2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析4.5　函数y=Asin（ωxφ）的图象及三角函数模型的简单 学案

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核心考点·精准研析

考点一　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及图象变换 

1.若函数f (x)=cos,为了得到函数g(x)=sin 2x的图象,则只需将f(x)的图象              (　　)

A.向右平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向左平移个单位长度

2.若将函数y=2cos x(sin x+cos x)-1的图象向左平移φ个单位,得到的函数是偶函数,则φ的最小正值是              世纪金榜导学号(　　)

A.   B.   C.   D.

3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合,则ω的最小值为________. 

4.已知函数f(x)=4cos x·sin +a的最大值为2. 世纪金榜导学号

(1)求a的值及f(x)的最小正周期.

(2)画出f(x)在[0,π]上的图象.

【解析】1.选A.f (x)=cos=sin=sin=

sin 2,为了得到g(x)=sin 2x的图象,则只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可.

2.选A.化简函数:y=2cos x(sin x+cos x)-1=2sin xcos x+2cos2 x-1

=sin 2x+cos 2x= sin,

向左平移φ个单位可得y= sin,

因为y= sin是偶函数,

所以2φ+=+kπ,k∈Z,φ=+,k∈Z,

由k=0可得φ的最小正值是.

3.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),把f(x)的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin

=sin,把f(x)的图象向右平移个单位所得的图象为y=sin

=sin,

根据题意可得y=sin和y=sin的图象重合,故+φ=2kπ-+φ,k∈Z,求得ω=4k,k∈Z,故ω的最小值为4.

答案:4

4.(1)f(x)=4cos xsin+a

=4cos x·+a

=sin 2x+2cos 2x+a

=sin 2x+cos 2x+1+a=2sin+1+a的最大值为2,

所以a=-1,最小正周期T==π.

(2)由(1)知f(x)=2sin,列表:

画图如图所示:

1.由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.

2.y=Asin(ωx+φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=ωx+φ计算五点坐标.

【秒杀绝招】　

排除法解T1,变形f(x)=sin,观察发现ω=2,所以不能平移,排除B,D;代入A,C检验,可知选A.

T4,可用伸缩法画f(x)的图象.

考点二　由图象求解析式 

【典例】1.函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,已知A,B,则f(x)图象的对称中心为              (　　)

A.(k∈Z)　　　  B.(k∈Z)

C.(k∈Z)　    D.(k∈Z)

2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为______.              世纪金榜导学号 

【解题导思】

【解析】1.选C.T=2=π=,所以ω=2,

所以f(x)=sin (2x+φ).由五点作图法知A是第二个点,得2×+φ=+2kπ(k∈Z),

所以φ=-+2kπ(k∈Z),又|φ|<,

所以φ=-,f(x)=sin.

由2x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z).

所以f(x)图象的对称中心为(k∈Z).

【一题多解】选C.由题图知,A,B中点为是一个对称中心,=-=,所以全部对称中心为(k∈Z),等价于(k∈Z).2.由题图知A=,=-=,

所以T=π,ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),

又对应五点法作图中的第三个点,

所以2×+φ=π+2kπ(k∈Z),φ=+2kπ(k∈Z),

又|φ|<π,所以φ=,所以f(x)=sin.

答案:f(x)=sin

【一题多解】由题图知A=,=-=,以为第二个零点,为最小值点,列方程组解得

所以f(x)=sin.

答案:f(x)=sin

确定y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的步骤

(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.

(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=.

(3)求φ,常用方法有:

①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.

②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=;“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=2π.

1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是              (　　)

A.f(x)=sin     B.f(x)=sin

C.f(x)=sin     D.f(x)=sin

【解析】选D.由图象可知=-=,所以T=π,所以ω==2,所以排除A、C;把x=代入检验知,选项D符合题意.

2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的一部分如图所示,则f(x)图象的对称轴方程是________. 

【解析】由图象知A=2,又1=2sin(ω×0+φ),即sin φ=,又|φ|<,所以φ=.又×ω+=2π,所以ω=2,所以f(x)=2sin,

令2x+=+kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z).

所以f(x)=2sin的对称轴方程为x=+(k∈Z).

答案:x=+(k∈Z)

考点三　函数y=Asin(ωx+φ)图象与性质的综合应用 

三角函数模型的应用

【典例】如图,某大风车的半径为2米,每12秒旋转一周,它的最低点O离地面1米,点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始,逆时针方向旋转40秒后到达P点,则点P到地面的距离是________米.              世纪金榜导学号 

【解析】以圆心O1为原点,以水平方向为x轴方向,以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系,

因为大风车的半径为2米,圆上最低点O离地面1米,12秒旋转一周,设∠OO1P=θ,运动t秒后与地面的距离为f(t),又周期T=12,所以θ=·2π=t,

f(t)=3+2sin=3-2cost(t≥0),

当t=40时,f(t)=3-2cos=4(米).

