2021高三统考北师大版数学一轮学案：第3章第2讲　导数与函数的单调性

第2讲　导数与函数的单调性
基础知识整合

1．函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导：
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.
2．由导数求单调区间的步骤
(1)求定义域．
(2)求导数．
(3)由导数大于0求单调递增区间，由导数小于0求单调递减区间．

1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)0及f′(x).故选A．
2．(2019·芜湖模拟)函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
答案　D
解析　由题意知，f′(x)＝ex－e，令f′(x)>0，解得x>1.故选D．
3．函数f(x)＝sinx－2x在(0，π)上的单调性是(　　)
A．先增后减 B．先减后增
C．单调递增 D．单调递减
答案　D
解析　∵f′(x)＝cosx－20时，－10时，f(x)＝x＋的单调递减区间是(　　)
A．(2，＋∞) B．(0,2)
C．(，＋∞) D．(0，)
答案　B
解析　f′(x)＝1－，令f′(x)0)．
(4)若知f′(x)－f(x)的符号，则构造函数g(x)＝；一般地，若知f′(x)－nf(x)(n>0)的符号，则构造函数g(x)＝(n>0)．
对点训练
1．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)≤0，对任意正数a，b，若a0)，则F′(x)＝′＝.因为x>0，xf′(x)－f(x)≤0，所以F′(x)≤0，故函数F(x)在(0，＋∞)上为减函数．又0
答案　B
解析　令g(x)＝，
则g′(x)＝＝>0.
∴g(x)在R上为增函数，又a>0，
∴g(a)>g(0)，即>.故f(a)>eaf(0)．