2021高三物理人教版一轮学案：第五章第3讲　机械能守恒定律及其应用


第3讲　机械能守恒定律及其应用
ZHI SHI SHU LI ZI CE GONG GU
知识梳理·自测巩固
知识点1　重力做功与重力势能
1．重力做功的特点
(1)重力做功与__路径__无关，只与始、末位置的__高度差__有关。
(2)重力做功不引起物体__机械能__的变化。
2．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能__减小__；重力对物体做负功，重力势能__增大__。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的__减少量__，即WG＝__Ep1－Ep2__＝__－ΔEp__。
(3)重力势能的变化量是绝对的，与参考平面的选取__无关__。
3．弹性势能
(1)概念：物体由于发生__弹性形变__而具有的能。
(2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量__越大__，劲度系数__越大__，弹簧的弹性势能越大。
思考：如图所示，起重机正在向高处起吊重物。

(1)重物上升过程中，重力势能怎么变化？重力做什么功？
(2)若被吊重物的质量为2吨，将它从地面起吊至20米高的楼层。则重物的重力势能变化了多少？重力做了多少功？两者存在什么关系？
[答案]　(1)增大，负功　(2)增大了4×105 J，重力做了－4×105J的功。克服重力做的功等于物体重力势能的增加量。
知识点2　机械能守恒定律
机械能
1．机械能：__动能__和__势能__统称为机械能，其中势能包括__重力势能__和__弹性势能__。
2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有__重力或弹力__做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能__保持不变__。
(2)守恒条件：只有重力或弹簧的弹力做功。
思考：运动员抛出的铅球所受空气的阻力远小于其重力，请思考以下问题：

(1)铅球在空中运动过程中，能否视为机械能守恒？
(2)若铅球被抛出时速度大小一定，铅球落地时的速度大小与运动员将铅球抛出的方向有关吗？
(3)在求解铅球落地的速度大小时，可以考虑应用什么规律？
[答案]　(1)能　(2)无关　(3)机械能守恒定律或动能定理。
思维诊断：
(1)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关。(　√　)
(2)被举到高处的物体重力势能一定不为零。(　×　)
(3)发生弹性形变的物体都具有弹性势能。(　√　)
(4)弹力做正功、弹性势能一定增加。(　×　)
(5)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。(　×　)
(6)物体的速度增大时，其机械能可能减小。(　√　)
(7)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。(　√　)
　　
1．关于机械能守恒定律的适用条件，下列说法正确的是(　C　)
A．只有重力和弹力作用时，机械能才定恒
B．当有其他外力作用时，只要合外力为零，机械能守恒
C．当有其他外力作用时，只要其他外力不做功，机械能守恒
D．炮弹在空中飞行不计阻力时，仅受重力作用，所以爆炸前后机械能守恒
[解析]　机械能守恒的条件是“只有重力或系统内弹力做功”而不是“只有重力和弹力作用”，“做功”和“作用”是两个不同的概念，A项错误；物体受其他外力作用且合外力为零时，机械能可能不守恒，如拉一物体匀速上升，合外力为零，物体的动能不变，重力势能增加，故机械能增加，B项错误；在炮弹爆炸过程中产生的内能转化为机械能，机械能不守恒，D项错误；由机械能守恒定律的特点知，C项正确。
2．一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法错误的是(　D　)

A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关
[解析]　在运动员到达最低点前，运动员向下运动，根据重力势能的定义可知重力势能始终减小，故A正确；蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力方向向上，而运动员向下运动，所以弹力做负功，弹性势能增加，故B正确；对于运动员、地球和蹦极绳所组成的系统，蹦极过程中只有重力和弹力做功，所以系统机械能守恒，故C正确；重力做功是重力势能转化的量度，即WG＝－ΔEP，而蹦极过程中重力做功与重力势能零点的选取无关，所以重力势能的改变量与重力势能零点的选取无关，故D错误。
3．(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则下列选项正确的是(　BCD　)

A．物体落到海平面时的势能为mgh
B．重力对物体做的功为mgh
C．物体在海平面上的动能为mv＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv
[解析]　若以地面为参考平面，物体落到海平面时的势能为－mgh，所以A错误；此过程重力做正功，做功的数值为mgh，因而B正确；不计空气阻力，只有重力做功，所以机械能守恒，有mv＝－mgh＋Ek，在海平面上的动能为Ek＝mv＋mgh，C正确；在地面处的机械能为mv，因此在海平面上的机械能也为mv，D正确。
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
核心考点·重点突破
考点一　机械能守恒的判断
判断方法
1．用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变。若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变化。
2．用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒。
3．用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒。
4．对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。
例1 (多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　CD　)

