2021高考数学一轮复习学案：第五章5.3平面向量的数量积

§5.3　平面向量的数量积

1．向量的夹角

已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．

2．平面向量的数量积

定义：已知两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b.

3．向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a.

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

4．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

概念方法微思考

两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？

提示　不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两个向量的夹角的范围是.(　×　)

(2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)

(3)(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)

(4)若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　×　)

题组二　教材改编

2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.

答案　12

解析　∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，

由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，

∴10＋2－k＝0，解得k＝12.

3．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ＝________.

答案　

解析　cos θ＝＝＝－，

又因为0≤θ≤π，所以θ＝.

题组三　易错自纠

4．已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

答案　B

解析　根据向量数量积的定义可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.

5．已知矩形ABCD中，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　)

A．20  B．15  C．9  D．6

答案　C

解析　因为ABCD为矩形，建系如图．A(0,0)，M(6,3)，N(4,4)．

则＝(6,3)，＝(2，－1)，

·＝6×2－3×1＝9.

6．(多选)在△ABC中，＝c，＝a，＝b，在下列命题中，是真命题的为(　　)

A．若a·b>0，则△ABC为锐角三角形

B．若a·b＝0，则△ABC为直角三角形

C．若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形

D．若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则△ABC为直角三角形

答案　BCD

解析　①若a·b>0，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角形，A错误；②若a·b＝0，则⊥，△ABC为直角三角形，B正确；③若a·b＝c·b，b·(a－c)＝0，·(－)＝0，·(＋)＝0，取AC的中点D，则·＝0，所以BA＝BC，即△ABC为等腰三角形，C正确；④若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则a2＝(c－b)2，即b2＋c2－a2＝2b·c，即＝－cos A，由余弦定理可得cos A＝－cos A，即cos A＝0，即A＝，即△ABC为直角三角形，D正确，综上真命题为BCD.

7．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.

答案　2

解析　方法一　|a＋2b|＝

＝

＝

＝＝2.

方法二　(数形结合法)

由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.

又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.

平面向量数量积的基本运算

例1　如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.

答案　12

解析　方法一　(几何法)

因为·＝2·，

所以·－·＝·，

所以·＝·，

因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，

所以2||＝||·||cos ，

化简得||＝2.

故·＝·(＋)＝||2＋·

＝(2)2＋2×2cos ＝12.

方法二　(坐标法)如图，建立平面直角坐标系xAy.

依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，其中m>0，n>0，

则由·＝2·，

得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)，

所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.

故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.

思维升华　平面向量数量积的三种运算方法

(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.

(3)利用数量积的几何意义求解．

跟踪训练1　(1)在正三角形ABC中，D是BC上的点，若AB＝3，BD＝1，则·＝________.

答案　

解析　如图所示，·＝·(＋)＝9＋3×cos 120°＝.

(2)已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝1，若点Q满足＝2，则·等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　D

解析　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

则B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，

又＝2，∴Q，

∴＝，＝，

∴·＝＋1＝.故选D.

平面向量数量积的应用

命题点1　求向量的模

例2　(1)(2020·遵义统考)已知两个单位向量a和b的夹角为120°，k∈R，则|ka＋b|的最小值为(　　)

A.  B.  C．1  D.

答案　B

解析　|ka＋b|2＝k2a2＋2ka·b＋b2

因为a和b是单位向量，且夹角为120°，

所以|ka＋b|2＝k2a2＋2ka·b＋b2

＝k2|a|2＋2k|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2

＝k2－k＋1

＝2＋≥，

所以|ka＋b|≥，

所以|ka＋b|的最小值为.

(2)(2020·四川双流中学诊断)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________.

答案　

解析　∵M为BC的中点，

∴＝(＋)，

∴||2＝(＋)2

＝(||2＋||2＋2·)

＝(1＋9＋2×1×3cos 60°)＝，

∴||＝.

命题点2　求向量的夹角

例3　(1)(2020·昆明一中检测)已知向量a＝，|b|＝2，且a·b＝1，则a与b的夹角为(　　)

A．30°  B．45°  C．60°  D．90°

答案　C

解析　|a|＝＝1，

∴cos〈a，b〉＝＝，

∴a与b的夹角为60°.

(2)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．

答案　

解析　由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，

|e1－e2|＝

＝

＝＝2.

同理|e1＋λe2|＝.

所以cos 60°＝

＝

＝＝，

解得λ＝.

思维升华　(1)求解平面向量模的方法

①利用公式|a|＝.

②利用|a|＝.

(2)求平面向量的夹角的方法

①定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]．

②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.

③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．

跟踪训练2　(1)(2019·江西省临川一中模拟)已知向量a＝(3,4)，b＝(－1，k)，且a⊥b，则a＋4b与a的夹角为________．

答案　

解析　因为a⊥b，故a·b＝0，所以－3＋4k＝0，

故k＝，故a＋4b＝(－1,7)，

设a＋4b与a的夹角为θ，

则cos θ＝＝＝，

因θ∈[0，π]，故θ＝.

(2)(2019·日照模拟) 已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝2，〈a，b〉＝，(c－a)·(c－b)＝

－1，则|c－a|的最大值为________．

答案　＋1

解析　设＝a，＝b，＝c，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，

∵|a|＝4，|b|＝2，a与b的夹角为，

则A(4,0)，B(2,2)，设C(x，y)，

∵(c－a)·(c－b)＝－1，∴x2＋y2－6x－2y＋9＝0，

即(x－3)2＋(y－1)2＝1，∴点C在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，|c－a|表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4,0)的距离，∵圆心到A的距离为，

∴|c－a|的最大值为＋1.

平面向量与三角函数、解三角形

例4　(2019·石家庄模拟)已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，f (x)＝a·b.

(1)求函数f (x)＝a·b的最小正周期；

(2)在△ABC中，BC＝，sin B＝3sin C，若f (A)＝1，求△ABC的周长．

解　(1)f (x)＝sin xcos x＋cos2x

＝sin 2x＋cos 2x＋，

f (x)＝sin＋，

所以f (x)的最小正周期T＝＝π.

(2)由题意可得sin＝，

又0<A<π，所以<2A＋<，

所以2A＋＝，故A＝.

设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a2＝b2＋c2－2bccos A.

所以a2＝b2＋c2－bc＝7，

又sin B＝3sin C，所以b＝3c.

故7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1.

所以b＝3，△ABC的周长为4＋.

思维升华　平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．

跟踪训练3　在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.

(1)求∠C的大小；

(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．

解　(1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，

所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，

在△ABC中，由正弦定理得，

sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，

sin A＝2sin Acos C，

又sin A≠0，

所以cos C＝，而C∈(0，π)，所以∠C＝.

(2)由＝知，－＝－，

所以2＝＋，

两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①

又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，

所以a2＋b2－ab＝12.②

由①②得ab＝8，

所以S△ABC＝absin∠ACB＝2.