2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析8.4 数列求和 学案
展开温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
核心考点·精准研析
考点一 分组转化法或并项法求和
1.数列{an}的通项公式是an=(-1)n(2n-1),则该数列的前100项之和为( )
A.-200 B.-100 C.200 D.100
2.数列{1+2n-1}的前n项和为 ( )
A.2n B.2n-1+1 C.n-1+2n D.n+2+2n
3.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于 ( )
A.0 B.100 C.-100 D.10 200
4.已知数列{an}的通项公式是an=n2sin,则a1+a2+a3+…+a2 021等于 ( )
A.- B.
C. D.-
5.已知正项数列{an}满足-6=an+1an.若a1=2,则数列{an}的前n项和Sn=
________. 世纪金榜导学号
【解析】1.选D.由题意知S100=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2×50=100.
2.选C.由题意得an=1+2n-1,
所以Sn=n+=n+2n-1.
3.选B.由题意,得a1+a2+a3+…+a100
=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012
=-(1+2)+(3+2)-(4+3)+…-(99+100)+(101+100)
=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)
=-50×101+50×103=100.
4.选A.an=n2sin,
所以a1+a2+a3+…+a2 021
=-12+22-32+42-…-2 0192+2 0202-2 0212
=(22-12)+(42-32)+…+(2 0202-2 0192)-2 0212
=(1+2+3+4+…+2 019+2 020)-2 0212
=-2 0212=.
5.因为-6=an+1an,
因此(an+1-3an)(an+1+2an)=0.
又因为an>0,所以an+1=3an.
又a1=2,所以{an}是首项为2,公比为3的等比数列.
所以Sn==3n-1.
答案:3n-1
将T3变为:在数列{an}中a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,n∈N*,则S60的值为 ( )
A.990 B.1 000 C.1 100 D.99
【解析】选A.n为奇数时,an+2-an=0,an=2;n为偶数时,an+2-an=2,an=n.故S60=2×30+(2+4+…+60)=990.
1.分组法求和的常见类型
(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组法求{an}的前n项和.
(2)通项公式为an=的数列,其中数列{bn},{cn}是等比或等差数列,可采用分组法求和.
2.并项求和法
一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.
例如Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050.
【秒杀绝招】 排除法解T2,把n=1代入排除D选项,把n=2代入排除A、B选项.
考点二 错位相减法
【典例】已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1. 世纪金榜导学号
(1)求数列{bn}的通项公式.
(2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
【解题导思】
序号 | 题目拆解 | |
(1) | ①{an}的前n项和Sn=3n2+8n | 知Sn求an |
②{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1 | 求数列{bn}的通项公式 | |
(2) | ①cn= | 把an,bn代入cn=中,得cn的表达式 |
②求数列{cn}的前n项和Tn | 求得cn=3(n+1)·2n+1,根据Tn的特征利用乘公比错位相减法求和 | |
【解析】(1)由题意知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,当n=1时,a1=S1=11,满足上式,所以an=6n+5.设数列{bn}的公差为d,由
即
可解得所以bn=3n+1.
(2)由(1)知cn==3(n+1)·2n+1.
又Tn=c1+c2+…+cn,
得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],
2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],
两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+-
(n+1)×]=3×
=-3n·2n+2,所以Tn=3n·2n+2.
【答题模板微课】
本例题(2)的模板化过程:
建模板:
“由(1)知cn==3(n+1)·2n+1.” …………写通项
“故Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],” ………… 写前n项和
“2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],” …………乘公比
“两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]
=3×
=-3n·2n+2,” …………错位相减
“所以Tn=3n·2n+2.” …………整理出结果
套模板:
已知an=2n-1,bn=2n+1,cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
【解析】由题知cn=an·bn=(2n+1)2n-1, ………… 写通项
故Tn=3×20+5×21+7×22+…+(2n+1)×2n-1, …………写前n项和
2Tn=3×21+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n, …………乘公比
上述两式相减得,-Tn=3+22+23+…+2n-(2n+1)× …………错位相减
=3+-(2n+1)×2n=(1-2n)×2n-1,
得Tn=(2n-1)×2n+1. ………… 整理出结果
所以数列{cn}的前n项和为(2n-1)×2n+1.