A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力及滑轮质量时A加速下落，B加速上升过程中，A、B机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
[解析]　甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错误；乙图中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但
从能量特点看A、B组成的系统机械能守恒，B错误；丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B机械能守恒，C正确；丁图中动能不变，势能不变，机械能守恒，D正确。
〔类题演练1〕
如图所示，斜面体置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是(　D　)

A．物体的重力势能减少，动能不变
B．斜面体的机械能不变
C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D．物体和斜面体组成的系统机械能守恒
[解析]　物体由静止开始下滑的过程其重力势能减少，动能增加，选项A错误；物体在下滑过程中，斜面体做加速运动，其机械能增加，选项B错误；物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，又随斜面向右运动，其合速度方向与弹力方向不垂直，弹力方向垂直于接触面，但与速度方向之间的夹角大于90°，所以斜面对物体的作用力对物体做负功，选项C错误；对物体与斜面体组成的系统，只有重力势能和动能间的相互转化，机械能守恒，选项D正确。
考点二　单物体(除地球外)机械能守恒问题
1．对机械能守恒表述形式的理解
(1)守恒观点(适用于单物体、多物体系统机械能守恒问题)
①表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2。
②意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能。
③注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面。
(2)转化观点(适用于单物体、多物体系统机械能守恒问题)
①表达式：ΔEk＝－ΔEp。
②意义：系统的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能。
(3)转移观点(仅适用多物体系统机械能守恒问题)
①表达式：ΔEA增＝ΔEB减。
②意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量。
2．应用机械能守恒定律的基本思路
(1)选取研究对象——物体。
(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能。
(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)进行求解。
例2 滑板运动是一种陆地上的“冲浪运动”，滑板运动员可在不同的轨道上滑行并做出各种高难度运动，给人以美的享受，如图所示是模拟的滑板滑行轨道，该轨道由足够长的斜直轨道、半径R1＝1 m的凹形圆弧轨道和半径R2＝1.6 m的凸形圆弧轨道组成，这三部分轨道处于同一竖直平面内且依次平滑连接，其中AB与水平方向夹角θ＝37°，C点为凹形圆弧轨道的最低点，D点为凸形圆弧轨道的最高点，凸形圆弧轨道的圆心O2点与C点处在同一水平面上，一质量为m＝1 kg可看作质点的滑板，从斜直轨道上的P点无初速滑下，经过C点滑向D点，P点距B点所在水平面的高度h＝1.8 m，不计一切阻力，g取10 m/s2。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

(1)滑板滑到C点时滑板对轨道的压力；
(2)若滑板滑到D点时恰做平抛运动，则从P点须以多大初速度开始下滑。
[解析]　(1)滑板从P点运动到C点的过程中，由机械能守恒定律得mg[h＋R1(1－cos θ)]＝mv
在C点对滑板由牛顿第二定律得FN－mg＝m
解得FN＝50 N
由牛顿第三定律可知滑块对轨道的压力大小为50 N，方向竖直向下
(2)滑板滑到D点时恰做平抛运动，则有mg＝m
滑板从P点运动至D点，由机械能守恒定律得
mg[h＋R1(1－cos θ)－R1]＝mv－mv
解得v0＝2 m/s
[答案]　(1)50 N　方向竖直向下　(2)2 m/s
规律总结：
(1)列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。
(2)应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同。
〔类题演练2〕
如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为(　C　)

A．　　　　　　　　 B．
C． D．4
[解析]　用等效法结合机械能守恒求解。以桌上L链条为研究对象，重心下降L，mg·L＝mv2，解得v＝，故C正确。

考点三　多物体机械能守恒问题
1．对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
2．注意寻找用绳或杆连接的物体间的速度关系和位移关系。
3．列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp的形式。
题型一　轻绳连接的物体系统
1．常见情景

2．三点提醒
(1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
(2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
(3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
例3 (多选)如图所示直角边长为R的光滑等腰直角三角形和半径为R的光滑圆柱的一部分无缝相接，质量分别为2m和m的物体A和小球B通过一根不可伸长的细线相连，小球B恰好位于桌面上。小球B可视为质点，若从静止释放小球B，当其运动到圆柱顶点时，则(　BC　)

