2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第5章第4节　数系的扩充与复数的引入

第四节　数系的扩充与复数的引入[最新考纲]　1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝.2．复数的几何意义复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b) 平面向量＝(a，b)．3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．3．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a∈C，则a2≥0.  (　　)(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　　)(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi. (　　)(4)方程x2＋x＋1＝0没有解． (　　)[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)×二、教材改编1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)A．－1　　　　　　　 B．0C．1   D．－1或1A　[∵z为纯虚数，∴∴x＝－1.]2．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)A．1－2i   B．－1＋2iC．3＋4i   D．－3－4iD　[∵＝＋＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D.]3．设复数z满足＝i，则|z|等于(　　)A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D．2A　[＝i，则z＝＝i，∴|z|＝1.]4．已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝        .2＋i　[由(1＋2i)＝4＋3i得＝＝＝2－i.∴z＝2＋i.]考点1　复数的概念　复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解．　1.若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为(　　)A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．2C　[由纯虚数的概念得得m＝1，故选C.]2．(2019·长沙模拟)已知i为虚数单位，若复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝(　　)A．－5   B．－1  C．－   D．－D　[z＝＋i＝＋i＝＋i，因为复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，所以－＝，解得a＝－.故选D.]3．(2019·唐山模拟)已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　)A．－3－i   B．－3＋iC．3＋i   D．3－iC　[由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以＝3＋i，故选C.]4．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)A．0   B.  C．1   D.C　[法一：因为z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C.法二：因为z＝＋2i＝＝，所以|z|＝＝＝＝1，故选C.]　解决此类时，一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．考点2　复数的运算　复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化解题中要注意把i的幂写成最简形式．(1)(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)A．－1－i   B．－1＋iC．1－i   D．1＋i(2)计算：＝(　　)A．2   B．－2  C．2i   D．－2i(3)(2019·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝(　　)A．i   B．i－1C．－i－1   D．－i(4)(2019·武汉调研)已知复数z满足z＋|z|＝1＋i，则z＝(　　)A．－i   B．iC．1－i   D．1＋i(1)D　(2)A　(3)C　(4)B　[(1)由题意得z＝＝＝1＋i，故选D.(2)＝＝＝2，故选A.(3)由已知可得＝＝＝－1＋i，则z＝－1－i，故选C.(4)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋|z|＝(a＋)＋bi＝1＋i，所以解得所以z＝i，故选B.法二：把各选项代入验证，知选项B满足题意．](1)在只含有z的方程中，z类似于代数方程中的x，可直接求解；(2)在含有z，，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.　1.(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝(　　)A．－3－i   B．－3＋iC．3－i   D．3＋iD　[(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.]2．对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②＝－i；③＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为(　　)A．1   B．2  C．3   D．4C　[αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，①不正确；＝＝＝－i，②正确；＝|－i|＝1，③正确；α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝－2i＋2i＝0，④正确．]3．(2019·贵阳模拟)设i为虚数单位，复数z满足i(z＋1)＝1，则复数z＝(　　)A．1＋i   B．1－iC．－1－i   D．－1＋iC　[由题意，得z＝－1＝－1－i，故选C.]4．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则＝(　　)A．1   B．0C．1＋i   D．1－iD　[z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则有a2－1＝0，a＋1≠0，得a＝1，则有＝＝＝1－i.]考点3　复数的几何意义　与复数几何意义相关的问题的一般解法第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应．(1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)A．(x＋1)2＋y2＝1   B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1   D．x2＋(y＋1)2＝1(2)(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　)A．第一象限   B．第二象限C．第三象限   D．第四象限(3)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)A．(－3,1)   B．(－1,3)C．(1，＋∞)   D．(－∞，－3)(1)C　(2)C　(3)A　[(1)设复数z与i分别表示复平面内的点Z与点P，则P(0,1)，且|z－i|表示复平面内点Z与点P之间的距离，所以点Z(x，y)到点P(0,1)的距离为定值1，所以Z的轨迹是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，故选C.(2)∵z＝－3＋2i，∴＝－3－2i，∴在复平面内，对应的点为(－3，－2)，此点在第三象限．(3)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以解得－3＜m＜1，故选A.]　复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可．　1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1·z2对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限D　[由已知＝(－2，－1)，＝(0,1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．]2．若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为        ．2π　[设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤得|x＋(y－1)i|≤，所以≤，所以x2＋(y－1)2≤2，所以z在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以为半径的圆及其内部，它的面积为2π.]3．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是        ．1　[由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，根据＝λ＋μ得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以解得所以λ＋μ＝1.]