利用错位相减法的一般类型及思路
(1)适用的数列类型:{anbn},其中数列{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q≠1的等比数列.
(2)思路:设Sn=a1b1+a2b2+…+anbn(*),则qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1(**),
(*)-(**)得:(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1,就转化成了根据公式可求的和.
【易错提醒】在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.同时要注意等比数列的项数是多少.
已知等比数列{an}中,a1+a2=8,a2+a3=24,Sn为数列{an}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)若bn=an·log3(Sn+1),求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,
则q===3.故a1+a2=a1+3a1=8,解得a1=2.所以an=a1qn-1=2×3n-1.
(2)由(1)知Sn=3n-1,
所以bn=an·log3(Sn+1)=2×3n-1×log33n=2n×3n-1,
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=2×30+4×31+6×32+…+2(n-1)×3n-2+2n×3n-1,①
3Tn=2×31+4×32+6×33+…+2(n-1)×3n-1+2n×3n,②
①-②得-2Tn=2×30+2×31+2×32+2×33+…+2×3n-1-2n×3n=3n(1-2n)-1.
所以Tn=.
考点三 裂项相消法求和
命 题 精 解 读 | 考什么:(1)裂项相消求通项公式、裂项相消求前n项和.(2)考查数学运算、逻辑推理的核心素养 怎么考:裂项相消法常以解答题的形式出现,考查等差数列、等比数列、构造数列以及数学运算等问题. 新趋势:裂项相消法求和作为考查等差、等比数列知识的综合题型,因其考查数学知识、数学方法、数学素养等较多成为高考命题的热点. |
学 霸 好 方 法 | 1.裂项相消法求和的实质和解题关键 裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的,其解题的关键就是准确裂项和消项. (1)裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止. (2)消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项. 2.交汇问题 数列与方程交汇求项数、与不等式交汇证明恒成立问题 |
裂项相消直接求和
【典例】(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=
__________.
【解析】设等差数列的首项为a1,公差为d,所以
解得
所以an=n,Sn=,
那么==2,
那么=2
=2=.
答案:
通项公式an具有怎样的特征可用裂项相消法求其前n项和?
提示:如果一个数列的通项为分式,若分式的分母为两个因式的积,且这两个因式的差为定值时,可利用裂项相消法求和.
与裂项相消求和有关的综合问题
【典例】已知函数y=loga(x-1)+3(a>0,a≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项,若bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,则T10= 世纪金榜导学号( )
A. B. C.1 D.
【解析】选B.对数函数y=logax的图象过定点(1,0),所以函数y=loga(x-1)+3的图象过定点(2,3),
则a2=2,a3=3,故an=n,
所以bn===-,
所以T10=1-+-+…+-=1-=.
使用裂项法求和时,要特别注意哪些问题?
提示:利用裂项相消法求和的注意事项
(1)使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.
(2)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如:若{an}是等差数列,则=,=
.
设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=9,a2为整数,且Sn≤S5,则数列的前9项和为________.
【解析】由Sn≤S5得即
得-≤d≤-,又a2为整数,
所以d=-2,an=a1+(n-1)d=11-2n,
=,所以数列的前n项和Tn=
=,
所以T9=-×=-.
答案:-
1.若数列{an}的通项公式为an=22n+1,令bn=(-1)n-1,则数列{bn}的前n项和Tn=________.
【解析】由log2an=2n+1知,
bn=(-1)n-1=(-1)n-1,
所以bn=(-1)n-1,
当n为偶数时Tn=-+…+-=-,
当n为奇数时,
Tn=-+…-+=+,
所以Tn=-(-1)n.
答案:-(-1)n
2.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn满足n(n+1)+(n2+n-1)Sn
-1=0(n∈N*),则S1+S2+…+S2 021=________.
【解析】因为n(n+1)+(n2+n-1)Sn-1=0(n∈N*),所以(Sn+1)[n(n+1)Sn-1]=0.
所以n(n+1)Sn-1=0,所以Sn==-.
所以S1+S2+…+S2 021=++…+=1-=.
答案:
关闭Word文档返回原板块