A．物体A的速度大小为
B．物体A的速度大小为
C．绳的张力对物体B所做的功为mgR()
D．绳的张力对物体B所做的功为mgR
[解析]　以A、B和绳为研究对象，由机械能守恒得(2m＋m)v2＝2mg·(＋R)－mgR，解得v＝，
B正确，A错误；以B为研究对象，根据动能定理得W－mgR＝mv2，解得W＝mgR()，C正确，D错误。
题型二　轻杆连接的物体系统
1．常见情景

2．三大特点
(1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。
(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
(3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
例4 (2020·江苏泗阳模拟)(多选)如图所示，长为L的轻杆，一端装有转轴O，另一端固定一个质量为2m的小球B，杆中点固定一个质量为m的小球A，若杆从水平位置由静止开始释放，在转到竖直位置的过程中，不计一切摩擦，下列说法中正确的是(　AD　)

A．A、B两球总机械能守恒
B．轻杆对A球做正功，轻杆对B球做负功
C．轻杆对A球不做功，轻杆对B球不做功
D．轻杆对A球做负功，轻杆对B球做正功
[解析]　本题利用连接体的圆周运动考查机械能守恒、弹力做功问题。两球组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，两球的角速度相等，到达竖直位置时，设A球的速度为v，则B球的速度为2v，根据机械能守恒定律得mg＋2mgL＝mv2＋×2m(2v)2，解得v＝；对A球运用动能定理得W＋mg＝mv2，解得W＝－mgL，则轻杆对A球做负功；对B球运用动能定理得W′＋2mgL＝×2m(2v)2，解得W′＝mgL，则轻杆对B球做正功。故A、D正确，B、C错误。
JIE DUAN PEI YOU CHA QUE BU LOU
阶段培优·查缺补漏
与弹簧相关的机械能守恒问题
▼
弹簧系统的机械能守恒问题，是近几年高考的热点。由于弹性势能公式Ep＝kx2不作要求，因此命题只做定性考查，注意两个常见的命题角度：
1．同一运动过程中，弹簧的压缩量与伸长量相同时，两个位置的弹性势能相同。
2．两个运动过程中，弹簧的形变量相同时，两个过程的弹性势能变化量相同。
例5 (2019·山东新泰一中模拟)如图所示，质量均为m的物块A、B用轻弹簧相连放置于倾角为α的光滑固定斜面上，物块B与垂直于斜面的挡板C接触，物块A系一轻质细绳，细绳绕过斜面顶端的定滑轮系一轻质挂钩，细绳与轻弹簧均与斜面平行，物块A、B保持静止。现在挂钩上挂一重物D，平衡时物块B恰好不离开挡板。已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，某一瞬间剪断细绳，则下列说法正确的是(　D　)

A．重物D的重力为mgsin α
B．物块A下滑过程中机械能守恒
C．剪断细绳瞬间，物块A的加速度大小为gsin α
D．物块A下滑过程中的最大速度为2gsin α
[解析]　本题考查连接体问题的机械能守恒问题。平衡时物块B恰好不离开挡板，则对A、B、D组成的系统，由平衡知识可知mDg＝2mgsin α，选项A错误；下滑过程中物块A受到弹簧弹力做功，故A机械能不守恒，选项B错误；剪断细绳之前细绳上的拉力T＝2mgsin α，剪断细绳瞬间，弹簧的弹力不变，对物块A分析，由牛顿第二定律得2mgsin α＝ma，解得a＝2gsin α，选项C错误；A速度最大时，加速度为零，受力平衡，有F弹＝mgsin α，此时弹簧压缩量为x1＝，同理当B刚要离开挡板时弹簧的拉伸量为x2＝，两个位置弹簧的形变量相同，则弹性势能相同，从开始到A速度最大，A下落的位移为x＝x1＋x2＝，根据机械能守恒定律知mgxsin α＝mv2，即v＝2gsin α，故D正确。
2 NIAN GAO KAO MO NI XUN LIAN
2年高考·模拟训练
1．(2018·全国卷Ⅰ，18)如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R；bc是半径为R的四分之一圆弧，与ab相切于b点。一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运动。重力加速度大小为g。小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为(　C　)

