m
名师点睛 求解小船渡河问题的方法
小船渡河问题有两类：一是求渡河时间，二是求渡河位移。无论哪类都必须明确以下四点：
(1)解决问题的关键：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动。船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。
(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流方向和船头指向分解。
(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。求解渡河时间，一般根据运动的独立性t＝＝＝。
(4)求最短渡河位移时，当水速小于船速时即为河宽，当水速大于船速时，根据船速v船与水流速度v水的情况用三角形定则求极限的方法处理。
【针对训练】
如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝x(m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法正确的是( )
A．小船渡河的轨迹为直线
B．小船在河水中的最大速度是5 m/s
C．小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度
D．小船渡河的时间是160 s
答案 B
解析 因水速是变量，所以船速与水速的合速度方向在改变，小船渡河的轨迹是曲线，故A错误；当船到河中央时，水速最大且为v水m＝3 m/s，则船在河水中最大速度为vmax＝＝5 m/s，故B正确；小船在距南岸200 m处和距北岸200 m处时水流速度均为1.5 m/s，船速大小相等，故C错误；渡河时间t＝＝200 s，故D错误。
高考模拟 随堂集训
对应学生用书P075
1．(2018·北京高考)根据高中所学知识可知，做自由落体运动的小球，将落在正下方位置。但实际上，赤道上方200 m处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约6 cm处，这一现象可解释为，除重力外，由于地球自转，下落过程小球还受到一个水平向东的“力”，该“力”与竖直方向的速度大小成正比，现将小球从赤道地面竖直上抛，考虑对称性，上升过程该“力”水平向西，则小球( )
A．到最高点时，水平方向的加速度和速度均为零
B．到最高点时，水平方向的加速度和速度均不为零
C．落地点在抛出点东侧
D．落地点在抛出点西侧
答案 D
解析 上升过程水平方向向西加速运动，在最高点竖直方向上速度为零，水平方向的“力”为零，所以水平方向的加速度为零，但水平方向上有向西的速度，且有竖直向下的加速度，故A、B错误；下降过程水平方向受到一个向东的“力”而向西减速运动，按照对称性落至地面时水平速度为零，整个过程都在向西运动，所以落点在抛出点的西侧，故C错误，D正确。
2. (2015·全国卷Ⅱ)由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行。已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示。发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为( )
A．西偏北方向，1.9×103 m/s
B．东偏南方向，1.9×103 m/s
C．西偏北方向，2.7×103 m/s
D．东偏南方向，2.7×103 m/s
答案 B
解析 卫星在转移轨道经赤道上空时速度v1＝1.55×103 m/s，同步卫星的环绕速度v＝3.1×103 m/s，设发动机给卫星的附加速度为v2，由平行四边形定则，三个速度间关系如图所示，由余弦定理可得v2＝≈1.9×103 m/s，方向：东偏南，B正确。
3．(2015·广东高考) 如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行。以帆板为参照物( )
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
答案 D
解析 以帆板为参考系，帆船既有向东运动的分速度，大小为v，又有向北运动的分速度，大小也为v，因此帆船相对帆板运动的速度大小为v′＝＝v，方向为北偏东45°，D项正确。
4．(2019·安徽皖中名校联盟高三第一次模拟联考)如图所示，在一张白纸上，用手平推直尺沿纵向匀速移动，同时让铅笔尖靠着直尺沿横向匀加速移动，则笔尖画出的轨迹应为( )
答案 C
解析 笔尖在水平方向做匀加速直线运动，在竖直方向做匀速直线运动，结合合力指向曲线运动轨迹的凹侧可知C正确。
5．(2019·山西省三模)2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器自主着陆在月球背面南极—艾特肯盆地内的冯卡门撞击坑内，实现了人类探测器首次在月球背面软着陆。“嫦娥四号”从距月面15 km的近月轨道下降着陆必须实行动力下降，通过发动机喷气获得动力。其减速着陆的轨迹如图所示，其中ab段为主减速段，假设ab段轨迹为倾斜直线，则在ab段发动机喷气的方向可能是( )
A．v1方向 B．v2方向
C．v3方向 D．v4方向
答案 C
解析 “嫦娥四号”在ab段做减速直线运动，故受到的合力方向与运动方向相反，如图所示，因受到的重力竖直向下，通过力的合成与分解可知喷气发动机的喷气方向与图中F气方向相反，故可能为v3方向，C正确，A、B、D错误。
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