答案:4

方程根(函数零点)问题

【典例】已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+2sin2ωx-(ω>0)的最小正周期为π.              世纪金榜导学号

(1)求函数f(x)的单调递增区间.

(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值.

【解析】(1)f(x)=2sin ωxcos ωx+(2sin2ωx-1)

=sin 2ωx-cos 2ωx=2sin.

由最小正周期为π,得ω=1,所以f(x)=2sin,由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),

整理得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),

所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).

(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到y=2sin 2x+1的图象;

所以g(x)=2sin 2x+1.

令g(x)=0,得x=kπ+或x=kπ+(k∈Z),

所以在[0,π]上恰好有两个零点,若y=g(x)在[0,b]上有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可.所以b的最小值为4π+=.

方程的根与函数图象的交点有何关系?

提示:方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.

综合应用问题

【典例】(2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=sin(ω>0),已知f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点,下述四个结论:世纪金榜导学号

①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点

②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点

③f(x)在上单调递增

④ω的取值范围是.

其中所有正确结论的编号是 (　　)

A.①④　　 B.②③　　 C.①②③　 　D.①③④

【解析】选D.

①若f(x)在[0,2π]上有5个零点,可画出大致图象,

由图1可知,f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点,所以①正确.

②由图1、图2可知,f(x)在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点,故②错误.

③函数f(x)=sin的增区间为-+2kπ<ωx+<+2kπ(k∈Z),

<x<.取k=0,

当ω=时,单调递增区间为-π<x<π;

当ω=时,单调递增区间为-π<x<π,

综上可得f(x)在上单调递增.故③正确.

④当f(x)=sin=0时,ωx+=kπ(k∈Z),

所以x=,

因为f(x)在[0,2π]上有5个零点.

所以当k=5时,x=≤2π,

当k=6时,x=>2π,解得≤ω<,故④正确.所以结论正确的编号有①③④.

本题考查哪些知识?

提示:三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,制图用图能力,数形结合思想,数学运算的核心素养.

1.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acos(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28℃,12月份的月平均气温最低为18℃,则10月份的平均气温为________℃. 

【解析】因为当x=6时,y=a+A=28;

当x=12时,y=a-A=18,所以a=23,A=5,

所以y=f(x)=23+5cos,

所以当x=10时,f(10)=23+5cos

=23-5×=20.5.

答案:20.5

2.(2020·临沂模拟)函数f(x)=sin的图象上相邻的两个最高点之间的距离为________. 

【解析】由题意知,函数f(x)的图象上相邻的两个最高点之间的距离为函数f(x)的一个最小正周期,函数f(x)的最小正周期为=π.

答案:π

3.已知关于x的方程2sin 2x-sin 2x+m-1=0在上有两个不同的实数根,则m的取值范围是________. 

【解析】方程2sin2x-sin 2x+m-1=0可转化为m=1-2sin2x+sin 2x=

cos 2x+sin 2x=2sin,x∈.设2x+=t,则t∈,所以题目条件可转化为=sin t,t∈有两个不同的实数根.所以y1=和y2=sin t,t∈的图象有两个不同交点,如图:

由图象知,的取值范围是,所以m的取值范围是(-2,-1).

答案:(-2,-1)

1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)的值等于(　　)

A.         B.2+2

C.+2　        D.-2

【解析】选A.由图象知A=2,φ=0,T=8,

所以=8,即ω=,所以f(x)=2sinx.

因为周期为8,且f(1)+f(2)+…+f(8)=0,

所以f(1)+f(2)+…+f(2 022)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=2sin+

2sin+2sin +2sin π+2sin+2sin=.

2.(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:

①f(x)是偶函数

②f(x)在区间单调递增

③f(x)在[-π,π]有4个零点

④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是 (　　)

A.①②④  B.②④  C.①④  D.①③

【解析】选C.因为f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确.当<x<π时,f(x)=2sin x,它在区间单调递减,故②错误.当0≤x≤π时,f(x)=2sin x,它有两个零点:0,π;当-π≤x<0时,f(x)=

sin(-x)-sin x=-2sin x,它有一个零点:-π,故f(x)在[-π,π]有3个零点:

-π,0,π,故③错误.当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈N*)时,f(x)=2sin x;当x∈

[2kπ+π,2kπ+2π](k∈N*)时,f(x)=sin x-sin x=0,又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确.综上所述,①④正确.

【秒杀绝招】　画出函数f(x)=sin|x|+|sin x|的图象,由图象可得①④正确.

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