A．2mgR　 B．4mgR　
C．5mgR　 D．6mgR
[解析]　小球从a运动到c，根据动能定理，得
F·3R－mgR＝mv，又F＝mg，故v1＝2，
小球离开c点在竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动。且水平方向与竖直方向的加速度大小相等，都为g，故小球从c点到最高点所用的时间t＝＝2，水平位移x＝gt2＝2R，
根据功能关系，小球从a点到轨迹最高点机械能的增量为力F做的功，即ΔE＝F·(2R＋R＋x)＝5mgR。
2．(2019·福建龙岩质检)如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与一根轻质弹性橡皮绳相连，橡皮绳的另一端固定在地面上的A点，橡皮绳竖直且处于原长，原长为h，现让圆环沿杆从静止开始下滑，滑到杆的底端时速度为零。则在圆环下滑过程中(整个过程中橡皮绳始终处于弹性限度内)，下列说法中正确的是(　C　)

A．圆环的机械能守恒
B．圆环的机械能先增大后减小
C．圆环滑到杆的底端时机械能减少了mgh
D．橡皮绳再次恰好恢复原长时，圆环动能最大
[解析]　本题考查机械能守恒的判断。圆环沿杆滑下，滑到杆的底端的过程中有两个力对圆环做功，即环的重力和橡皮绳的拉力，所以圆环的机械能不守恒，如果把圆环和橡皮绳组成的系统作为研究对象，则系统的机械能守恒，因为橡皮绳的弹性势能先不变再增大，所以圆环的机械能先不变后减小，故A、B错误；圆环滑到杆的底端时动能为零，重力势能减小了mgh，即圆环的机械能减少了mgh，故C正确；在圆环下滑过程中，橡皮绳再次恢复原长时，该过程中圆环动能一直增大，但不是最大，沿杆方向合力为零的时刻，圆环加速度为零，圆环的速度最大，故D错误。
3．(2019·广东佛山七校联考)(多选)如图所示，长度为l的竖直轻杆上端连着一质量为m的小球A(可视为质点)，杆的下端用铰链连接于水平地面上的O点。置于同一水平地面上的正方体B恰与A接触，正方体B的质量为M。今有微小扰动，使杆向右倾倒，各处摩擦均不计，而A与B刚脱离接触的瞬间，杆与地面夹角恰为，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　ABD　)

A．A与B刚脱离接触的瞬间，A、B速率之比为2∶1
B．A与B刚脱离接触的瞬间，B的速率为
C．A落地时速率为
D．A、B质量之比为1∶4
[解析]　本题考查动杆的机械能守恒问题。设小球速度为vA，正方体速度为vB，分离时刻，小球的水平速度与正方体速度相同，即vAsin 30°＝vB，解得vA＝2vB，故A正确；根据牛顿第二定律有mgsin 30°＝m，解得vA＝，vB＝＝，故B正确；A从分离到落地，小球机械能守恒，有mglsin 30°＝mv2－mv，v＝，故C错误；在杆从竖直位置开始倾倒到小球与正方体恰好分离的过程中，小球和正方体组成的系统机械能守恒，则有mgl(1－sin 30°)＝mv＋Mv，把vA和vB的值代入，化简得m∶M＝1∶4，故D正确。
4．(2018·江苏单科，14)如图所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B。质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l。用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°。松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动。忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。求：

(1)小球受到手的拉力大小F；
(2)物块和小球的质量之比M∶m；
(3)小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T。
[答案]　(1)Mg－mg　(2)6∶5
(3)
[解析]　(1)对小球受力分析，设小球受AC、BC的拉力分别为F1、F2
在水平方向：F1sin 53°＝F2cos 53°①
在竖直方向：F＋mg＝F1cos 53°＋F2sin 53°②
且F1＝Mg③
由①②③式解得F＝Mg－mg④
(2)小球运动到与A、B 相同高度过程中
由几何关系得小球上升高度h1＝3lsin 53°⑤
物块下降高度h2 ＝2l⑥
物块和小球组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律mgh1＝Mgh2⑦
由⑤⑥⑦式解得＝⑧
(3)根据机械能守恒定律，小球回到起始点，设此时AC方向的加速度大小为 a，物块受到的拉力为T
对物块由牛顿第二定律得
Mg－T ＝Ma⑨
根据牛顿第三定律，小球受AC 的拉力
T′＝T⑩
对小球，在沿AC方向，由牛顿第二定律得
T′－mgcos 53°＝ma⑪
解得T ＝